《概率论与数理统计》课件 概率论

概率论与数理统计本课程介绍概率论与数理统计的基本理论和方法，并探讨其在实际问题中的应用。认识概率随机事件掷硬币的结果是正面还是反面，都是无法确定的，称之为随机事件。概率值概率值表示随机事件发生的可能性大小，通常用0到1之间的数值表示。概率分布概率分布描述了随机事件的不同结果出现的概率。1.1什么是概率事件发生的可能性概率描述一个事件在特定条件下发生的可能性大小。例如，抛硬币正面朝上的概率是1/2，表示正面朝上的可能性是50%。量化不确定性概率是量化不确定性的一种方法，它允许我们对事件发生的可能性进行客观评估，并在决策过程中做出更明智的选择。概率的范围概率的值始终介于0和1之间，表示事件发生的可能性从不可能到必然。1.2概率论的研究对象随机现象概率论研究的对象是随机现象，即在相同条件下，其结果不确定，但其结果出现的可能性是可以估计的。规律性虽然随机现象的结果是不可预知的，但随机现象背后也存在着一定的规律性，而概率论正是研究这种规律性的学科。1.3概率的性质1非负性任何事件的概率都不小于0。2规范性样本空间中所有事件的概率之和等于1。3可加性对于互斥事件，其并集的概率等于各事件概率之和。1.4古典概型和几何概型古典概型所有基本事件的概率相等。例如，抛掷一枚均匀硬币，正面或反面出现的概率都是1/2。几何概型事件的概率等于事件所对应的几何图形的度量之比。例如，在圆内随机取一点，该点落在圆心到圆周距离小于半径的圆内的概率是1/4。1.5频率概型重复进行试验，记录某个事件发生的次数。事件发生的频率是指该事件发生的次数与试验总次数的比值。当试验次数足够多时，事件发生的频率会趋于稳定，这个稳定值就是事件的概率。概率的三种定义1古典概型当所有可能结果等可能出现时，事件发生的概率等于事件包含的结果数除以所有可能结果数。2频率概型在大量重复试验中，事件发生的频率趋于一个稳定值，这个稳定值即为事件发生的概率。3公理化定义基于概率测度和事件空间，将概率定义为满足一定公理的函数。不确定性与随机性不确定性事件结果难以预测，存在多种可能性。随机性事件结果受偶然因素影响，无法完全控制。概率论研究随机现象规律性的学科，提供量化分析方法。随机事件随机事件是指在随机现象中可能发生的，也可能不发生的事件。基本概念事件是随机现象中一个或多个结果的集合，可表示为事件空间的子集。事件运算事件之间可以进行各种运算，例如并集、交集、补集等。随机事件事件随机试验可能出现的任何结果。例如，抛硬币的结果是正面或反面。样本空间随机试验所有可能结果的集合，用✌表示。例如，抛硬币的样本空间为✌={正面，反面}。事件的发生随机试验中，特定结果的发生。例如，抛硬币出现正面的结果。事件运算1并A或B发生2交A和B同时发生3差A发生但B不发生互斥事件定义如果两个事件不可能同时发生，则称为互斥事件。例子抛掷一枚骰子，事件A为出现点数为奇数，事件B为出现点数为偶数，则事件A和事件B是互斥事件。2.4事件的独立性定义两个事件A和B，如果事件A的发生不影响事件B发生的概率，那么称事件A和B相互独立。公式P(AB)=P(A)P(B)举例抛一枚硬币两次，第一次正面朝上，第二次正面朝上的概率不受第一次的影响。2.5条件概率定义事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为事件B在事件A发生的条件下的条件概率，记作P(B|A)。公式P(B|A)=P(AB)/P(A)，其中P(A)>0全概率公式公式定义设事件A1,A2,...,An构成样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)>0(i=1,2,...,n)，则对于任意事件B，有应用场景全概率公式可用于计算复杂事件的概率，将其分解为多个简单事件的概率之和。2.7贝叶斯公式1先验概率事件发生前的概率2后验概率事件发生后的概率3似然函数在事件发生的情况下，观察到特定结果的概率随机变量随机变量是一种可以随机取值的变量，它反映了随机现象的结果。例如，掷一次骰子，点数就是一个随机变量，它的取值可以是1到6。3.1随机变量及其取值随机变量随机变量是一个可以取不同值的变量，其值取决于随机事件的结果。随机变量的取值随机变量的取值可以是离散的，例如掷骰子的结果，也可以是连续的，例如人的身高。3.2离散型随机变量有限个取值范围是有限个值的随机变量。可数个取值范围是可数个值的随机变量。计数离散型随机变量常用于计数，如某个时间段内发生的事件次数。3.3连续型随机变量变量取值可以是连续的，例如温度、身高、时间等概率分布使用概率密度函数来描述概率密度函数曲线下的面积代表概率3.4随机变量的函数函数关系随机变量的函数是指对随机变量进行某种运算或变换后得到的新的随机变量。分布函数函数关系可以通过改变随机变量的分布函数来定义，例如线性变换或非线性变换。期望值函数关系还可以影响随机变量的期望值、方差等统计量。3.5随机变量的分布函数1定义随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率的函数。2性质分布函数是一个单调不减函数，且取值范围在0到1之间。3应用分布函数可以用来计算随机变量取值在某个范围内的概率。常见概率分布二项分布描述在固定次数试验中，成功次数的概率泊松分布描述在特定时间或地点内事件发生的次数的概率均匀分布描述随机变量在一定范围内每个取值的概率都相等的概率分布指数分布描述事件发生的时间间隔的概率分布4.1二项分布定义在n次独立试验中，每次试验只有两种可能的结果，称为成功或失败，且每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则n次试验中成功的次数X是一个随机变量，服从二项分布。公式二项分布的概率质量函数为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)，其中C(n,k)是二项式系数，表示从n次试验中选出k次成功的方案数。4.2泊松分布描述事件在特定时间段或空间内发生的概率。例如，在固定时间段内，电话呼叫中心的呼叫数量。泊松分布由事件发生的平均速率λ决定，λ值越大，事件发生的概率越高。事件发生的概率与之前事件无关，遵循随机性。例如，呼叫中心每分钟接到的电话数量，与之前的电话数量无关。4.3均匀分布1定义如果随机变量X在区间[a,b]上取任意值的概率都相等，则称X服从均匀分布。2概率密度函数f(x)=1/(b-a)当a≤x≤b，否则为0。3应用均匀分布广泛应用于模拟随机事件，例如掷骰子、抽奖、随机数生成等。4.4指数分布公式指数分布的概率密度函数为：f(x)=λe^(