黑龙江省哈尔滨市龙涤中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理

PAGEPAGE12黑龙江省哈尔滨市龙涤中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．用反证法证明“△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证B<π2”假设正确的是(A.角B是锐角 B.角B不是锐角C.角B是直角 D.角B是钝角2．已知为虚数单位，则的虚部是（）A． B． C． D．3．运用分析法证明成立，只需证（）A． B．C． D．4．若大前提是:任何实数的肯定值都大于0,小前提是:m∈R,结论是:|m|>0,那么这个演绎推理出错在()A.大前提 B.小前提C.推理过程D.没有出错5．6个学校的师生轮番去某个电影院观看某电影，每个学校包一场，则不同的包场依次的种数是()A．720B．480C．540D．1206．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①-3是函数y=f(x)的极值点；②y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；③-1是函数y=f(x)的最小值点；④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零.以上正确命题的序号是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④7．已知t是常数，若，则t=()A.1B.-2C.-2或4D.48．极坐标方程ρ=42cosπ4-θA.4 B.4π C.8 D.8π9．曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成三角形面积为()A.83 B.73 C.5310．已知复数，，，满意，则点的轨迹是（）A．线段 B．圆 C．双曲线 D．椭圆11．若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．12．定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f'(x),当x∈(0,+∞)时,都有2f(x)+xf'(x)<1x,则不等式x2f(x)-2f(2)<x-2的解集为(A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(-2,2)D.(0,二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．有8名男生和3名女生，从中选出4人分别担当语文、数学、英语、物理学科的课代表，若某女生必需担当语文课代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)14．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为．15．曲线y=x2-2x与直线x=-1,x=1以及x轴所围图形的面积为.

16．设△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,内切圆半径为r,则S=12(a+b+c)r,类比这个结论知:四面体S-ABC的四个面的面分别为S1,S2,S3,S4,体积为V,内切球半径为R,则V=三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知m∈R,i为虚数单位,且(m+2i)2=-3+4i.(1)求实数m的值;(2)若|z-1|=|m+2i|,求复数z在复平面上所对应的点P的轨迹方程.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆：，直线：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程与直线的参数方程；（2）设点，若直线与圆交于两点，且，求实数的值.19．（12分）已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．20．（12分）已知正数列满意．（1）求，，的值；（2）试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．21.（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=22-2t,y=2+t,（t为参数），以O为极点，x（1）求直线l的一般方程，以及曲线C的参数方程；（2）点P是曲线C上随意一点，点A在l上，且直线PA与l的夹角为45∘，求∣PA∣22．（12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若非零实数a使得对恒成立，求a的取值范围．龙涤中学2024-2025学年其次学期高二期中考试数学试题（理科）答案命题人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．用反证法证明“△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证B<π2”假设正确的是(A.角B是锐角 B.角B不是锐角C.角B是直角 D.角B是钝角【答案】B【解析】∵小于的反面是大于等于,∴“假设”应为B≥π2即角B不是锐角.故选B.2．已知为虚数单位，则的虚部是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，虚部为，故选A．3．运用分析法证明成立，只需证（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，化简得，因为，，只需证明，故选C．4．若大前提是:任何实数的肯定值都大于0,小前提是:m∈R,结论是:|m|>0,那么这个演绎推理出错在()A.大前提 B.小前提C.推理过程D.没有出错【答案】A【解析】依据实数的性质可知,|0|=0,所以任何实数的肯定值都大于0是错误的,所以推理中的大前提是错误的,故选A.5．6个学校的师生轮番去某个电影院观看某电影，每个学校包一场，则不同的包场依次的种数是()A．720B．480C．540D．120【答案】A【解析】因为是轮番放映，故不同的包场依次的种数为Aeq\o\al(6,6)＝720.故选A.6．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①-3是函数y=f(x)的极值点；②y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；③-1是函数y=f(x)的最小值点；④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零.以上正确命题的序号是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】A7．已知t是常数，若，则t=()A.1B.-2C.-2或4D.4【答案】D【解析】由得，，解得t=4或t=-2（舍去）.8．极坐标方程ρ=42cosπ4-θA.4 B.4π C.8 D.8π【答案】D【解析】因为ρ=42cosπ4-θ=4222cosθ+22sinθ=4cosθ+4sinθ,所以ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ,即x2+y2=4x+4y,(x-9．曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成三角形面积为()A.83 B.73 C.53【答案】A【解析】∵y=x3,∴y'=3x2,当x=1时,切线的斜率为y'=3,∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.令y=0得x=23∴切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为S=12×2-23×10．已知复数，，，满意，则点的轨迹是（）A．线段 B．圆 C．双曲线 D．椭圆【答案】D【解析】复平面上，复数满意，则对应的点到点，点的距离和为，即，，∴复数对应的点在以为焦点，长轴长为的椭圆上，故选D．11．若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数存在与直线平行的切线，即在上有解，而，即在上有解，得在上有解，∵，当且仅当时“＝”成立．∴，∴a的取值范围是，故选D．12．定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f'(x),当x∈(0,+∞)时,都有2f(x)+xf'(x)<1x,则不等式x2f(x)-2f(2)<x-2的解集为(A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(-2,2)D.(0,【答案】A【解析】∵当x∈(0,+∞)时,都有2f(x)+xf'(x)<1x∴当x∈(0,+∞)时,都有2xf(x)+x2f'(x)<1,即2xf(x)+x2f'(x)-1<0.设g(x)=x2f(x)-x,则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)-1,则当x>0时,g'(x)<0,此时函数g(x)是减函数.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,∴g(0)=0,且g(x)=x2f(x)-x是R上的奇函数,∴函数g(x)在(-∞,+∞)内是减函数,∴不等式x2f(x)-2f(2)<x-2等价为x2f(x)-x<(2)2f(2)-2,即g(x)<g(2),∴x>2,即不等式的解集为(2,+∞).故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．有8名男生和3名女生，从中选出4人分别担当语文、数学、英语、物理学科的课代表，若某女生必需担当语文课代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)【答案】720【解析】由题意知，从剩余10人中选出3人担当3个学科课代表，有Aeq\o\al(3,10)＝720种．14．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为．【答案】15．曲线y=x2-2x与直线x=-1,x=1以及x轴所围图形的面积为.

