江苏省南京市2025届高三数学下学期5月模拟考试试题含解析

PAGE22-江苏省南京市2025届高三数学下学期5月模拟考试试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.设集合M＝{m|﹣3＜m＜2，m∈Z}，N＝R，则M∩N＝_____．【答案】{﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．【详解】∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝R，∴M∩N＝{﹣2，﹣1，0，1}．故答案为：{﹣2，﹣1，0，1}．【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算实力，属于基础题．2.复数z复平面上对应点位于第_____象限．【答案】一【解析】【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．【详解】∵复数，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故答案为：一【点睛】本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，考查了复数的四则运算，属于简洁题．3.某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成果的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成果的方差为_____．【答案】51【解析】【分析】由方差定义可得n个数与其平均数，方差间关系xxxnS2+n2，利用此关系可结合条件把20个数据中的前10个数，后10个数分别找出其平方和，及平均数，进而求出20名学生成果的方差．【详解】设x1，x2…xn的方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2][xxx2（x1+x2+…+xn）+n2][x12+xxn2]∴xxxnS2+n2，则xxx10×36+10×902＝81360，xxx10×16+10×802＝64160，85．∴S2[xxx202][81360+64160﹣20×852]＝51，故答案：51．【点评】本题依托平均数，方差，标准差的定义关系，考查学生的数据处理实力和计算实力，属于中低档题．4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为_____．【答案】8【解析】【分析】依据程序框图进行模拟运算即可．【详解】第1次循环：k＝0，S＝1；第2次循环：S＝1×21＝2，k＝2；第3次循环：S＝2×22＝8，k＝3；此时不满意循环条件k＜3，输出S＝8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了程序框图的识别和推断问题，依据条件模拟运算是解题的关键，考查了计算实力，属于简洁题．5.抛掷甲、乙两枚质地匀称且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是_____．【答案】【解析】总数为为整数有共8个,所以概率是6.函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是．【答案】（2，+∞）【解析】试题分析：首先对f（x）=（x﹣3）ex求导，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．故答案为（2，+∞）．考点：利用导数探讨函数的单调性．7.已知双曲线的离心率为，那么此双曲线的准线方程为_____．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的离心率为，求出a，c，再求出双曲线的准线方程．【详解】∵双曲线的离心率为，∴（m﹣3）（m+5）＜0，，∴﹣5＜m＜3，，∴m，∴a，c＝2，∴双曲线的准线方程为故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的准线方程，考查离心率，考查学生分析解决问题的实力，属于中档题．8.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为．【答案】【解析】【分析】先设底面正方形的中心为，依据题意得到，再由求出，结合勾股定理即可得出结果.【详解】设底面正方形的中心为，又底面边长为2可得由【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征，熟记棱锥的结构特征及体积公式即可，属于基础题型.9.已知函数若则函数的最小正周期为．【答案】【解析】【详解】试题分析：，所以，由此可得：，又因为，所以令得，所以函数的最小正周期．考点：三角函数的性质．10.已知等差数列{an}满意：a1＝﹣8，a2＝﹣6．若将a1，a4，a5都加上同一个数m，所得的三个数依次成等比数列，则m的值为_____．【答案】-1【解析】【分析】【分析】由题意可得公差d＝a2﹣a1＝2，从而an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣10，设所加的这个数为x，依据（a1+x）（a5+x），解出x的值．【详解】已知等差数列{an}中，a1＝﹣8，a2＝﹣6，∴公差d＝a2﹣a1＝2，∴an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣10．将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，设所加的这个数为x，则有（a1+x）（a5+x），即（﹣2+x）2＝（﹣8+x）（0+x），解得x＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，求等差数列的通项公式，求得an＝2n﹣10，是解题的关键，属于中档题．11.设函数和的图象在轴左、右两侧靠近轴的交点分别为、，已知为原点，则．【答案】【解析】试题分析：由得，即，所以，即，则，所以；考点：1．三角函数的恒等变换；2．平面对量的数量积；12.设f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R），若f（x）的最大值为，则a+b的取值范围为_____．【答案】[，]．【解析】【分析】由条件利用协助角公式、正弦函数的最值求得a2+b2＝5，再利用基本不等式求得（a+b）2≤10，从而求得a+b的取值范围．【详解】∵f（x）＝asin2x+bcos2xsin（2x+θ）（a，b∈R），若f（x）的最大值为，∴a2+b2＝5，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab≤2（a2+b2）＝10，∴a+b，故a+b的取值范围为[，]，故答案为：[，]．