新高考数学二轮复习专题2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）（解析版）

专题2-1函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）目录TOC\o"1-1"\h\u题型01奇偶性基础 1题型02中心对称型函数 3题型03轴对称型函数 6题型04斜直线轴对称型 8题型05“正余弦”型对称 10题型06伸缩型对称 13题型07一元三次函数型中心对称 15题型08“局部周期”型函数性质 18题型09双函数型对称 20题型10原函数与导函数型双函数对称 22题型11放大镜型函数性质 25题型12抽象函数赋值型性质 29题型13对称型恒成立求参 31题型14构造“对称”型函数 33高考练场 35题型01奇偶性基础【解题攻略】奇偶函数的性质①偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；②奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论f(0)＝0；奇偶性的判定①“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×/÷奇”是偶，“偶×/÷偶”是偶，“奇×/÷偶”是奇；②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变； ③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．【典例1-1】（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0的值是（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．12 D．10【答案】D【分析】由奇函数的性质可知SKIPIF1<0，由此可以求出SKIPIF1<0的值，进而可以求出SKIPIF1<0.【详解】因为函数SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，显然函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0关于原点对称，且当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.【典例1-2】（2023秋·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0为偶函数，且在SKIPIF1<0上单调递增B．SKIPIF1<0为偶函数，且在SKIPIF1<0上单调递减C．SKIPIF1<0为奇函数，且在SKIPIF1<0上单调递增D．SKIPIF1<0为奇函数，且在SKIPIF1<0上单调递减【答案】C【分析】根据函数定义判断函数的奇偶性以及结合指数函数判断函数的单调性；【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0结合奇偶性定义，可知函数SKIPIF1<0为奇函数，结合指数函数性质，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故选；C.【变式1-1】．（2023·全国·高一专题练习）若SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用奇函数的定义求出a值，再由函数单调性求解不等式作答.【详解】由SKIPIF1<0为奇函数，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是减函数，SKIPIF1<0是增函数，函数SKIPIF1<0是R上的减函数，不等式SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故选：D【变式1-2】（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据奇函数定义求出SKIPIF1<0，再由导数的几何意义求出切线斜率，即可得解.【详解】因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，对任意SKIPIF1<0方程成立，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：B【变式1-3】．（2023秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由解析式、奇偶性定义判断SKIPIF1<0的单调性、奇偶性，再将条件化为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即可求范围.【详解】由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，即为奇函数，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0.故选：C题型02中心对称型函数【解题攻略】中心对称结论：（1）若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的一个对称中心为SKIPIF1<0（2）若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的一个对称中心为SKIPIF1<0（3）若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的一个对称中心为SKIPIF1<0.【典例1-1】.已知函数SKIPIF1<0，则存在非零实数SKIPIF1<0，使得（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】判断函数SKIPIF1<0的奇偶性并求出其值域，根据值域可判断A错误；由函数的奇偶性可推出SKIPIF1<0，此式不成立，故B错误；由所给等式可知SKIPIF1<0，此时不成立，故C错误；由三角函数诱导公式可知SKIPIF1<0，代入等式可得SKIPIF1<0成立，故D正确.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，又函数SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，A错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0，又函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不成立，B错误；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不成立，C错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0成立，故D正确.故选：D【典例1-2】函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0图象的所有交点的横坐标之和为___________.【答案】-7【分析】由函数解析式可得两函数图象均关于点（﹣1，0）对称，进而探讨函数SKIPIF1<0的单调性，然后画出图象的大致形状，即可求得两图象所有交点的横坐标之和.【详解】易知函数SKIPIF1<0的图象关于点（﹣1，0）对称，设函数SKIPIF1<0图象上任意一点为SKIPIF1<0，则它关于（-1,0）的对称点为SKIPIF1<0，将其代入SKIPIF1<0的解析式得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是函数SKIPIF1<0关于点（-1,0）对称.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减.于是x=-2时，SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，x=0时，SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0.现作出两个函数的大致图象，如图：于是得到图象交点横坐标之和为：﹣1+（﹣2）×3=﹣7.故答案为：-7.【变式1-1】.设函数SKIPIF1<0的最大值为5，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据题意，设SKIPIF1<0，利用定义法判断函数的奇偶性，得出SKIPIF1<0是奇函数，结合条件得出SKIPIF1<0的最大值和最小值，从而得出SKIPIF1<0的最小值.解：由题可知，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，其定义域为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，而SKIPIF1<0，由题可知，函数SKIPIF1<0的最大值为5，则函数SKIPIF1<0的最大值为：5-3=2，由于SKIPIF1<0是奇函数，得SKIPIF1<0的最小值为-2，所以SKIPIF1<0的最小值为：-2+3=1.故选：B.【变式1-2】已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0使关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的范围为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】证明函数图象关于点SKIPIF1<0对称，再判断函数的单调性，从而把不等式变形后应用单调性化简，然后分离参数，转化为三角函数的最值，利用换元法可得结果．【详解】显然函数定义域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，原不等式可化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，(*)设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是增函数，不等式(*)化为SKIPIF1<0，(**)令SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不等式(**)化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，问题转化为存在SKIPIF1<0，使不等式SKIPIF1<0成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为2．∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【变式1-3】.函数SKIPIF1<0的图像可能是（）A． B．C． D．天津市耀华中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】D【分析】分析给定函数的奇偶性可排除两个选项，再对函数求导并求出在0处的导数值即可判断作答.【详解】令SKIPIF1<0，则其的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是奇函数，其图象关于原点对称，于是排除选项A，B；SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不满足，D满足.故选：D题型03轴对称型函数【解题攻略】轴对称性的常用结论如下：若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的一条对称轴为SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的一条对称轴为SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的一条对称轴为SKIPIF1<0(4)f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称；【典例1-1】．（2023上·重庆·高三重庆市忠县忠州中学校校联考）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0为偶函数，且对SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【分析】先根据条件得到函数的对称性和单调性，进而根据函数性质解不等式即可.【详解】SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0为偶函数，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，又SKIPIF1<0对SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.【典例1-2】（2023上·江西景德镇·高一统考期中）已知函数SKIPIF1<0满足关系式SKIPIF1<0，且对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0恒成立，若不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【分析】由已知判定函数的对称性与单调性，利用单调性去函数符号解一元二次不等式恒成立问题即可.【详解】由于SKIPIF1<0，可知函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0轴对称，又对于SKIPIF1<0恒成立，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1-1】．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）设定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0为偶函数，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意可得SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，结合基本不等式求解最值即可．【详解】SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【变式1-2】（2023上·山东济南·高三统考开学考试）若函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0有且仅有4个零点，则SKIPIF1<0的值为．【答案】39【分析】先得到SKIPIF1<0的图象也关于SKIPIF1<0对称，观察到SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的两个零点，故由对称性可知，SKIPIF1<0的另外两个零点分别为SKIPIF1<0，从而得到方程组，求出SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求导得到其单调性和极值情况，画出SKIPIF1<0的图象，进而得到SKIPIF1<0的图象，根据SKIPIF1<0的零点个数，数形结合得到SKIPIF1<0，从而得到答案.【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0的图象也关于SKIPIF1<0对称，显然SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的两个零点，故由对称性可知，SKIPIF1<0的另外两个零点分别为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，画出SKIPIF1<0的图象如下，