【答案】2【解析】依据题意画出图形,如图:曲线y=x2-2x与直线x=-1,x=1以及x轴所围成的曲边梯形的面积为-10(x2-2x)dx+01(2x-x2)dx=13x16．设△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,内切圆半径为r,则S=12(a+b+c)r,类比这个结论知:四面体S-ABC的四个面的面分别为S1,S2,S3,S4,体积为V,内切球半径为R,则V=【答案】13(S1+S2+S3+S4)【解析】设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和,即四面体的体积为13(S1+S2+S3+S4)三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知m∈R,i为虚数单位,且(m+2i)2=-3+4i.(1)求实数m的值;(2)若|z-1|=|m+2i|,求复数z在复平面上所对应的点P的轨迹方程.【解析】(1)∵(m+2i)2=-3+4i,∴m2+4mi-4=-3+4i,∴m=1.(2)若|z-1|=|m+2i|,由(1)得|z-1|=|1+2i|.设z=x+yi(x,y∈R),则|x-1+yi|=|1+2i|,∴复数z在复平面上所对应的点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=5.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆：，直线：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程与直线的参数方程；（2）设点，若直线与圆交于两点，且，求实数的值.【解析】（1）圆：，则，则极坐标方程为，直线为，直线的斜率为，倾斜角为，所以直线参数方程为(为参数)；（2）将直线的参数方程代入圆的平面直角坐标方程得，整理得，由得，解得，则，解得或，均符合.19．（12分）已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．【解析】f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝b＝0，,f′0＝－aa＋2＝－3，))解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－eq\f(1,2).所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).20．（12分）已知正数列满意．（1）求，，的值；（2）试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【解析】（1）当时，，又，∴；当时，，解得；当时，，解得．（2）猜想，①当时，由（1）可知结论成立；②假设当时，结论成立，即成立，则当时，由与得：，∴，又，∴成立，综上所述得成立．21.（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=22-2t,y=2+t,（t为参数），以O为极点，x（1）求直线l的一般方程，以及曲线C的参数方程；（2）点P是曲线C上随意一点，点A在l上，且直线PA与l的夹角为45∘，求∣PA∣【解析】（1）由直线l的参数方程x=22-2t,y=2+t,（t为参数），得x-2故l的直角坐标方程为x+2y-42由x=ρcosθ，y=ρsinθ，