【点睛】本题主要考查协助角公式，正弦函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，且cos2B+cosB+cos（A﹣C）＝1，则a+2c的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，结合正弦定理以及基本不等式求解即可．【详解】解：由cos2B+cosB+cos（A﹣C）＝1⇒1﹣2sin2B+cosB+cosAcosC+sinAsinC＝1⇒1﹣2sin2B﹣cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC＝1⇒sinAsinC＝sin2B，由正弦定理得到ac＝b2，而，当且仅当等号成立由b＝2，可得．故答案为：．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的实力．14.已知正实数x，y满意x＋＋3y＋＝10，则xy的取值范围为________．【答案】【解析】10＝＋≥2，即25≥3xy＋＋143(xy)2－11xy＋8≤01≤xy≤.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（1）当时，求b的值；（2）当∥时，且，求的值．【答案】（1）b＝1．（2）2【解析】【分析】（1）由题意得，即，由正弦定理有：，联马上可得解b的值．（2）由平行条件得a＝sinA•sinB，由，则可得，联马上可得解．【详解】（1）由题意得：，即得，在三角形中由正弦定理有：，由以上两式可知：b＝1．（2）由平行条件得，，则可得到：，∴．【点睛】本题主要考查了正弦定理，平面对量数量积的坐标运算，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算计算实力和转化思想，属于中档题．16.如图，四棱锥A﹣BCDE中，AB、BC、BE两两垂直且AB＝BC＝BE，DE∥BC，DE＝2BC，F是AE的中点．（1）求证：BF∥面ACD；（2）求证：面ADE⊥面ACD．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AD的中点M，连接CM、MF，推导出四边形BCMF为平行四边形，从而CM∥BF，由此能证明BF∥面ACD．（2）作DE中点N，连接CN，推导出CM⊥AD，BF⊥AE，CM⊥AE，由此能证明面ADE⊥面ACD．【详解】证明：（1）取AD的中点M，连接CM、MF．∵F、M分别为AE、AD中点，∴DE∥2MF，DE=2MF又∵DE∥2BC，DE=2BC∴FM∥BC，FM=BC，∴四边形BCMF为平行四边形，∴CM∥BF，又∵BF⊄面ACD，CM⊂面ACD，∴BF∥面ACD．（2）作DE中点N，连接CN，∵DE∥2BC，DE=2BC，N为DE中点N，∴DN＝BC，又∵AB、BC、BE两两垂直，且AB＝BC＝BE，∴AC＝CD，∵M为AD中点，∴CM⊥AD，又∵F是AE的中点，且AB＝BE，∴BF⊥AE，∵CM∥BF，∴CM⊥AE，又∵AD∩AE＝A，AE、AD⊂面ADE，∴CM⊥面ADE，∵CM⊂面ACD，∴面ADE⊥面ACD．【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查了空间思维实力和推理实力，属于中档题．17.为解决城市的拥堵问题，某城市打算对现有的一条穿城马路MON进行分流，已知穿城马路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向（即）．现打算修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B．假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km．（1）求两站点A，B之间距离的最小值；（2）马路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为爱护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形爱护区．则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路L及其延长段不经过爱护区（不包括临界状态）？【答案】（1）；（2）设计出入口A离市中心O的距离在到20km之间时，才能使高架道路L及其延长段不经过爱护区（不包括临界状态）．【解析】【分析】（1）过点O作于点E，则，设，则，，则有，然后利用三角函数的学问求出分母的最大值即可（2）以O为原点建立平面直角坐标系，设直线AB的方程为，可得和，解得或（舍），可得，又当时，，从而可得.【详解】（1）过点O作于点E，则，设，则，所以，所以；因为；所以当时，AB取得最小值为；（2）以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示；则圆C的方程为，设直线AB的方程为；∴，∴，解得或（舍），∴，又当时，，所以；综上知，当时，即设计出入口A离市中心O的距离在到20km之间时，才能使高架道路L及其延长段不经过爱护区（不包括临界状态）．【点睛】1.本题考查的是三角函数的实际应用，要擅长利用三角函数的有界性求最值2.由实际问题建立直角坐标系，运用直线与圆的位置关系，确定参数范围.18.已知点M是圆C：（x+1）2+y2＝8上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满意2，•0，动点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）由已知得NP为DM的垂直平分线，|ND|＝|NM|，，由此能求了轨迹E的方程．（2）法一：设直线AB的方程为y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值．（2）法二：设直线AB的方程为y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值．【详解】（1）解：因为，，所以NP为DM的垂直平分线，所以|ND|＝|NM|，又因为，所以所以动点N的轨迹是以点C（﹣1，0），D（1，0）为焦点的长轴为的椭圆．所以轨迹E的方程为．（2）解法一：因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为y＝kx+m，由，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），又△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，所以，因为|AB|＝2，所以，即所以，即，因为1+k2≥1，所以．又点O到直线AB的距离，因为h，所以S2＝h2＝2m2（1﹣m2）所以，即S的最大值为．