中考数学一轮大单元复习2.4方程(组)与不等式(组)验收卷(原卷版+解析)

综合测试方程（组）与不等式（组）一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．(2023秋·福建厦门·九年级厦门外国语学校校考期末）不等式组的解集是（

）A． B． C． D．2．(2023秋·广西贵港·七年级校考期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．3．(2023秋·辽宁大连·七年级统考期末）下表是2023年1月的月历，用一个方框任意框出4个数a，b，c，d．若的值为65，那么a的值是（

）A．19 B．20 C．21 D．224．(2023秋·江西吉安·九年级校考阶段练习）下列一元二次方程中，根是的是（

）A． B．C． D．5．(2023秋·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）已知关于x的不等式的解在数轴上表示如图，则a的值为（）A．2 B． C．0 D．16．(2023秋·山东青岛·九年级统考期末）随着新冠疫苗的全民接种，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药公司引进一条新冠疫苗生产线，开工第一天生产疫苗盒，第三天生产疫苗盒，若每天的增长率相同，求每天的增长率是多少？设每天的增长率是，则可列方程为（

）A．B．C．D．7．(2023秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）定义运算“*”，规定（其中为常数），若已知，则的值为（

）A．10 B．9 C．8 D．78．(2023·全国·七年级专题练习）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45—55次之间，则最省钱的方式为（）会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）A类5025B类20020C类40015A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡9．(2023秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以，构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（

）A． B． C． D．10．(2023秋·全国·八年级专题练习）若分式方程无解，则a的值是（）A． B．1 C．0 D．或111．(2023秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（

）A． B． C．或 D．12．(2023秋·河北保定·八年级校考期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对；④若，则．其中不正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．(2023秋·江苏·九年级统考期中）配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论：①用配方法解方程，变形后的结果是；②已知方程可以配成，那么可以配成；③若关于的方程有实数根，则；④若可以配成形如的形式，则；⑤用配方法可以求得代数式的最小值是1．其中正确结论的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个14．(2023秋·全国·八年级专题练习）若整数a使关于x的不等式组有且只有19个整数解，且使关于y的方程＝1的解为非正数，则a的值是（）A．﹣13或﹣12 B．﹣13 C．﹣12 D．﹣13或﹣11二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．(2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）不等式的最大整数解是______．16．(2023秋·浙江绍兴·九年级统考期中）有二把不同刻度的直尺a、b，同一把直尺上的刻度之间距离相等，小敏把这二把直尺如图紧贴，并将两把直尺上的刻度0互相对准，发现a尺的刻度36对准着b尺上的刻度48，平行移动a尺（平移过程中两把直尺维持紧贴），使得a尺的刻度0对准b尺的刻度4，则此时a尺的刻度21对准b尺的上刻度是______．17．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）已知，则______．18．(2023秋·广东广州·八年级校考阶段练习）对两实数，定义一种新运算，规定，例如：，若，则的值为______．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．(2023春·浙江金华·七年级统考期末）解方程：(1)；(2)．20．(2023秋·全国·八年级期末）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．21．(2023秋·河南新乡·九年级统考期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)若方程有一个根为，求的值和方程的另一个根．22．(2023秋·广东广州·八年级校考期末）甲、乙两人做某种机械零件(1)已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个？(2)已知甲计划做零件60个，乙计划做零件100个，甲、乙的速度比为3：4，结果甲比乙提前20分钟完成任务，求乙每小时做零件多少个？23．(2023秋·辽宁大连·七年级统考期末）模型与应用【数学模型】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，借助图直观地表示很多与数相关的问题，体现了数形结合的思想方法．【问题解决】（1）如图1，在数轴上，点A和点B表示的有理数分别为和4，点P、点Q为线段上两点，点Q在点P右侧且．若点P对应的数为x，，求此时x的值．【形成观念】（2）如图2，某地的高速口与动车口水平距离为1千米，同向平行行驶的轿车和动车在各自卡口同时出发．已知普通家庭轿车的长度是4米，行驶速度为120千米/小时；8组编的动车长度为266米，行驶速度为200千米/小时．求动车车头追上轿车车尾到动车车尾离开轿车车头需要多少秒？24．(2023秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）“改变生活，改变社会”，不一样的手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的手机出售，售出1部A型、2部B型手机共获利1000元，售出2部A型、1部B型手机共获利800元．(1)求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元？(2)若营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出这最大利润．25．(2023秋·全国·八年级专题练习）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和是多少？26．(2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）国庆节期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）类别价格A款保温杯B款保温杯进货价（元/个）3528销售价（元/个）5040(1)网店第一次用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数；(2)第一次购进的保温杯售完后，该网店计划再次购进A，B两款保温杯共110个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3360元，则全部售完购进的保温杯，该网店可获得的最大利润是元；(3)国庆节过后，网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，那么将销售价定为每件多少元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元？综合测试方程（组）与不等式（组）一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．(2023秋·福建厦门·九年级厦门外国语学校校考期末）不等式组的解集是（

