新高考数学二轮复习专题2.2 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】（举一反三）（原卷版）

专题2.2函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】 2【题型2利用函数的单调性求参数】 3【题型3利用函数的单调性求最值】 4【题型4函数的奇偶性及其应用】 4【题型5函数的对称性及其应用】 5【题型6函数的周期性及其应用】 5【题型7利用函数的性质比较大小】 6【题型8利用函数的性质解不等式】 6【题型9函数性质的综合应用】 71、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大.【知识点1函数的单调性与最值的求法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=SKIPIF1<0，则T=2a；(5)若f(x+a)=SKIPIF1<0，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线SKIPIF1<0对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点SKIPIF1<0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点SKIPIF1<0对称.【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数f(x)=x2−4|x|+3的单调递减区间是（

）A．(−∞,−2) B．(−C．(−2,2) D．(−2,0)和(2,+【变式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中校考期中）“函数fx在区间1,2上不是增函数”的一个充要条件是（

A．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fB．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fC．“存在a∈1,2，使得fD．“存在a∈1,2，使得f【变式1-2】（2022·江西·校联考二模）已知函数fx=x2−2,x≥0,x+3,x<0,若A．18,+C．12,+【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠xA．y=f(x)+x是增函数 B．y=f(x)+x是减函数C．y=f(x)是增函数 D．y=f(x)是减函数【题型2利用函数的单调性求参数】【例2】（2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习）已知函数fx=−x2+2ax+4,x⩽1,1A．−1,−12C．−1,−12【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知fx是定义在R上的单调函数，∀x∈R,ffx−xA．114 B．116 C．134 D．136【变式2-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题p:fx=x2+ax−8,−1≤x≤1−a+4x−3a,x<−1在x∈(−∞,1]上为增函数，命题q:g(x)=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-3】（2023·北京丰台·统考一模）已知函数fx的定义域为R，存在常数tt>0，使得对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，当x∈0,t时，f(x)=x−t2．若fxA．3 B．83 C．2 D．【题型3利用函数的单调性求最值】【例3】（2023·江西九江·校考模拟预测）若0<x<6，则6x−x2有（A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9【变式3-1】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数fx=x−2x,gx=ax+2,x∈R，用Mx表示fA．0 B．±12 C．±【变式3-2】（2023下·山东青岛·高一统考开学考试）已知x>0，y>0，S=2xy4xA．S的最大值是910 B．S的最大值是C．S的最大值是32 D．S的最大值是【变式3-3】（2023上·浙江·高三校联考期中）已知函数fx的定义域为R+，对于任意的x，y∈R+，都有fx+fy=fxy+1，当x>1时，都有A．5 B．6 C．8 D．12【题型4函数的奇偶性及其应用】【例4】（2023·河南开封·统考模拟预测）函数f(x)满足f(x)=2x−1x−2，则下列函数中为奇函数的是（A．f(x+1)−2 B．f(x+2)−2 C．f(x−2)+2 D．f(x+1)+2【变式4-1】（2023·湖南·校联考模拟预测）设函数fx的定义域为R，且fx+1是奇函数，f2x+3A．f0=0 B．f4=0【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=x2−ax+a−1，则满足A．−∞,−1∪0,1 B．−1,1【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=lnx2+1+x+2xA．fxB．fxC．fD．g【题型5函数的对称性及其应用】【例5】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数fx=xA．fx是偶函数 B．fC．fx的图象关于直线x=3对称 D．fx的图象关于点【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足对任意实数x有fx+2=fx+1−fx，若y=f2x的图象关于直线x=A．2 B．1 C．−1 D．−2【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数y=fx满足fa+x+f(a−x)=2b，则说y=fx的图象关于点a,b对称，则函数A．(−1011,2022) B．1011,2022 C．(−1012,2023) D．