（2）解法二：因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x垂直，故可设直线AB的方程为y＝kx+m，由，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），又△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，所以，．因为|AB|＝2，所以．因为，所以，所以，又点O到直线AB的距离，所以h．所以S2＝h2．设，则，所以，即S的最大值为．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查了三角形面积的最大值的求法，解题时要留意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用，要求较高的计算实力，本题属于难题．19.设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对随意正整数n，m，Sn+m＝Sm+qmSn总成立．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若不等的正整数m，k，h成等差数列，试比较amm•ahh与ak2k的大小；（3）若不等的正整数m，k，h成等比数列，试比较与的大小．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）令n＝m＝1，得a2＝qa1，令m＝1，得Sn+1＝S1+qSn（1），从而Sn+2＝S1+qSn+1两式相减即可得出an+2＝qan+1，进而可推断出数列{an}是等比数列（2）依据m，k，h成等差数列，可知m+h＝2k，进而可判定，进而依据等比数列的通项公式分q大于、等于和小于1三种状况推断．（3）正整数m，k，h成等比数列，则m•h＝k2，推断出，进而依据等差依据等比数列的通项公式分a1和q大于、等于和小于1三种状况推断．【详解】（1）证：因为对随意正整数n，m，Sn+m＝Sm+qmSn总成立，令n＝m＝1，得S2＝S1+qS1，则a2＝qa1令m＝1，得Sn+1＝S1+qSn（1），从而Sn+2＝S1+qSn+1（2），（2）﹣（1）得an+2＝qan+1，（n≥1）综上得an+1＝qan（n≥1），所以数列{an}是等比数列（2）正整数m，k，h成等差数列，则m+h＝2k，所以，则①当q＝1时，amm•ahh＝a12k＝ak2k②当q＞1时，③当0＜q＜1时，（3）正整数m，k，h成等比数列，则m•h＝k2，则，所以，①当a1＝q，即时，②当a1＞q，即时，③当a1＜q，即时，【点睛】本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的性质，考查了等比数列与不等式综合，考查了分类探讨思想和计算实力，属于难题．20.已知函数（是自然对数的底数）.（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；（2）若对于随意恒成立，试确定实数的取值范围；（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或；（2）（3）相等，一个.【解析】【分析】（1）求出在的切线，与联立，依据切线与抛物线只有一个交点，则；（2）分，，依据导数探讨；（3）转化为函数的零点通过导数求解.【详解】（1），所以在处的切线为即：与联立，消去得，由知，或（2）①当时，在上单调递增，且当时，，，故不恒成立，所以不合题意；②当时，对恒成立，所以符合题意；③当时令，得，当时，，当时，，故在上是单调递减，在上是单调递增,所以又，，综上：(3)当时，由（2）知，设，则，假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，令得：，因为，所以.令，则，当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程有唯一解为1，所以存在符合条件的，且仅有一个.【点睛】本题考查导数的综合应用.困难方程的根问题：1、转化为函数的交点求解；2、转化为函数的零点求解.[选做题]（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）[选修4-2：矩阵与变换]21.设矩阵A，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．【答案】λ1＝﹣1，对应一个特征向量为，λ2，对应的一个特征向量为．【解析】【分析】由矩阵A，求得丨A丨及A*，A﹣1A*，求得A﹣1，由特征多项式f（λ）＝0，求得矩阵的特征值，代入求得特征向量．【详解】丨A丨1﹣4＝﹣3，A*，A的逆矩阵为A﹣1A*，则特征多项式为f（λ）＝（λ）2λ2λ，令f（λ）＝0，解得：λ1＝﹣1，λ2，设特征向量为，则，可知特征值λ1＝﹣1，对应的一个特征向量为，同理可得特征值λ2，对应一个特征向量为．【点睛】本题考查求矩阵特征值及特征向量，考查逆矩阵的求法，考查计算实力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，求曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程.【答案】【解析】【分析】将曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，从而求得对称曲线的直角坐标方程，再转化成极坐标方程.【详解】以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为，且圆心C为.直线的直角坐标方程为，因为圆心C关于的对称点为，所以圆心C关于的对称曲线为.所以曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程为.【点睛】本题考查极坐标方程与一般方程的互化问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理实力、运算求解实力.[选修4-5：不等式选讲]23.若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）＝（a﹣1）（b﹣1）的最大值．【答案】．【解析】分析】由题意可得1，2是方程x2﹣ax+b＝0的两根，运用韦达定理可得a＝3，b＝2，即有f（x）＝2，运用柯西不等式即可得到所求最大值．【详解】关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），可得1，2是方程x2﹣ax+b＝0的两根，即有1+2＝a，1×2＝b，解得a＝3，b＝2，则函数f（x）＝（a﹣1）（b﹣1）2，由x﹣3≥0，4﹣x≥0可得3≤x≤4，由柯西不等式可得，（2）2≤（4+1）（x﹣3+4﹣x），即有2．当2，即为x∈[3，4]时，f（x）取得最大值．【点睛】本题