微探究小专题3　正方形中的十字模型课件北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形微探究小专题3正方形中的十字模型

问题探究思考问题：由已知条件证明全等三角形，得垂直如图，在正方形

ABCD

中，点

E

，

F

分别在边

CD

，

AD

上，

BE

与

CF

交于点

G

.

若

BC

＝4，

DE

＝

AF

＝1，则

CG

的长是

⁠.

【变式1】垂直作为条件如图，在正方形

ABCD

中，

E

是

DC

的中点，

AE

的垂直平分线分别交

AD

，

BC

边于点

F

，

G

，垂足为

H

.

若

AB

＝4，则

GH

的长为

⁠.

【解析】如图所示，连接

GE

，

AG

.

∵

AE

的垂直平分线分别交

AD

，

BC

边于点

F

，

G

，∴

AG

＝

EG

.

设

BG

＝

x

，则

CG

＝4－

x

，∵

E

是

CD

的中点，则

CE

＝2，∴

EG2＝

CG2＋

CE2＝(4－

x

)2＋22，

AG2＝

AB2＋

BG2＝42＋

x2.

【变式2】加入中线如图，正方形

ABCD

的边长为6，点

E

，

F

分别在

DC

，

BC

上，

BF

＝

CE

＝4，连接

AE

，

DF

，

AE

与

DF

相交于点

G

，连接

AF

，取

AF

的中

点

H

，连接

HG

，则

HG

的长为(

B

)BA.

B.

C.5D.2

【变式3】由图形变换证垂直如图，四边形

ABCD

是正方形，△

ADF

旋转一定角度后得到△

ABE

，

AF

＝4，

AB

＝10.(1)在这个图形变换中，旋转中心是

，旋转角度是

，

DE

＝

⁠；【解析】∵四边形

ABCD

是正方形，△

ADF

旋转一定角度

后得到△

ABE

，∴∠

DAB

＝90°，

AD

＝

AB

＝10.由旋转的性质，可得旋转中心是点

A

，旋转角度是∠

DAB

＝90°，

AF

＝

AE

＝4，∴

DE

＝10－4＝6.点

A

90°

6

(2)求证：直线

BE

⊥

DF

.

证明：如图，延长

BE

交

DF

于点

M

.

由旋转的性质，可得∠

FDA

＝

∠

EBA

，又∵∠

DEM

＝∠

AEB

，∴∠

DME

＝180°－(∠

MDE

＋∠

DEM

)＝180°－(∠

EBA

＋∠

AEB

)

＝∠

EAB

＝90°.∴

BE

⊥

DF

.

【变式4】旋转后垂直变为条件正方形

ABCD

的边长为5，点

E

在

CD

边上，将△

ADE

绕点

A

顺时针旋

转90°得到△

ABF

，点

D

，

E

的对应点分别为点

B

，

F

，连接

EF

，过点

A

作

AG

⊥

EF

，垂足为

H

，交

BC

边于点

G

.

若

CG

＝2，则

CE

的长为

(

C

)CA.

B.

C.

D.4【解析】根据旋转的性质，得△

ADE

≌△

ABF

，∴

AE

＝

AF

，

DE

＝

BF

，∠

DAE

＝∠

BAF

，∠

ABF

＋∠

ABC

＝180°.∴∠

DAE

＋∠

BAE

＝∠

BAF

＋∠

BAE

＝∠

FAE

＝90°，点

F

，

B

，

C

三点共线.如图，连接

GE

.

∵

AG

⊥

EF

，∴

FH

＝

EH

.

∴

AG

是线段

FE

的垂直平分线.∴

GE

＝

GF

.

设

CE

＝

x

，∵正方形

ABCD

的边长为5，

CG

＝2，∴

DE

＝

BF

＝

DC

－

CE

＝5－

x

，

BG

＝

BC

－

CG

＝3，

GE

＝

GF

＝

BG

＋

BF

＝8－

x

.

专题进阶小练1.如图，在正方形

ABCD

中，

E

，

F

，

G

，

H

分别是正方形各边的中

点，则下列结论中不正确的是(

D

)A.△

ABF

≌△

BCG

B.

AF

∥

CH

C.

AR

＝

DQ

D.

AR

＝

AF

第1题图D12345【解析】∵四边形

ABCD

是正方形，∴

AB

＝

BC

＝

CD

＝

AD

，∠

ABC

＝∠

BCD

＝∠

CDA

＝∠

DAB

＝90°.∵

E

，

F

，

G

，

H

分别是正方形各边的中点，∴

AE

＝

BE

＝

BF

＝

CF

＝

CG

＝

DG

＝

DH

＝

AH

.

∴△

ABF

≌△

BCG

(SAS)，故A选项正确；∵

AH

＝

CF

，且

AH

∥

CF

，∴四边形

AFCH

是平行四边形.∴

AF

∥

CH

，故B选项正确；∵

AE

＝

DH

，∴△

ADE

≌△

DCH

(SAS).第1题图12345∴∠

AED

＝∠

DHC

.

∵∠

AED

＋∠

ADE

＝90°，∴∠

DHC

＋∠

ADE

＝90°，即∠

DQH

＝90°.同理得∠

ARE

＝90°，∠

EAR

＝∠

HDQ

，∴△

EAR

≌△

HDQ

(AAS).∴

AR

＝

DQ

，故C选项正确；由以上推理过程，可同理得

AR

＝

OB

＝

CP

＝

DQ

，

ER

＝

OF

＝

GP

＝

HQ

，

AO

＝

BP

＝

CQ

＝

DR

，第1题图12345

第1题图123452.如图，在正方形

ABCD

中，点

E

在边

BC

上(不与点

B

，

C

重合)，

点

F

在边

CD

的延长线上，

DF

＝

BE

，连接

EF

交

AD

于点

G

，过

点

A

作

AN

⊥

EF

于点

M

，交边

CD

于点

N

.

