2025年高考数学一轮复习-7.5-空间向量与线、面位置关系-专项训练【含答案】

7.5-空间向量与线、面位置关系-专项训练一、单项选择题1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于()A．310B．210C．10D．52．(2024·安徽滁州模拟)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，若(2a－b)·b＝1，则x＝()A．－3 B．3C．－1 D．63．已知向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1，22，m)，若向量a，b，c共面，则实数m等于()A．4 B．6C．8 D．104．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±66 B．6C．－66 D．±5．已知向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，则向量a在向量b上的投影向量c＝()A．52，54C．54，56．在空间四边形ABCD中，AB·A．－1 B．0C．1 D．不确定7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，AG＝2GE，则GF＝()A．1B．1C．－2D．－18．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1A．斜交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内二、多项选择题9．《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，B1D＝2DA．AD＝AB．AD＝AC．向量AD在向量AB上的投影向量为2D．向量AD在向量AC上的投影向量为210．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3AD＝3AA1＝3，点P为线段AA．当A1C＝2A1P时，B1，B．当AP⊥A1C时，APC．当A1C＝3A1P时，D1PD．当A1C＝5A1P时，A1C⊥三、填空题11．如图是某段新开河渠的示意图．在二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝41，则该二面角的大小为________．12．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD，设底边和侧棱长均为4，则该正四棱锥的外接球表面积为________；过点A作一个平面分别交PB，PC，PD于点E，F，G进行切割，得到四棱锥P-AEFG，若PEPB＝35，PFPC四、解答题13．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝3，且a分别与AB，AC垂直，求向量14．如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．参考答案1．A[∵a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，∴a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋2(3，1，0)＝(9，3，0)，∴|a－b＋2c|＝92+32．B[向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，则2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)，(2a－b)·b＝1，则－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3.故选B.]3．A[因为向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1，22，m)，且向量a，b，c共面，所以c＝xa＋yb，x，y∈R，即2x+y=−1，x−4y=故选A.]4．C[由于OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，OB＝(0，－1，1)，则cos120°＝λ+λ1+2λ2·2＝－12，解得λ＝±5．B[向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，则a·b＝2＋3＋0＝5，|b|＝4+1+故向量a在向量b上的投影向量c＝a·bb·bb6．B[令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B.]7．D[因为AG＝2GE，所以GE＝13AE，又E是所以AE＝12(AB+AC)，所以GE＝1因为EF＝EC+CF，E，F分别是BC，CC所以EF＝12(BC因此GF＝GE+EF＝16(AB故选D.]8．B[建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝2a3，则Ma，2a3，又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝(0，a，0)为平面BB1C因为MN·所以MN⊥C1D1，又MN⊄平面BB1C所以MN∥平面BB1C1C.]9．BD[因为AD＝AA1+A1B1+如图所示，过点D作DE垂直于BC，过点E作EF垂直于AB，EG垂直于AC，故向量AD在向量AB上的投影向量为AF，向量AD在向量AC上的投影向量为AG，由题意易得AFAB＝13，AGAC＝23，故AF10．ACD[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝3AD＝3AA1＝3，所以AD＝AA1＝1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，B(1，3，0)，C1(0，3，1)，B1(1，3，1)，则A1C＝(－1，3，－1)，当A1C＝2A1P时，P为线段A1C的中点，则P12，32，12，DP＝12，设A1P＝λA1C＝λ(－1，3，－1)＝(－λ，3λ，－λ)(0≤λ≤1)，AP＝AA1+A由AP⊥A1C，可得AP·A1C＝5所以AP＝−15＝(1，0，－1)＋−15，所以D1P·AP＝－4所以AP与D1当A1C＝3A1P＝13A1C＝−1设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·D令y＝1，则x＝z＝－3，∴n＝(－3，1，－3)，又A1所以D1P＝A1所以D1P·n＝23×(－3)＋33×1－1所以D1P⊥∵D1P⊄平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正确；当A1C＝5A1P＝15所以D1P＝A1所以A1C·D1P＝－1×45+3×35－1×−15＝0，A1C·D1A＝－1×1＋3×0＋(－1)2＝0．所以A1C⊥D1PD1P⊂平面D1AP，D1A⊂平面D1AP，所以A1C⊥平面D1AP，D正确．故选ACD.]11．120°[设所求二面角为θ，由CD＝CA+AB+BD，得CD＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·＝32＋22＋42＋0－2×3×4cosθ＋0＝41，∴cosθ＝－12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°12．32π34[设AC，BD交于点O，连接PO由于P-ABCD为正四棱锥，故PO为四棱锥的高，由底边和侧棱长均为4可得，OA＝OB＝OC＝OD＝22，PO＝PA2−OA2即点O到点P，A，B，C，D的距离相等，故O即为该正四棱锥的外接球球心，则外接球半径为22，故外接球表面积为4π×(22)2＝32π.PA＝PD+DA＝PD+CB设PD＝tPG，则PA＝tPG+53由于点A，E，F，G四点共面，故t＋53解得t＝43，故PD＝43PG，则PG13．解：(1)由题意可得AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，所以cos〈AB，AC〉＝AB·ACABAC＝−2+3+所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S＝2×12|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×3(2)设a＝(x，y，z)，由题意得x2解得x=1，所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．14．解：(1)证明：设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，所以A1O2＝AA12＋AO2－2AA1所以AO2＋A1O2＝AA12，所以A1O由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)，A1(0，0，3)，C1(0，2，3)．由于BD＝(－23，0，0)，AA1＝(0，1，3)，AA1·BD＝0×(－23所以BD⊥AA1，即BD⊥AA(2)假设在直线CC1上存在