2022-2023学年河南省郑州市高三数学第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（）附：若，则，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.95442．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（）A．17种 B．27种 C．37种 D．47种3．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（）A． B．C． D．4．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A． B． C． D．5．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④6．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．已知集合，则()A． B．C． D．8．关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（）A．单调递增 B．单调递减 C．先递减后递增 D．先递增后递减9．若，则，，，的大小关系为（）A． B．C． D．10．已知正项数列满足：，设，当最小时，的值为()A． B． C． D．11．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为()A．1 B．－1 C．8l D．－8112．若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______.14．设复数满足，其中是虚数单位，若是的共轭复数，则____________．15．设集合，（其中e是自然对数的底数），且，则满足条件的实数a的个数为______．16．从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的焦距为，斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，且直线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点为椭圆上一点，且满足，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.18．（12分）已知函数是自然对数的底数.（1）若，讨论的单调性；（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明:.19．（12分）已知函数．（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．20．（12分）等差数列中，．（1）求的通项公式；（2）设，记为数列前项的和，若，求．21．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）设，求不等式的解集；（2）已知，且的最小值等于，求实数的值.22．（10分）已知函数，.（1）当时，①求函数在点处的切线方程；②比较与的大小;（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意，，，则，，所以，.故果实直径在内的概率为0.8185.故选：C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.2、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.【详解】所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.3、B【解析】

利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果.【详解】为定义在上的奇函数，.当时，，，为奇函数，，由得：或；综上所述：若，则的解集为.故选：.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况.4、C【解析】

求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程的渐近线方程为，由题意可得，又，即，解得，，即可得到所求双曲线的方程.【详解】解：抛物线的焦点为可得双曲线即为的渐近线方程为由题意可得，即又，即解得，.即双曲线的方程为.故选：C【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.5、A【解析】

由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；,,则,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.6、A【解析】

根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】∵当函数为幂函数时，，解得或，∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.7、B【解析】

先由得或，再计算即可.【详解】由得或，，,又，.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.8、C【解析】

先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.9、D【解析】因为，所以，因为，，所以,.综上；故选D.10、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由递推公式求出.【详解】由得，即，，当且仅当时取得最小值，此时.故选：B【点睛】本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.11、B【解析】

根据二项式系数的性质，可求得，再通过赋值求得以及结果即可.【详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，故可得，令，故可得，又因为，令，则，解得令，则.故选：B.【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.12、D【解析】

根据复数的运算，化简得到，再结合复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算，可得，所对应的点为位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得.【详解】由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为.故答案为：【点睛】本题考查随机事件的概率，是基础题.14、【解析】

由于，则．15、【解析】

可看出，这样根据即可得出，从而得出满足条件的实数的个数为1．【详解】解：，或，在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，由图可知与无交点，无解，则满足条件的实数的个数为．故答案为：．【点睛】考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程无解，属于基础题．16、【解析】

先求出随机抽取a,b的所有事件数，再求出满足的事件数，根据古典概型公式求出结果.【详解】解：从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的事件数为9个，即为，，，其中满足的有，，，共有8个，故的概率为.【点睛】本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)为定值.过程见解析.【解析】分析：（1）焦距说明，用点差法可得＝.这样可解得，得椭圆方程；（2）若，这种特殊情形可直接求得，在时，直线方程为，设，把直线方程代入椭圆方程，后可得，然后由纺长公式计算出弦长，同时直线方程为，代入椭圆方程可得点坐标，从而计算出，最后计算即可.详解：（1）由题意可知，设，代入椭圆可得：，两式相减并整理可得，，即.又因为，，代入上式可得，.又，所以，故椭圆的方程为.（2）由题意可知，，当为长轴时，为短半轴，此时；否则，可设直线的方程为，联立，消可得，，则有：，所以设直线方程为，联立，根据对称性，不妨得，所以.故，综上所述，为定值.点睛：设直线与椭圆相交于两点，的中点为，则有，证明方法是点差法：即把点坐标代入椭圆方程得，，两式相减，结合斜率公式可得.18、（1）减区间是，增区间是；（2），证明见解析.【解析】

（1）当时，求得函数的导函数以及二阶导函数，由此求得的单调区间.（2）令求得，构造函数，利用导数求得的单调区间、极值和最值，结合有两个极值点，求得的取值范围.将代入列方程组，由证得.【详解】（1），，又，所以在单增，从而当时，递减，当时，递增.（2）.令，令，则故在递增，在递减，所以.注意到当时，所以当时，有一个极值点，当时，有两个极值点，当时，没有极值点，综上因为是的两个极值点，所以不妨设，得，因为在递减，且，所以又所以【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.19、（1）（2）【解析】

（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.【详解】（1）当时，由得由得解：，得∴当时，关于的不等式的解集为（2）①当时，，所以在上是减函数，在是增函数，所以，由题设得，解得.②当时，同理求得.综上所述，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.20、（1）（2）【解析】

（1）由基本量法求出公差后可得通项公式；（2）由等差数列前项和公式求得，可求得．【详解】解：（1）设的公差为，由题设得因为，所以解得，故．（2）由（1）得．所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，由得，解得．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前项和公式，解题方法是基本量法．21、(1)(2)【解析】

（1）把f（x）去绝对值写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得解集，综合可得结论．（2）把f（x）去绝对值写成分段函数，画出f（x）的图像，找出利用条件求得a的值．【详解】（1）时，.当时，即为，解得.当时，，解得.当时，，解得.综上，的解集为.（2）.，由的图象知，，.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题22、（1）①见解析，②见解析；（2）见解析【解析】

（1）①把代入函数解析式，求出函数的导函数得到，再求出，利用直线方程的点斜式求函数在点处的切线方程；②令，利用导数研究函数的单调性，可得当时，；当时，；当时，．（2）由题意，，在上有唯一零点．利用导数可得当时，在上单调递减，当，时，在，上单调递增，得到．由在恒成立，且有