若

DN

＝2

CN

，

BE

＝3，

则

CN

＝

，

AM

＝

⁠.5

第2题图12345【解析】如图，连接

AE

，

AF

，

EN

.

∵四边形

ABCD

为正方形，∴

AB

＝

AD

＝

BC

＝

CD

，∠

ABE

＝∠

BCD

＝∠

ADF

＝90°.∵

BE

＝

DF

，∴△

ABE

≌△

ADF

(SAS).12345∴∠

BAE

＝∠

DAF

，

AE

＝

AF

.

∴∠

EAF

＝90°.∴△

EAF

为等腰直角三角形.∵

AN

⊥

EF

，∴

EM

＝

FM

，∠

EAM

＝∠

FAM

＝45°.∴△

AEM

≌△

AFM

(SAS)，△

EMN

≌△

FMN

(SAS).∴

EN

＝

FN

.

设

CN

＝

x

，则

DN

＝2

x

，

BC

＝

CD

＝3

x

，∴

EN

＝

FN

＝

DN

＋

DF

＝2

x

＋3，

CE

＝

BC

－

BE

＝3

x

－3.12345在Rt△

ECN

中，由勾股定理，可得

CN2＋

CE2＝

EN2，即

x2＋(3

x

－3)2＝(2

x

＋3)2，解得

x

＝5.∴

CN

＝5，

CE

＝12，

CF

＝18.

123453.如图，在正方形

ABCD

中，点

E

，

F

分别在

AD

，

AB

上，满足

DE

＝

AF

，连接

CE

，

DF

，

P

，

Q

分别是

DF

，

CE

的中点，连接

PQ

.

若∠

ADF

＝α，则∠

PQE

可以用α表示为(

B

)A.αB.45°－αC.45°－

D.3α－45°B12345【解析】∵四边形

ABCD

是正方形，∴

AD

＝

CD

，∠

A

＝∠

CDE

＝90°.又∵

AF

＝

DE

，∴△

ADF

≌△

DCE

(SAS).∴

DF

＝

CE

，∠

DCE

＝∠

ADF

＝α.如图，连接

DQ

，

∴

DP

＝

DQ

，∠

QDC

＝∠

DCE

＝α.12345

∵∠

DQE

＝∠

QDC

＋∠

DCE

＝2α，∴∠

PQE

＝∠

DQP

－∠

DQE

＝

45°－α.123454.如图，在正方形

ABCD

中，

E

为

BC

边上一动点，作

AF

⊥

DE

分别交

DE

，

DC

于点

P

，

F

，连接

PC

.

(1)若

E

为

BC

的中点，求证：

F

为

DC

的中点；(1)证明：∵四边形

ABCD

是正方形，∴∠

ADC

＝∠

BCD

＝90°，

BC

＝

CD

＝

AD

.

∵

AF

⊥

DE

，∴∠

APD

＝90°.∴∠

DAF

＝∠

CDE

＝90°－∠

ADP

.

12345

12345(2)若正方形的边长为4，请直接写出

PC

的最小值.

【解析】如图，取

AD

的中点

K

，连接

PK

，

CK

，∵

CD

＝

AD

＝4，∠

APD

＝90°，

∵

PC

≥

CK

－

PK

，

12345

12345(1)小明将正方形

ABCD

绕点

A

逆时针旋转，旋转角为α(15°＜α＜165°).①如图2，连接

DG

，

BE

，判断

DG

与

BE

的数量关系和位置关系，并说

明理由；12345解：

DG

＝

BE

，

DG

⊥

BE

.

理由：如图1，设

AG

与

BE

的交点为

O

，∵四边形

ABCD

和四边形

AEFG

是正方形，∴

AB

＝

AD

，

AG

＝

AE

，∠

GAE

＝∠

BAD

＝90°.∴∠

GAE

＋∠

BAG

＝∠

BAD

＋∠

BAG

，即∠

BAE

＝∠

DAG

.

∴△

BAE

≌△

DAG

(SAS).∴∠

AEB

＝∠

AGD

，

BE

＝

DG

.

又∵∠

AOE

＝∠

BOG

，∴∠

OAE

＝∠

GBO

＝90°.∴

DG

⊥

BE

.

综上所述，

DG

＝

BE

，

DG

⊥

BE

.

12345通过证明△

DAG

≌△

BAE

，得到

DG

＝

BE

，∠

AEB

＝∠

AGD

，

进而得到

DG

⊥

BE

.

思路点拨12345②如图3，在旋转过程中，连接

BG

，

GE

，

ED

，

DB

，求四边形

BGED

面积的最大值；12345解：如图2，过点

B

作

BH

⊥

AG

于点

H

，过点

D

作

EA

延长线的垂线，

垂足为

N

，∴∠

AHB

＝∠

AND

＝∠

BAD

＝∠

GAN

＝90°.∴∠

BAD

－∠

BAN

＝∠

GAN

－∠

BAN

，即∠

DAN

＝∠

BAG

.

又∵

AB

＝

AD

，∴△

ABH

≌△

ADN

(AAS).12345∴

DN

＝

BH

.

12345思路点拨由题图可知

S四边形

BGED

＝

S△

GAE

＋

S△

AED

＋

S△

ABD

＋

S△

ABG

，在旋转过程中，△

ABD

与△

GAE

的面积始终保持不变，当

AB

⊥

AG

，

AD

⊥

AE

时，△

ABG

与△

AED

的面积最大，此时四边形