故SKIPIF1<0的图象是将SKIPIF1<0图象位于SKIPIF1<0轴下方部分沿着SKIPIF1<0轴翻折到SKIPIF1<0轴上方即可，如下：

要想SKIPIF1<0有且仅有4个零点，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：39【变式1-3】．（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且图象关于SKIPIF1<0对称，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/0.25【分析】根据对称性和奇函数分析可得SKIPIF1<0，进而结合指对数运算求解.【详解】由题意可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型04斜直线轴对称型【解题攻略】关于斜直线轴对称，可以借鉴圆锥曲线中直线的对称性来处理（1）点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.如果斜直线轴对称，还有以下经验公式：如果对称轴所在的直线斜率是SKIPIF1<0，即直线是SKIPIF1<0型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子SKIPIF1<0(1)如果SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；(2)如果SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0．【典例1-1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考）已知函数SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0的函数图象关于SKIPIF1<0对称，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】根据函数的对称性可得SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，进而根据点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0替换SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由于点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例1-2】（2023上·辽宁·高三校联考）已知定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且其图象关于直线SKIPIF1<0对称，若当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】求得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0,根据点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，即可求解.【详解】设点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图像上，则关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由图象关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1-1】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）已知函数SKIPIF1<0，若曲线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】直线关于SKIPIF1<0对称，可从定义域出发判断对称轴的位置，进一步结合函数的对称性利用特殊值法即可得到实数SKIPIF1<0的值，检验后，即可SKIPIF1<0的值.【详解】因为函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，即函数的定义域为SKIPIF1<0，又因为曲线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则定义域也关于SKIPIF1<0对称，即SKIPIF1<0，由对称的性质可知则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0代入函数得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0验证是否关于SKIPIF1<0对称：SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立；则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1-2】（2023上·上海浦东新·高三华师大二附中校考）已知函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，且关于直线SKIPIF1<0成轴对称图形，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】在函数SKIPIF1<0的图象上任取点SKIPIF1<0，可得该点关于直线SKIPIF1<0对称点，代入函数式并比较求出b，再将给定点代入求出a得解.【详解】在函数SKIPIF1<0的图象任取点SKIPIF1<0，则该点关于直线SKIPIF1<0对称点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图象上，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，而有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，又函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<06．1．Y=x对称【变式1-3】（2021上·高一校考课时练习）若函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】令SKIPIF1<0，根据对称性可知解得SKIPIF1<0的值即为所求SKIPIF1<0.【详解】令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0.故选：A.题型05“正余弦”型对称【解题攻略】SKIPIF1<0（1）两中心SKIPIF1<0；（2）两垂直轴SKIPIF1<0则SKIPIF1<0；（3）一个中心SKIPIF1<0，一条轴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【典例1-1】函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0恰有一个零点，则实数SKIPIF1<0的取值集合是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据条件判断函数周期为SKIPIF1<0，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0只有一个交点，结合函数图像，即可求解.【详解】函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周期为4，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，做出函数SKIPIF1<0图像，如下图所示：令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时直线与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0函数图像相切，与函数有两个交点，同理SKIPIF1<0，直线与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0函数图像相切，与函数有两个交点，则要使函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内与直线SKIPIF1<0只有一个交点，则SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周期为4，SKIPIF1<0范围也表示为SKIPIF1<0，所以所有SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选:D.【典例1-2】.定义在SKIPIF1<0上的偶函数f（x）满足f（－x）＋f（x－2）＝0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（已知SKIPIF1<0），则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据条件，推出函数SKIPIF1<0的对称性，周期性和单调性，将自变量SKIPIF1<0转到区间SKIPIF1<0内，再根据单调性即可比较大小.【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0对称，∴SKIPIF1<0的周期为4，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，由对称性知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由条件知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；故选：A.【变式1-1】已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足条件SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0为奇函数，则下列说法中错误的是（

