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文档简介
2023-2024学年湖南省长沙市师大附中教育集团—重点达标名校中考考前最后一卷数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为()A.1 B. C.-1 D.+12.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有x匹,小马有y匹,那么可列方程组为()A. B. C. D.3.如图,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点B,点C是⊙O优弧弧AB上一点,连接AC、BC,如果∠P=∠C,⊙O的半径为1,则劣弧弧AB的长为()A.π B.π C.π D.π4.已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC,按如图所示方式放置,其中A、B两点分别落在直线m、n上,若∠1=25°,则∠2的度数是()A.25° B.30° C.35° D.55°5.PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物,将0.0000025用科学记数法表示为()A.0.25×10﹣5 B.0.25×10﹣6 C.2.5×10﹣5 D.2.5×10﹣66.下列调查中,调查方式选择合理的是()A.为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间,选择全面调查B.为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率,选择全面调查C.为了解神舟飞船设备零件的质量情况,选择抽样调查D.为了解一批节能灯的使用寿命,选择抽样调查7.甲、乙两人加工一批零件,甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同,已知甲比乙每天多完成8个零件.设乙每天完成x个零件,依题意下面所列方程正确的是()A. B.C. D.8.若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间(不含0和1),则a的取值范围是()A.a<3B.a>3C.a<﹣3D.a>﹣39.下列计算正确的是()A.(﹣2a)2=2a2 B.a6÷a3=a2C.﹣2(a﹣1)=2﹣2a D.a•a2=a210.如图,二次函数的图象开口向下,且经过第三象限的点若点P的横坐标为,则一次函数的图象大致是A. B. C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,E为线段AB的中点,D点是射线AC上的一个动点,将△ADE沿线段DE翻折,得到△A′DE,当A′D⊥AB时,则线段AD的长为_____.12.如图,中,,,,将绕点逆时针旋转至,使得点恰好落在上,与交于点,则的面积为_________.13.分解因式:2m2-8=_______________.14.已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m,n,则-mn+=.15.因式分解:________.16.如图,直线y=x,点A1坐标为(1,0),过点A1作x轴的垂线交直线于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2,再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,……按此作法进行去,点Bn的纵坐标为(n为正整数).三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)博鳌亚洲论坛2018年年会于4月8日在海南博鳌拉开帷幕,组委会在会议中心的墙壁上悬挂会旗,已知矩形DCFE的两边DE,DC长分别为1.6m,1.2m.旗杆DB的长度为2m,DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°.当会旗展开时,如图所示,(1)求DF的长;(2)求点E到墙壁AB所在直线的距离.(结果精确到0.1m.参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)18.(8分)如图所示,直线y=x+2与双曲线y=相交于点A(2,n),与x轴交于点C.求双曲线解析式;点P在x轴上,如果△ACP的面积为5,求点P的坐标.19.(8分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于点O.求证:AB=DC;试判断△OEF的形状,并说明理由.20.(8分)抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c均是常数)经过点O(0,0),A(4,4),与x轴的另一交点为点B,且抛物线对称轴与线段OA交于点P.(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;(2)过点P作x轴的平行线l,若点Q是直线上的动点,连接QB.①若点O关于直线QB的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,求点Q的坐标;②若点O关于直线QB的对称点为点D,当线段AD的长最短时,求点Q的坐标(直接写出答案即可).21.(8分)如图,M、N为山两侧的两个村庄,为了两村交通方便,根据国家的惠民政策,政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量,必须计算M、N两点之间的直线距离,选择测量点A、B、C,点B、C分别在AM、AN上,现测得AM=1千米、AN=1.8千米,AB=54米、BC=45米、AC=30米,求M、N两点之间的距离.22.(10分)如图,已知▱ABCD.作∠B的平分线交AD于E点。(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);若▱ABCD的周长为10,CD=2,求DE的长。23.(12分)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D,连接BD.(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题:线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经过观察思考,小明出一种思路:如图1,过点B作BE⊥BD,交MN于点E,进而得出:DC+AD=BD.(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数量关系,并证明(3)拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中,当△ABD面积取得最大值时,若CD长为1,请直接写BD的长.24.解不等式组:并把解集在数轴上表示出来.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、C【解析】【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED,可得出,结合BD=AB﹣AD即可求出的值.【详解】∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC,∴,∵S△ADE=S四边形BCED,S△ABC=S△ADE+S四边形BCED,∴,∴,故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.2、C【解析】
