2015考研数学强化-线性代数(章飞)讲义

2015考研数学强化班

线性代数

讲义

第一讲行列式

一、理论强化

L行列式的定义n2个数%⑺=1,2,•••,"）排成"行八列的方形表

aaa

u12\n

。21%a

£(-1)'。1九。2力"'njn=|川=detA=D=A(与)

hJ2<-jn

anlan2ann

称为一个”阶行列式,〃阶行列式是一个数，它等于所有来自不同行，不同列的〃个元素的乘积

•的代数和.其中，，上，，是L2,〃的一个排列.”=1时，1all[为一阶行列式.

’2.2行列式的1性质

(1)行列式转置后，其值不变，D=DT（表示行列地位平等）；

(2)行列式某行（列）的元素的公因子女，可以提到行列式符号外;

a+bc+dacbd

(3)行列式具有分行（歹（J）相加性；例:+

(4)行列式中有两行（列）元素成比例时，其值为0;

(5)互换行列式两行（列），行列式变号；

(6)把某行（列）的左倍加到另一行（列）后，行列式值不变.

3.行列式的余子式、代数余子式

把a：：所在的i行，j列划去余下来的〃-1阶行列式称为D的元素的余子式记为；

1J1JlJ

称Aij=（―1）3人句为D的元素外的代数余子式.

*4.行列式展开定理

定理1.行列式等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和:

nn

0=2X4«=12…M=0=12・・・,〃).

>1i=l

nDk=i,S.。，k手j,

定理2.

",白lky[D,k=j.

j=l〔U,

5.方阵的行列式设A、6为〃阶方阵，则

①[A[=|A|T；②林牛kn\A\；③|A*|=|A|"T；

@|A5|=|BA|=|A||B|；⑤|A+3罔A|+|3|.

二、常用结论

i.上（下）三角形行列式

0

。22

=a

''nn«11«22---ann.

ann

2.副对角行列式

*

%0%”

n(n-1)

a2(n-l)%5-1)

—

=(-1)241〃。2(〃一1)。3(〃一2)

*

%0anl

3.范德蒙行列式

111•••1

不%22■../

D—X；­••次=n(%.-%).

nn>i>j>\]z

短镇•••康

4.分块行列式

AA

A0_AC0mx.mcmxm

=|A||B|;②=(—1)叫

CB-0Bc0

AB

③^\AD-BC\.

CD

三、题型强化

1.具体行列式的计算

方法一：三角形法

4124

1202

（基础题）求。=（答案：50）.

3320

0112

abbb

habb

例：求D=bbab

hbba

1+q111

22+22

例：求。4（q丰0）.

333+%3

4444+%

方法二：展开法

A-3-2-4

求方程-2A-2=0的根

-4-2A-3

方法三：递推法:

21000

121

例：求=0020

00012

方法四：利用范德蒙行列式

ab

例：D=a2b2

b+cc+aa+b

1111

222222"

Dn=332333.

nn2n3n

方法五：拆项法

11111111

1-24-81-24-8

例：己知+=0.则%=

1041503512

1XX2X31%x2%3

方法六：分块法

x—2x—1x—2x—3

2x—22x—12x—22x—3

例：设〃％)=，则f(x)的根的个数为().

3x—33x—24-x—53x—5

4x4x-35x—74x—3

(A)1(B)2(C)3(D)4

题型2.抽象行列式(方阵行列式)的计算

(基础题)设A是三阶方阵，|A|=g,求|(3A)T—2A[.(答案：—16/27)

例：设%%,%是三维列向量，记人=(%%,%)且Ml=1,若

B=(ax+a2,«2+«3,«(+«3),则恸=

例：设A3是〃阶方阵，网=2,网=3,|A—同=1,求⑷-叫

,210、

例：(04-1,2)设矩阵A=120,矩阵8满足A5A*=26A*+石，则|川=

、001J

3.有关余子式的计算

方法：利用行列式展开定理

12345

11122

D=32146+^^3。+A33

22211

43150

3040

2222

D=,求第四行个元素代数余子式之和

0-700

53-22

第二讲矩阵

§1、矩阵及其运算

一、理论强化

1矩阵的概念=(%)»”(是一个数表)•

2矩阵的运算

加法A-\-B={aij+bij)

(1)线性运算《

数乘kA=(kaij)mxn-,

(2)乘法运算Gi=4w用*“(条件：左矩阵列数=右矩阵行数);

运算性质：(i)AB^BAAfi=0势A=0或3=0；

(ii)A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA-,

(3)方阵的累A"=AAA满足(A"')"=A™',但(AB)"'丰AnBm；

(4)转置设A=(«,)_,则4=(今).