）A． B． C． D．答案：D分析：求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式，得：，又∵，∴不等式组的解集为：．故选：D【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．(2023秋·广西贵港·七年级校考期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．答案：D分析：设共有x人，根据猪的价格不变，列出方程即可．【详解】解：∵每人出90钱，恰好合适，∴猪价为90x钱，根据题意，可列方程为．故选D．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题是关键是找对等量关系，正确的列出方程．3．(2023秋·辽宁大连·七年级统考期末）下表是2023年1月的月历，用一个方框任意框出4个数a，b，c，d．若的值为65，那么a的值是（

）A．19 B．20 C．21 D．22答案：A分析：根据月历中左右两个数差1上下两个数差7，找到a、b、c、d的关系，再根据的值为65，求解即可．【详解】解：由题意可得：，，，∴，解得．故选：A．【点睛】此题主要考查了月历，整式的加减，一元一次方程等，解题的关键是熟练掌握月历的特征，列代数式，列一元一次方程，解一元一次方程．4．(2023秋·江西吉安·九年级校考阶段练习）下列一元二次方程中，根是的是（

）A． B．C． D．答案：D分析：根据求根公式解答．【详解】解：由知：，，．所以该一元二次方程为：．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．5．(2023秋·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）已知关于x的不等式的解在数轴上表示如图，则a的值为（）A．2 B． C．0 D．1答案：B分析：根据数轴可得不等式的解集，再将变为，结合解集进行求解即可．【详解】解：∵的解集在数轴上为：，则，即，故，解得：．故选：B．【点睛】本题考查了不等式的求解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．6．(2023秋·山东青岛·九年级统考期末）随着新冠疫苗的全民接种，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药公司引进一条新冠疫苗生产线，开工第一天生产疫苗盒，第三天生产疫苗盒，若每天的增长率相同，求每天的增长率是多少？设每天的增长率是，则可列方程为（

）A．B．C．D．答案：C分析：利用第三天生产疫苗的数量第一天生产疫苗的数量每天的增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设每天的增长率是，根据题意得，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．(2023秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）定义运算“*”，规定（其中为常数），若已知，则的值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7答案：A分析：已知等式利用新定义列得二元一次方程组，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．【详解】解：根据题中的新定义化简已知等式得：，解得：，则．故选：A．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．8．(2023·全国·七年级专题练习）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45—55次之间，则最省钱的方式为（）会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）A类5025B类20020C类40015A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡答案：C分析：设一年内在该游泳馆消费的次数为x次，消费为y元，根据各类会员卡的收费标准求出，，，再由确定y的范围即可得答案．【详解】解：设一年内在该游泳馆消费的次数为x次，消费为y元，由题意得，，当时，，，，，由此可见，C类会员年卡消费最低，即最省钱的方式为购买C类会员年卡，故选C．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键．9．(2023秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以，构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（

）A． B． C． D．答案：B分析：根据两个图形分别可得，，两个等式消去a与b即可求解．【详解】解：由题意得，，，得，解得，故选：B【点睛】本题考查了根据几何图形列方程组得问题，读懂题意是解题的关键．10．(2023秋·全国·八年级专题练习）若分式方程无解，则a的值是（）A． B．1 C．0 D．或1答案：D分析：按照解分式方程的步骤即可得出，再分类讨论分式方程无解的情况，即可求出a值．【详解】解：，去分母，得：，去括号，得，移项，得，合并同类项，得．∵该分式方程无解，∴无解或该分式方程有增根或，∴或或（此时a不存在）．解得：或．故选D．【点睛】本题考查由分式方程无解求参数的值．熟练掌握分式方程的解法步骤，理解分式方程无解的条件是解决此类问题的关键．11．(2023秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（