设大马有x匹,小马有y匹,根据题意可得等量关系:①大马数+小马数=100;②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100,根据等量关系列出方程组即可.【详解】解:设大马有x匹,小马有y匹,由题意得:,故选C.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程组.3、A【解析】
利用切线的性质得∠OAP=90°,再利用圆周角定理得到∠C=∠O,加上∠P=∠C可计算写出∠O=60°,然后根据弧长公式计算劣弧的长.【详解】解:∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°,∵∠C=∠O,∠P=∠C,∴∠O=2∠P,而∠O+∠P=90°,∴∠O=60°,∴劣弧AB的长=.故选:A.【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和弧长公式.4、C【解析】
根据平行线的性质即可得到∠3的度数,再根据三角形内角和定理,即可得到结论.【详解】解:∵直线m∥n,∴∠3=∠1=25°,又∵三角板中,∠ABC=60°,∴∠2=60°﹣25°=35°,故选C.【点睛】本题考查平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.5、D【解析】
根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0).【详解】解:0.0000025第一个有效数字前有6个0(含小数点前的1个0),从而.故选D.6、D【解析】
A.为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间,选择抽样调查,故A不符合题意;B.为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率,选择抽样调查,故B不符合题意;C.为了解神舟飞船设备零件的质量情况,选普查,故C不符合题意;D.为了解一批节能灯的使用寿命,选择抽样调查,故D符合题意;故选D.7、B【解析】
根据题意设出未知数,根据甲所用的时间=乙所用的时间,用时间列出分式方程即可.【详解】设乙每天完成x个零件,则甲每天完成(x+8)个.即得,,故选B.【点睛】找出甲所用的时间=乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.8、B【解析】试题分析:当x=0时,y=-5;当x=1时,y=a-1,函数与x轴在0和1之间有一个交点,则a-1>0,解得:a>1.考点:一元二次方程与函数9、C【解析】
解:选项A,原式=;选项B,原式=a3;选项C,原式=-2a+2=2-2a;选项D,原式=故选C10、D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况,从而可以得到一次函数经过哪几个象限,观察各选项即可得答案.【详解】由二次函数的图象可知,,,当时,,的图象经过二、三、四象限,观察可得D选项的图象符合,故选D.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质,认真识图,会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、或.【解析】
①延长A'D交AB于H,则A'H⊥AB,然后根据勾股定理算出AB,推断出△ADH∽△ABC,即可解答此题②同①的解题思路一样【详解】解:分两种情况:①如图1所示:设AD=x,延长A'D交AB于H,则A'H⊥AB,∴∠AHD=∠C=90°,由勾股定理得:AB==13,∵∠A=∠A,∴△ADH∽△ABC,∴,即,解得:DH=x,AH=x,∵E是AB的中点,∴AE=AB=,∴HE=AE﹣AH=﹣x,由折叠的性质得:A'D=AD=x,A'E=AE=,∴sin∠A=sin∠A'=,解得:x=;②如图2所示:设AD=A'D=x,∵A'D⊥AB,∴∠A'HE=90°,同①得:A'E=AE=,DH=x,∴A'H=A'D﹣DH=x﹣=x,∴cos∠A=cos∠A'=,解得:x=;综上所述,AD的长为或.故答案为或.【点睛】此题考查了勾股定理,三角形相似,关键在于做辅助线12、【解析】
首先证明△CAA′是等边三角形,再证明△A′DC是直角三角形,在Rt△A′DC中利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD、A′D即可解决问题.【详解】在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=60°,
∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C,使得点A′恰好落在AB上,
∴CA=CA′=2,∠CA′B′=∠A=60°,
∴△CAA′为等边三角形,
∴∠ACA′=60°,
∴∠BCA′=∠ACB-∠ACA′=90°-60°=30°,
∴∠A′DC=180°-∠CA′B′-∠BCA′=90°,
在Rt△A′DC中,∵∠A′CD=30°,∴A′D=CA′=1,CD=A′D=,∴.故答案为:【点睛】本题考查了含30度的直角三角形三边的关系,等边三角形的判定和性质以及旋转的性质,掌握旋转的性质“对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等”是解题的关键.13、2(m+2)(m-2)【解析】
先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式.【详解】2m2-8,=2(m2-4),=2(m+2)(m-2)【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来说,如果可以先提取公因式的要先提取公因式,再考虑运用公式法,十字相乘等方法分解.14、1【解析】试题分析:由m与n为已知方程的解,利用根与系数的关系求出m+n=4,mn=﹣3,将所求式子利用完全平方公式变形后,即﹣mn+=﹣3mn=16+9=1.故答案为1.考点:根与系数的关系.15、a(a+1)(a-1)【解析】
