新高考数学二轮复习重难点05 导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】（举一反三）（原卷版）

重难点05导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数切线问题】 3【题型2导数中函数的单调性问题】 3【题型3导数中函数的极值问题】 4【题型4导数中函数的最值问题】 5【题型5函数零点（方程根）个数问题】 5【题型6利用导数解不等式】 6【题型7导数中的不等式恒成立问题】 6【题型8任意存在性问题】 6【题型9函数零点嵌套问题】 7【题型10双变量问题】 8导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=1−xex有两条过点Aa,0的切线，则a的取值范围是（

）A．−∞,−1C．−∞,−3【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数fx=1ex−1，则曲线A．ex+y+1=0 B．C．ex+y−1=0 D．【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=（A．1e2 B．2e2【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数fx=12x2+aA．−2,1 B．−2,−1 C．−2,0 D．−3,−2【题型2导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间0,+∞上单调递增的是（

A．y=1x2 B．y=e【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数fx=2x−1ex−xA．0 B．1e C．e【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知x=ln56，y=2425A．y<x<z B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z【变式2-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数fx=exx+ax在A．0,+∞ B．C．−∞,−4【题型3导数中函数的极值问题】【例3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数fx=x3−2ax2+A．1 B．3 C．1或3 D．−1或3【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x−tanx−π在区间−A．π2+1，−π2C．3π2−1，−π【变式3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数fx=ex+x22−A．x1>x2 B．x【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数fx=sinωx+π5(ω>0)A．ω的取值范围是12B．fx在0,C．若x=3π25是fx在D．若x=3π25是fx在0,2π【题型4导数中函数的最值问题】【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数fx=x2+a−1x−3A．−32C．−43【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在A．1 B．−4 C．−3 D．5【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数f(x)=ex+x3A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．(−【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数fx=xlnx，gx=xex，若存在A．2−ln4 B．2+ln4【题型5函数零点（方程根）个数问题】【例5】（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数fx=x3+2x2A．−∞,−1C．−∞,0【变式5-1】（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知函数fx=ex,x≥0−3x,x<0，若函数A．1 B．3 C．4 D．5【变式5-2】（2023·陕西商洛·陕西校考模拟预测）已知函数fx=xex,x<0−x2A．−∞,−1e B．−【变式5-3】（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）已知函数fx=x2−2xex，若方程fA．−1e,0 B．−2【题型6利用导数解不等式】【例6】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知定义在0,+∞上的函数fx满足f′x−fxA．0,+∞ B．1,+∞ C．−【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)=x3+2x2+3．若A．[−23,4] B．[−4,2] C．[−2,4]【变式6-2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）设函数f′x是函数f(x)(x∈R)的导函数，f3=eA．0,3 B．1,3 C．−∞,3【变式6-3】（2023·四川达州·统考一模）已知fx=lnx−ax3，gxA．ln327,ln28【题型7导数中的不等式恒成立问题】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=lnx2+1+x+ex−【变式7-1】（2023·陕西咸阳·咸阳校考模拟预测）已知fx,gx分别是定义域为R的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=ex，若关于x的不等式2fx−a【变式7-2】（2023·陕西咸阳·武功校考模拟预测）已知fx是定义在0,+∞上的可导函数，若xf′x−fx=xex【变式7-3】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数fx=ex+ax−2，其中a∈R，若对于任意的x1,x【题型8任意存在性问题】【例8】（2023·四川乐山·统考二模）若存在x0∈−1,2，使不等式x0+A．12e,e2 B．【变式8-1】（2023·四川南充·统考三模）已知函数f(x)=13x3，g(x)=ex−12x2−x，A．(−∞,e−2] B．(−【变式8-2】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数fx=x2ex,x>0.若存在实数a∈A．12,1 B．12,1【变式8-3】（2023·贵州·校联考二模）已知函数fx=xex+2a，gx=elnxx，对任意A．−e2C．−e2【题型9函数零点嵌套问题】【例9】（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知函数fx=lnx2−a2xlnx+aeA．−1e2−e,0【变式9-1】（2023·四川成都·四川校考模拟预测）已知a>1，x1,x2,x3为函数f(x)=A．x3xC．x3x2>2ln【变式9-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数fx=ex−1x+xex−1+x+a，若fx=0A．e,+∞C．−8e,+【变式9-3】（2023·江西南昌·统考二模）已知正实数a使得函数f(x)=ex−ax(x−alnx)有且只有三个不同零点x1A．x1+C．x1x【题型10双变量问题】【例10】（2023下·福建福州·高二校考期中）已知函数fx=x−2ex，若fx1A．x1>12 B．x【变式10-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）若实数x,y满足4lnx+2lnA．xy=24C．x+2y=1+2 D．【变式10-2】（2023下·河南信阳·高二淮滨高中校考阶段练习）设函数fx=exx−aexA．0<a<13C．−12【变式10-3】（2023·全国·高三专题练习）已知a>b>0，bln①b<e；②b>e；③∃a,b满足a⋅b<e2；④则正确结论的序号是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y=exx+1在点1,A．y=e4x B．y=e2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=aex−lnxA．e2 B．e C．e−13．（2023·全国·统考高考真题）函数fx=x3+ax+2A．−∞,−2 B．−∞,−34．（2022·全国·统考高考真题）当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则A．−1 B．−12 C．5．（2022·全国·统考高考真题）已知a=3132,b=A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b6．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是（

A．18,814 B．274,7．（2021·全国·统考高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（A．eb<aC．0<a<eb8．（2023·全国·统考高考真题）已知函