）A． B． C．或 D．答案：C分析：过E作于点M，当运动时间为秒时，，利用勾股定理解，可得关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：如图所示，过E作于点M，由题意知，当运动时间为秒时，，，，，根据勾股定理得：，即，整理得：，解得：，，的长为时点E的运动时间是或，故选C．【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．本题作答方法不唯一，也可以通过分类讨论求解．12．(2023秋·河北保定·八年级校考期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对；④若，则．其中不正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：B分析：①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可判断；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解．【详解】解：将代入原方程组，得，解得：．将代入方程的左右两边，得：左边，右边，即左边右边，∴当时，方程组的解不是方程的解，故①错误，符合题意；解原方程组，得，∴，∴无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意；∵，∴x、y为自然数的解有，，，，∴x，y都为自然数的解有4对，故③正确，不符合题意；∵，，∴，解得：，故④错误，符合题意．综上所述：②③正确，①④错误．故选B．【点睛】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键是掌握二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法和步骤．13．(2023秋·江苏·九年级统考期中）配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论：①用配方法解方程，变形后的结果是；②已知方程可以配成，那么可以配成；③若关于的方程有实数根，则；④若可以配成形如的形式，则；⑤用配方法可以求得代数式的最小值是1．其中正确结论的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个答案：B分析：根据配方法和完全平方式进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴∴，故①正确；∵可以配成，∴，即，∴即，可以配方为，即，故②错误；∵关于x的方程，即方程有实数根，∴，解得，故③正确；∵可以配成形如的形式，∴是一个完全平方式，∴，故④错误；∵，，∴，∴的最小值为1，故⑤正确；故选B．【点睛】本题主要考查了配方法和完全平方式中的字母求值，熟知配方法是解题的关键．14．(2023秋·全国·八年级专题练习）若整数a使关于x的不等式组有且只有19个整数解，且使关于y的方程＝1的解为非正数，则a的值是（）A．﹣13或﹣12 B．﹣13 C．﹣12 D．﹣13或﹣11答案：C分析：解不等式组，根据有且只有19个整数解求出a的范围，再解方程，根据方程的解为非正数，求出a的范围，找出公共部分的整数a值即可．【详解】解：解，得，∵不等式组有且只有19个整数解，∴，解得：，解得，∵方程的解为非正数，．∴，．为整数，．故选：C．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集是解题的关键．二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．(2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）不等式的最大整数解是______．答案：分析：先求得两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分可确定出不等式组的解集，进而可得到最大整数解．【详解】解：不等式化为，由①得：，由②得：，不等式组的解集为，则不等式组的最大整数解为．故答案为：．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答的关键．16．(2023秋·浙江绍兴·九年级统考期中）有二把不同刻度的直尺a、b，同一把直尺上的刻度之间距离相等，小敏把这二把直尺如图紧贴，并将两把直尺上的刻度0互相对准，发现a尺的刻度36对准着b尺上的刻度48，平行移动a尺（平移过程中两把直尺维持紧贴），使得a尺的刻度0对准b尺的刻度4，则此时a尺的刻度21对准b尺的上刻度是______．答案：32分析：由将两把直尺上的刻度0互相对准，发现a尺的刻度36对准着b尺上的刻度48，可知a尺相邻两刻度之间的距离b尺相邻两刻度之间的距离，设a尺的刻度21对准b尺的上刻度是x，根据a尺的刻度21与刻度0之间的距离b尺的刻度4与刻度x之间的距离列方程，解方程即可．【详解】解：设a尺的刻度21对准b尺的上刻度是x，由题意知，解得，即a尺的刻度21对准b尺的上刻度是32．故答案为：32．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据题目所给条件找出合适的等量关系列出方程．17．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）已知，则______．答案：5分析：先把原条件等式化为，再建立方程组解题即可．【详解】解：∵，∴，解得：，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查的是幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，二元一次方程组的解法，利用幂的运算法则构建方程组是解本题的关键．18．(2023秋·广东广州·八年级校考阶段练习）对两实数，定义一种新运算，规定，例如：，若，则的值为______．答案：分析：根据新定义可得方程，解方程即可．【详解】解：由题意得，，∴，∴，解得，经检验，是原方程的解，故答案为：．【点睛】本题主要考查了新定义，解分式方程，正确理解题意得到方程是解题的关键．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．(2023春·浙江金华·七年级统考期末）解方程：(1)；(2)．答案：(1)(2)分析：根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解各题即可．【详解】（1）解：，，；（2）解：，，，．【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确掌握一元一次方程的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1是解题的关键．