先提公因式,再利用公式法进行因式分解即可.【详解】解:a(a+1)(a-1)故答案为:a(a+1)(a-1)【点睛】本题考查了因式分解,先提公因式再利用平方差公式是解题的关键.16、.【解析】寻找规律:由直线y=x的性质可知,∵B2,B3,…,Bn是直线y=x上的点,∴△OA1B1,△OA2B2,…△OAnBn都是等腰直角三角形,且A2B2=OA2=OB1=OA1;A3B3=OA3=OB2=OA2=OA1;A4B4=OA4=OB3=OA3=OA1;…….又∵点A1坐标为(1,0),∴OA1=1.∴,即点Bn的纵坐标为.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)1m.(1)1.5m.【解析】
(1)由题意知ED=1.6m,BD=1m,利用勾股定理得出DF=求出即可;(1)分别做DM⊥AB,EN⊥AB,DH⊥EN,垂足分别为点M、N、H,利用sin∠DBM=及cos∠DEH=,可求出EH,HN即可得出答案.【详解】解:(1)在Rt△DEF中,由题意知ED=1.6m,BD=1m,DF==1.答:DF长为1m.(1)分别做DM⊥AB,EN⊥AB,DH⊥EN,垂足分别为点M、N、H,在Rt△DBM中,sin∠DBM=,∴DM=1•sin35°≈1.2.∵∠EDC=∠CNB,∠DCE=∠NCB,∴∠EDC=∠CBN=35°,在Rt△DEH中,cos∠DEH=,∴EH=1.6•cos35°≈1.3.∴EN=EH+HN=1.3+1.2=1.45≈1.5m.答:E点离墙面AB的最远距离为1.5m.【点睛】本题主要考查三角函数的知识,牢记公式并灵活运用是解题的关键。18、(1);(2)(,0)或【解析】
(1)把A点坐标代入直线解析式可求得n的值,则可求得A点坐标,再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值,可求得双曲线解析式;(2)设P(x,0),则可表示出PC的长,进一步表示出△ACP的面积,可得到关于x的方程,解方程可求得P点的坐标.【详解】解:(1)把A(2,n)代入直线解析式得:n=3,∴A(2,3),把A坐标代入y=,得k=6,则双曲线解析式为y=.(2)对于直线y=x+2,令y=0,得到x=-4,即C(-4,0).设P(x,0),可得PC=|x+4|.∵△ACP面积为5,∴|x+4|•3=5,即|x+4|=2,解得:x=-或x=-,则P坐标为或.19、(1)证明略(2)等腰三角形,理由略【解析】
证明:(1)∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.又∵∠A=∠D,∠B=∠C,∴△ABF≌△DCE(AAS),∴AB=DC.(2)△OEF为等腰三角形理由如下:∵△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC.∴OE=OF.∴△OEF为等腰三角形.20、(1)y=﹣(x﹣)2+;(,);(2)①(﹣,)或(,);②(0,);【解析】
1)把0(0,0),A(4,4v3)的坐标代入y=﹣x2+bx+c,转化为解方程组即可.(2)先求出直线OA的解析式,点B坐标,抛物线的对称轴即可解决问题.(3)①如图1中,点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,首先证明四边形BOQC是菱形,设Q(m,),根据OQ=OB=5,可得方程,解方程即可解决问题.②如图2中,由题意点D在以B为圆心5为半径的OB上运动,当A,D、B共线时,线段AD最小,设OD与BQ交于点H.先求出D、H两点坐标,再求出直线BH的解析式即可解决问题.【详解】(1)把O(0,0),A(4,4)的坐标代入y=﹣x2+bx+c,得,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+5x=﹣(x﹣)2+.所以抛物线的顶点坐标为(,);(2)①由题意B(5,0),A(4,4),∴直线OA的解析式为y=x,AB==7,∵抛物线的对称轴x=,∴P(,).如图1中,点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,∵QC∥OB,∴∠CQB=∠QBO=∠QBC,∴CQ=BC=OB=5,∴四边形BOQC是平行四边形,∵BO=BC,∴四边形BOQC是菱形,设Q(m,),∴OQ=OB=5,∴m2+()2=52,∴m=±,∴点Q坐标为(﹣,)或(,);②如图2中,由题意点D在以B为圆心5为半径的⊙B上运动,当A、D、B共线时,线段AD最小,设OD与BQ交于点H.∵AB=7,BD=5,∴AD=2,D(,),∵OH=HD,∴H(,),∴直线BH的解析式为y=﹣x+,当y=时,x=0,∴Q(0,).【点睛】本题二次函数与一次函数的关系、几何动态问题、最值问题、作辅助圆解决问题,难度较大,需积极思考,灵活应对.21、1.5千米【解析】
先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN,再利用相似三角形的性质解答即可【详解】在△ABC与△AMN中,,,∴,∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ANM,∴,即,解得MN=1.5(千米),因此,M、N两点之间的直线距离是1.5千米.【点睛】此题考查相似三角形的应用,解题关键在于掌握运算法则22、(1)作图见解析;(2)1【解析】
(1)以点B为圆心,任意长为半径画弧分别与AB、BC相交。然后再分别以交点为圆心,以交点间的距离为半径分别画弧,两弧相交于一点,画出射线BE即得.(2)根据平行四边形的对边相等,可得AB+AD=5,由两直线平行内错角相等可得∠AEB=∠EBC,利用角平分线即得∠ABE=∠EBC,即证∠AEB=∠ABE.根据等角对等边可得AB=AE=2,从而求出ED的长.【详解】(1)解:如图所示:(2)解:∵平行四边形ABCD的周长为10∴AB+AD=5∵AD//BC∴∠AEB=∠EBC又∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠EBC∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE=2∴ED=AD-AE=3-2=1【点睛】此题考查作图-基本作图和平行四边形的性质,解题关键在于掌握作图法则23、(1);(2)AD﹣DC=BD;(3)BD=
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