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文档简介
8.3直线与圆、圆与圆的位置关系【题型解读】【知识必备】1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>rd=rd<r2.圆与圆的位置关系(⊙O1,⊙O2的半径分别为r1,r2,d=|O1O2|)图形量的关系外离d>r1+r2外切d=r1+r2相交|r1-r2|<d<r1+r2内切d=|r1-r2|内含d<|r1-r2|3.直线被圆截得的弦长(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2eq\r(r2-d2).(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=eq\r(1+k2)·eq\r(xM+xN2-4xMxN).常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时,其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.(2)两个圆系方程①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防丢解).【题型精讲】【题型一直线与圆位置关系判断】必备技巧判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.例1(2023·全国·高三专题练习)直线kx-y+2-k=0与圆x2+y2-2x-8=0的位置关系为()A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切【跟踪精练】1.(2023·青岛高三月考)已知直线,圆,则直线与圆的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.无法确定2.(多选)(2023·深圳模拟)设直线l:y=kx+1(k∈R)与圆C:x2+y2=5,则下列结论正确的为()A.l与C可能相离B.l不可能将C的周长平分C.当k=1时,l被C截得的弦长为eq\f(3\r(2),2)D.l被C截得的最短弦长为4【题型二弦长和面积问题】必备技巧弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2eq\r(r2-d2).例2(2023·青岛高三模拟)已知直线与圆相交于A,B两点,则k=(
)A. B. C. D.例3(2023·山东日照高三模拟)(多选)已知圆的圆心在直线上,且与相切于点,过点作圆的两条互相垂直的弦AE、BF.则下列结论正确的是(
)A.圆的方程为:B.弦AE的长度的最大值为C.四边形ABEF面积的最大值为D.该线段AE、BF的中点分别为M、N,直线MN恒过定点【跟踪精练】1.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2eq\r(3),则直线l的方程为()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=02.(2023·全国高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,过点的直线l与圆相交于M,N两点,若,则直线l的斜率为__________.【题型三切线及切线长问题】方法技巧当切线方程斜率存在时,圆的切线方程的求法(1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.(2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况.例4(2023·全国高三专题练习)已知圆O:则,过点作圆的切线,则切线的方程为___________.例5(2023·广东深圳市·高三二模)已知直线l:x+ay-1=0是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴,过点A(-1,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|等于()A.1B.2C.4D.8【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为________.2.(多选题)(2023·全国·模拟预测)已知直线,过直线上任意一点M作圆的两条切线,切点分别为A,B,则有(
)A.四边形MACB面积的最小值为 B.最大度数为60°C.直线AB过定点 D.的最小值为【题型四圆与圆的位置关系】例6(2023·全国高三专题练习)若圆C1:(x-1)2+(y-a)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+1)2=a2相交,则正实数a的取值范围为()A.(3,+∞) B.(2,+∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),+∞)) D.(3,4)例7(2023·全国·高三专题练习)已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P,则点P的坐标为(
)A. B. C. D.【题型精练】1.已知圆与圆相交于点,,则四边形的面积是(
)A.1 B.2 C.3 D.42.(2023·山东青岛高三月考)已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:(1)m取何值时两圆外切?(2)当m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.8.3直线与圆、圆与圆的位置关系【题型解读】【知识必备】1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>rd=rd<r2.圆与圆的位置关系(⊙O1,⊙O2的半径分别为r1,r2,d=|O1O2|)图形量的关系外离d>r1+r2外切d=r1+r2相交|r1-r2|<d<r1+r2内切d=|r1-r2|内含d<|r1-r2|3.直线被圆截得的弦长(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2eq\r(r2-d2).(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=eq\r(1+k2)·eq\r(xM+xN2-4xMxN).常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时,其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.(2)两个圆系方程①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防丢解).【题型精讲】【题型一直线与圆位置关系判断】必备技巧判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.例1(2023·全国·高三专题练习)直线kx-y+2-k=0与圆x2+y2-2x-8=0的位置关系为()A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切答案:C【解析】方法一直线kx-y+2-k=0的方程可化为k(x-1)-(y-2)=0,该直线恒过定点(1,2).因为12+22-2×1-8<0,所以点(1,2)在圆x2+y2-2x-8=0的内部,所以直线kx-y+2-k=0与圆x2+y2-2x-8=0相交.