）A．函数SKIPIF1<0是周期函数；B．函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称；C．函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的偶函数；D．函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的单调函数．【答案】D【分析】根据函数周期性、对称性、奇偶性、单调性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数，故A正确.对于B，函数SKIPIF1<0为奇函数，关于SKIPIF1<0对称，向左平移SKIPIF1<0个单位得到SKIPIF1<0，横坐标再扩大为原来的SKIPIF1<0倍，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，故B正确.对于C，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶函数，故C正确.对于D，由于SKIPIF1<0是偶函数，函数图象关于SKIPIF1<0轴对称，SKIPIF1<0轴两侧函数对应区间的单调性相反，故D错误.故选：D【变式1-2】已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为偶函数，则下列结论不一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先证明SKIPIF1<0为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.【详解】对A：∵SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0两边求导可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A成立；对B：令SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，B成立；∵SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0两式相加可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0成中心对称则SKIPIF1<0，D成立又∵SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0以4为周期的周期函数根据以上性质只能推出SKIPIF1<0，不能推出SKIPIF1<0，C不一定成立故选：C.【变式1-3】.定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．则方程SKIPIF1<0所有的根之和为（

）A．6 B．12 C．14 D．10【答案】D【分析】根据题意可得SKIPIF1<0为奇函数，关于直线SKIPIF1<0对称且周期为4，再根据当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为奇函数，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一个周期为4，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0中心对称．由SKIPIF1<0，∴所有实根之和为SKIPIF1<0.故选：D．题型06伸缩型对称【解题攻略】伸缩变换y＝f(ax)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\do5(0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝af(x)【典例1-1】（2023秋·湖南怀化·高三统考）已知SKIPIF1<0不是常函数，且是定义域为SKIPIF1<0的奇函数，若SKIPIF1<0的最小正周期为1，则（

）A．SKIPIF1<0 B．1是SKIPIF1<0的一个周期C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据函数的周期性和奇函数即可根据选项逐一求解.【详解】SKIPIF1<0的最小正周期为1，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2为周期的周期函数，因此SKIPIF1<0，故B错误；对于A，SKIPIF1<0，故A错误；对于C，由周期得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故C正确；对于D，SKIPIF1<0，故D错误，故选：C.【典例1-2】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）若函数f（x）的定义域为R，且f（2x＋1）为偶函数，f（x－1）的图象关于点（3，3）成中心对称，则下列说法正确的个数为（

）①SKIPIF1<0的一个周期为2

②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④直线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0图象的一条对称轴A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由题意，根据函数的奇偶性，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可判③的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判④的正误.【详解】因为SKIPIF1<0偶函数，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0成轴对称，因为函数SKIPIF1<0的图象是由函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位，所以函数SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0成中心对称，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，对于①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0，故①错误；对于②，SKIPIF1<0，故②正确；对于③，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故③正确；对于④，SKIPIF1<0，而函数SKIPIF1<0不是偶函数，所以SKIPIF1<0不恒成立，故④错误.故选：B.【变式1-1】（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数，SKIPIF1<0是奇函数，且SKIPIF1<0是偶函数，则下列选项一定正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的周期为2 B．函数SKIPIF1<0的周期为3C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据赋值法结合周期定义得出函数SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，再由周期的性质判断CD.【详解】因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，故AB不正确；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确；SKIPIF1<0的值不确定，故C不正确.故选：D.【变式1-2】．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考阶段练习）设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0是偶函数，则一定有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】推导出函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，也关于点SKIPIF1<0对称，进一步可推导出函数SKIPIF1<0为周期函数，确定该函数的周期，逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，也关于点SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0为周期函数，且周期为SKIPIF1<0，对于A选项，SKIPIF1<0，A对；对于BCD选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0的值无法确定，BCD均错.故选：A.【变式1-3】（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的奇函数，SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的偶函数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由条件得到函数SKIPIF1<0的对称性，根据对称性求值，即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的奇函数，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是定义域为