1012,2023【变式5-3】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，fx−1的图象关于点(1,0)对称，f3=0，且对任意的x1,x2∈−A．−∞,1C．−4,−1∪1,2【题型6函数的周期性及其应用】【例6】（2023·全国·模拟预测）已知fx+1=1−fxa+fx.若A．2 B．1 C．−1 D．−2【变式6-1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，对任意的x,y∈R，恒有A．f0=1 B．C．fx+f0≥0【变式6-2】（2023·天津河西·统考三模）已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x+1)=−f(x)，且x∈[0,1)时；f(x)=log2(x+1)，给出下列命题：①f(2013)+f(−2014)=0；②函数f(x)在定义域R上是周期为2的周期函数；③直线y=x与函数y=f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(−1,1)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式6-3】（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数fx,gx的定义域为R,gx的图像关于x=1对称，且g①g(−3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=−4；④n=12024A．1 B．2 C．3 D．4【题型7利用函数的性质比较大小】【例7】（2023上·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足f1+x=f1−x，且∀x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【变式7-1】（2022·全国·高一专题练习）定义在R上函数y=fx满足以下条件：①函数y=fx图象关于x=1轴对称，②对任意x1,x2∈(−∞,1]，当x1≠A．f32C．f32【变式7-2】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）已知函数fx是偶函数，当0≤x1<x2时，fx2−fx1x2−xA．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【变式7-3】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）定义在R上的函数fx满足：fx−1=−1fx+1成立且fx在−2,0上单调递增，设a=f6，b=f22，A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a【题型8利用函数的性质解不等式】【例8】（2023上·广东广州·高一校考期中）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，且x≥0时，f(x)=x−1x+1+2，则不等式xf(x)<0A．(−∞,0)C．1−52【变式8-1】（2023上·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意0<x1<x2，均有x2A．−∞,−3C．−3,0∪0,3【变式8-2】（2022上·辽宁·高一校联考期中）已知函数fx=2ax+bx2(1)确定函数fx(2)当x∈−1,1时,判断函数f(3)解不等式f2x+1【变式8-3】（2023上·河南·高一校联考阶段练习）已知fx是定义在−2,2上的奇函数，满足f−2=−4，且当m,n∈(1)判断函数fx(2)解不等式：f5x−1(3)若fx≤2at3−t+4【题型9函数性质的综合应用】【例9】（2022上·江苏苏州·高一校考期中）已知奇函数fx和偶函数gx(1)求fx和g(2)判断并证明gx在0,+(3)若对于任意的x1∈1,2，存在x2∈【变式9-1】（2023上·湖南株洲·高一校考期中）已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=φ(a+x)−b是奇函数，给定函数f(x)=x−6(1)求函数fx(2)判断fx在区间(0,+(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2−mx+m.若对任意x1∈[0,2]，总存在x【变式9-2】（2023上·浙江湖州·高一统考阶段练习）我们知道，函数y=fx的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=fx的图象关于点P(1)求函数fx(2)若函数y=fx的图象关于点Pa,b对称，证明：(3)已知函数f(x)=x−e22+lnecxe2−x，其中c>0【变式9-3】（2023上·江苏无锡·高一校考期中）设a∈R，函数f(x)=ex+a（1）若a=1，求证：函数f(x)为奇函数；（2）若a<0．①判断并证明函数f(x)的单调性；②若存在x∈[1，2]，使得f(x2+2ax)>f(4−1．（2023·全国·统考高考真题）若fx=x+aln2x−1A．−1 B．0 C．122．（2022·天津·统考高考真题）函数fx=xA． B．C． D．3．（2021·全国·统考高考真题）设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（A．fx−1−1 B．fx−1+14．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（A．−3 B．−2 C．0 D．15．（2021·全国·统考高考真题）已知函数fx的定义域为R，fx+2为偶函数，f2x+1A．f−12=0 B．f6．（2021·全国·高考真题）设fx是定义域为R的奇函数，且f1+x=f−x.若f−A．−53 B．−137．（2020·山东·统考高考真题）已知函数fx的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有fx2A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数8．（2020·山东·统考高考真题）若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2