方法二圆的方程可化为(x-1)2+y2=32,所以圆的圆心为(1,0),半径为3.圆心到直线kx-y+2-k=0的距离为eq\f(|k+2-k|,\r(1+k2))=eq\f(2,\r(1+k2))≤2<3,所以直线与圆相交.【跟踪精练】1.(2023·青岛高三月考)已知直线,圆,则直线与圆的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.无法确定答案:A【解析】由圆,可得圆心,半径,因为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交,故选:A.2.(多选)(2023·深圳模拟)设直线l:y=kx+1(k∈R)与圆C:x2+y2=5,则下列结论正确的为()A.l与C可能相离B.l不可能将C的周长平分C.当k=1时,l被C截得的弦长为eq\f(3\r(2),2)D.l被C截得的最短弦长为4答案:BD【解析】对于A选项,直线l过定点(0,1),且点(0,1)在圆C内,则直线l与圆C必相交,A选项错误;对于B选项,若直线l将圆C的周长平分,则直线l过原点,此时直线l的斜率不存在,B选项正确;对于C选项,当k=1时,直线l的方程为x-y+1=0,圆心C到直线l的距离为d=eq\f(\r(2),2),所以直线l被C截得的弦长为2eq\r(5-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)=3eq\r(2),C选项错误;对于D选项,圆心C到直线l的距离为d=eq\f(1,\r(k2+1))≤1,所以直线l被C截得的弦长为2eq\r(5-d2)≥4,D选项正确.【题型二弦长和面积问题】必备技巧弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2eq\r(r2-d2).例2(2023·青岛高三模拟)已知直线与圆相交于A,B两点,则k=(
)A. B. C. D.答案:B【解析】圆的圆心,所以圆心到直线的距离为,则,而,所以,解得:.故选:B.例3(2023·山东日照高三模拟)(多选)已知圆的圆心在直线上,且与相切于点,过点作圆的两条互相垂直的弦AE、BF.则下列结论正确的是(
)A.圆的方程为:B.弦AE的长度的最大值为C.四边形ABEF面积的最大值为D.该线段AE、BF的中点分别为M、N,直线MN恒过定点答案:AD【解析】设圆心为C,圆的半径为r,由题可知,,∴圆的方程为:,故A正确;当AE过圆心C时,AE长度最长为圆的直径4,故B错误;如图,线段AE、BF的中点分别为M、N,设,则,,,,∴时,四边形ABEF面积有最大值,故C错误;∵四边形MDNC为矩形,则MN与CD互相平分,即MN过CD中点(),故D正确.故选:AD.【跟踪精练】1.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2eq\r(3),则直线l的方程为()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0答案:B【解析】当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=0时,弦长为2eq\r(3),符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2eq\r(3),半径为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有eq\f(|k+2|,\r(k2+1))=1,解得k=-eq\f(3,4),综上,直线l的方程为x=0或3x+4y-12=0.2.(2023·全国高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,过点的直线l与圆相交于M,N两点,若,则直线l的斜率为__________.答案:【解析】由题意得,直线的斜率存在,设,,直线MN的方程为,与联立,得,,得,,.因为,所以,则,于是,(由点A及C在y轴上可判断出,同号)所以,两式消去,得,满足,所以.故答案为:【题型三切线及切线长问题】方法技巧当切线方程斜率存在时,圆的切线方程的求法(1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.(2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况.例4(2023·全国高三专题练习)已知圆O:则,过点作圆的切线,则切线的方程为___________.答案:或.【解析】由题意:当切线斜率不存在时,方程为:,满足与圆相切,当斜率存在时,设切线方程为:,则:,解得,此时切线方程为:,即,故答案为:或例5(2023·广东深圳市·高三二模)已知直线l:x+ay-1=0是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴,过点A(-1,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|等于()A.1B.2C.4D.8答案:C【解析】已知直线l:x+ay-1=0是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴,圆心C(3,1),半径r=3,所以直线l过圆心C(3,1),故3+a-1=0,故a=-2,所以点A(-1,-2),|AC|=eq\r(3+12+1+22)=5,|AB|=eq\r(52-32)=4.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为________.答案:eq\r(7)【解析】设直线上一点P,切点为Q,圆心为M,M的坐标为(3,0),则|PQ|即为切线长,|MQ|为圆M的半径,长度为1,|PQ|=eq\r(|PM|2-|MQ|2)=eq\r(|PM|2-1),要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,此题转化为求直线y=x+1上的点到圆心M的最小距离.设圆心到直线y=x+1的距离为d,则d=eq\f(|3-0+1|,\r(12+-12))=2eq\r(2),∴|PM|的最小值为2eq\r(2),此时|PQ|=eq\r(|PM|2-1)=eq\r(2\r(2)2-1)=eq\r(7).2.(多选题)(2023·全国·模拟预测)已知直线,过直线上任意一点M作圆的两条切线,切点分别为A,B,则有(
)A.四边形MACB面积的最小值为 B.最大度数为60°C.直线AB过定点 D.的最小值为答案:AD【解析】对于A选项,由题意可知,当时,有最小值,即,此时,所以四边形MACB面积的最小值为,故选项A正确;对于B选项,当时,最大,此时,此时,故选项B错误;对于C选项,设点,,,则,易知在点A、B处的切线方程分别为,,将点分别代入两切线方程得,,所以直线方程为,整理得,代入,得,解方程组得所以直线AB过定点,故选项C错误;对于D选项,设直线AB所过定点为P,则,当时,弦长最小,此时,则的最小值为,故选项D正确,故选:AD.【题型四圆与圆的位置关系】例6(2023·全国高三专题练习)若圆C1:(x-1)2+(y-a)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+1)2=a2相交,则正实数a的取值范围为()A.(3,+∞) B.(2,+∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),+∞)) D.(3,4)答案:A【解析】|C1C2|=eq\r(9+a+12),因
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