新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题15 直线与圆（原卷版）

第第页专题15直线与圆一、知识速览二、考点速览知识点1直线的方程1、直线的倾斜角（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2、直线的斜率（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是eq\f(π,2)的直线没有斜率．（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3、直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率ky＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平面直角坐标系内所有直线【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．知识点2两条直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.（2）两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2、两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3、三种距离公式（1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).（2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4、直线系方程的常见类型（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；（2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；（3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．知识点3圆的方程1、圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2、点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(＝)r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(>)r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(<)r2⇔点在圆内3、二元二次方程与圆的关系不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：（1）当F＝0时，圆过原点．（2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．（3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．（4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．知识点4直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系及判断（1）三种位置关系：相交、相切、相离．（2）两种判断方法：①eq\x(代数法)eq\o(→,\s\up9(联立方程得方程组消去x或y),\s\do7(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇔相交,Δ＝0⇔相切,Δ＜0⇔相离))②eq\x(几何法)eq\o(→,\s\up9(圆心到直线的距离为d),\s\do7(半径为r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r⇔相交,d＝r⇔相切,d＞r⇔相离))2、圆的切线与切线长（1）过圆上一点的圆的切线①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.（2）过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.（3）切线长①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq\f(2ar,d).【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．3、圆的弦长直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：（1）几何法：因为半弦长eq\f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).（2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．一、直线的倾斜角与斜率范围的求法1、求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出斜率k＝tanα的取值范围．（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2、斜率取值范围的2种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可【典例1】直线SKIPIF1<0的倾斜角的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的倾斜角为钝角，则实数SKIPIF1<0的取值范围是.【典例3】设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与线段SKIPIF1<0相交，则直线SKIPIF1<0的斜率k的取值范围是（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、求解直线方程的两种方法（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程【典例1】过点SKIPIF1<0且在SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴上截距相等的直线方程为【典例2】已知一条直线经过点A（2,－SKIPIF1<0），且它的倾斜角等于直线x－SKIPIF1<0y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为；【典例3】写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式：（1）经过点SKIPIF1<0，倾斜角是直线SKIPIF1<0的倾斜角的2倍；（2）经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）经过点SKIPIF1<0，平行于x轴；（4）在x轴，y轴上的截距分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)【典例1】“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【典例2】（多选）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】已知直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0可能重合B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不可能垂直C．存在直线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为中心旋转后与SKIPIF1<0重合D．以上都不对四、两条直线的交点与距离问题1、求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．【典例1】点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离是．【典例2】已知两条平行直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【典例3】若三条直线SKIPIF1<0相交于同一点，则点SKIPIF1<0到原点的距离的最小值为．

.五、对称问题的求解方法1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．【典例1】点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点的坐标为．【典例2】与直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的直线的方程为.【典例3】已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称直线为SKIPIF1<0轴，则SKIPIF1<0的方程为.六、求圆的方程的两种方法1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【典例1】圆心在射线SKIPIF1<0上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（）.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】经过点SKIPIF1<0的圆的方程为.七、解决有关弦长问题的常用方法及结论1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|，【典例1】“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0所截得的弦长等于SKIPIF1<0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【典例2】若直线过点SKIPIF1<0且被圆SKIPIF1<0截得的弦长是6，则该直线的方程为.【典例3】若直线l：SKIPIF1<0与圆C：SKIPIF1<0相交于A，B两点，SKIPIF1<0，则直线l的斜率的取值范围为.八、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证【典例1】过圆SKIPIF1<0上点SKIPIF1<0的切线方程为．【典例2】过点SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切的直线方程为九、求与圆有关的轨迹问题的方法1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；3、几何法：利用圆的几何性质列方程；4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式【典例1】已知椭圆SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，过平面内的点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条互相垂直的切线，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】动点SKIPIF1<0与定点SKIPIF1<0的连线的斜率之积为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹方程是.【典例3】已知圆SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0点的轨迹方程为．易错点1误解“截距”和“距离”的关系点拨：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视。【典例1】过点SKIPIF1<0的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例2】经过点SKIPIF1<0，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是