20．(2023秋·全国·八年级期末）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．答案：分析：把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m与n的值代入方程组求解即可得到答案．【详解】解：把代入②得：，解得：，把代入①得：，解得：，把，代入方程组得：，得：，即，把代入①得：，则方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键．21．(2023秋·河南新乡·九年级统考期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)若方程有一个根为，求的值和方程的另一个根．答案：(1)；(2)．分析：（1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围；（2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根．【详解】（1）根据题意得，即解得；（2）把代入原方程，得，解得，方程为，解得或，即方程的另一根为．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．22．(2023秋·广东广州·八年级校考期末）甲、乙两人做某种机械零件(1)已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个？(2)已知甲计划做零件60个，乙计划做零件100个，甲、乙的速度比为3：4，结果甲比乙提前20分钟完成任务，求乙每小时做零件多少个？答案：(1)甲每小时做18个，乙每小时做12个(2)甲每小时做45个，乙每小时做60个分析：（1）设乙每小时做个，则甲每小时做个，甲做90个所用的时间为，乙做60个所用的时间为，然后根据所用时间相等列出方程求解即可；（2）设甲每小时做个零件，表示出乙每小时做的零件个数，然后根据“结果甲比乙提前20分钟完成任务”列出方程即可．【详解】（1）解：（1）设乙每小时做个，则甲每小时做个，甲做90个所用的时间为，乙做60个所用的时间为；根据题意列方程为：，解得：，经检验：是原分式方程的解，且符合题意，则．答：甲每小时做18个，乙每小时做12个．（2）设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件，根据题意得，，解得：，经检验：是原分式方程的解，且符合题意，则，．答：甲每小时做45个，乙每小时做60个．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．23．(2023秋·辽宁大连·七年级统考期末）模型与应用【数学模型】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，借助图直观地表示很多与数相关的问题，体现了数形结合的思想方法．【问题解决】（1）如图1，在数轴上，点A和点B表示的有理数分别为和4，点P、点Q为线段上两点，点Q在点P右侧且．若点P对应的数为x，，求此时x的值．【形成观念】（2）如图2，某地的高速口与动车口水平距离为1千米，同向平行行驶的轿车和动车在各自卡口同时出发．已知普通家庭轿车的长度是4米，行驶速度为120千米/小时；8组编的动车长度为266米，行驶速度为200千米/小时．求动车车头追上轿车车尾到动车车尾离开轿车车头需要多少秒？答案：（1）；（2）需要12.15秒．分析：（1）点P对应的数是x，则点Q对应的数是，用x表示出，，根据列出x的方程，解方程即可；（2）以高速卡口为原点，小轿车行驶的方向为正方向，1千米为一个单位长度，建立数轴，t小时后，轿车头部A对应的数为120t，轿车尾部B对应的数为，动车头部C对应的数为，动车尾部D对应的数为，分别求出B与C重合时，A与D重合时t的值，然后求出结果即可．【详解】解：（1）由题，点P对应的数是x，则点Q对应的数是，∴，，∵，∴，解得，．（2）如图，以高速卡口为原点，小轿车行驶的方向为正方向，1千米为一个单位长度，建立数轴，t小时后，轿车头部A对应的数为120t，轿车尾部B对应的数为，动车头部C对应的数为，动车尾部D对应的数为，当B与C重合时，，解得，，当A与D重合时，，解得，，（秒）．答：动车头追上轿车尾到动车尾离开轿车头一共需要12.15秒．【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，列出方程，准确计算．24．(2023秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）“改变生活，改变社会”，不一样的手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的手机出售，售出1部A型、2部B型手机共获利1000元，售出2部A型、1部B型手机共获利800元．(1)求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元？(2)若营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出这最大利润．答案：(1)A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元(2)购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元分析：（1）根据题意得出等量关系式：售出1部A型、2部B型手机共获利1000元，售出2部A型、1部B型手机共获利800元，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据题意列出一元一次不等式求出自变量的取值范围，再根据一次函数求最值即可．【详解】（1）设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元，由题意得：，解得．答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(20﹣x)部，获得的利润为w元，，∵B型手机的数量不超过A型手机数量的，∴，解得，∵，∴w随x的增大而减小，∴当时，w取得最大值，此时，．答：营业厅购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数，解答本题关键是列出二元一次方程组和熟记一次函数的性质．25．(2023秋·全国·八年级专题练习）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和是多少？答案：符合条件的所有整数a的和为16分析：由题意可得