运算性质：(i)(Ar/=A；(ii)(M)r=kA1'；

(iii)(—+3尸=加+*；(iv)(AB)r=BrAr.

*(5)伴随阵A*

fAn44、

AAA

(i)定义设A=(4)“x“，则A*=(&)〃,"=92〜为A的伴随阵・

^2"A«n

(ii)基本公式A*A=A4*KA|E.

*(6)可逆阵(非奇异阵)

(i)定义对于〃阶方阵A,若存在〃阶方阵8,使AB=R4=E，则称A可逆，8为A的逆阵，记

4=3.

注A一1唯一，且A4T=ATA=E.

(ii)A可逆的充要条件

〃阶方阵A可逆o|A|w0o存在〃阶方阵8使得48=石或b4=石oR(A)=〃oA的行

(列)向量组线性无关。方程组Av=0只有零解oAPs(其中《为初等方阵)；

(iii)逆阵公式A1=—A*；

|A|

(iv)性质①(&T)T=A；②(公)T=』AT(k^O)；③(AT)T=(AT)r；

k

④(AB)-1=B-'A-1；⑤(4+3尸HAT+B-I.

3.分块矩阵

(1)概念将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块，以子块为元

素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

’0002、

如A=1000J4、

0100A>2x2

01

o74x4

'10000、'1000、

01000-1000

例:A=-12100,B=013-1,则AB

110100214

、01001/<0121；

(2)运算性质

分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似，但要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与的子块

也能运算，即内外都能运算.

(3)常用的分块

(i)列分块4/”=3，%,,%)“4一一〃xl.

(ii)行分块Amxn=~,八一一Ixn.

Jmxl

(iii)Ax=0的分块

*、

x2

Ar=0=(«)a2a〃)00xxax+x2a2+xnan=0.

(iv)AB=O的分块

AB=0=A(4匹瓦)=(。，。，0)=(A凡A%M〃)=(0,0,0)

=Aflj=0(i=1,2,ri).

结论：若则B的列向量片是方程、组Ax=0的解.

(V)分块对角阵A=

AJ

二,常用结论

1.设a,6为〃维列向量，A=«/，则A"=(j3Ta)nlA.

2.①A*=|A|A-1；②(AA)*=[TA*；③(A-I)*=(A*)T④(AB)*=6*A*.

0、(0-l(0B-c

3.、0/=〔0=U0,

BlBO)

\n

4.

三、题型强化

1.求A”.

方法：数学归纳法、拆项法、分块法、利用常用结论1、相似对角化法

100(310、-12、

A二010A=030A=2-24

001,202)<-11-2;

例：”阶矩阵满足A2=432=3,（4—8）2=A+3,证明：AB=BA^O

2.逆阵的计算或证明（具体矩阵、抽象矩阵）

方法一：公式法

」23、

例：A=045,则（A*）T=_________

I。02,

方法二：初等变换法求具体矩阵的逆

，223、

例：A=1—10,求A一I

、T21,

例：若4+A—4E=0,求（A—石尸

例：设4=石+的r,其中a,夕是〃维列向量，且a，力=2,证明：A是可逆阵，并求A1

例：设A3是”阶矩阵，E-A8可逆，证明可逆.

(000、

00a20

例：设q.w0,，=1,2,...〃，A=,求A-

00041

000)

*题型3.解矩阵方程

’30P,5-2-2、

（基础题）设矩阵A=110且AX=A+2X,求矩阵X.(答案：4-3-2)

I。14,1-2237

p1-1]

例：设矩阵A=-111，且(2A)*X=('A)T+8X,求矩阵X.

4

,1

§2、初等变换与矩阵的秩

一'理论强化

1.初等变换初等行变换(r1—r,r.1xk(kwO),1r+ki.)

jJ

初等列变换(q<->q，qx左(k手0),q+3)

*2.初等方阵

（1）.定义：由单位阵经过一次初等变换而得到的矩阵.

(1、(102、

如：E=1彳+2与、010=£(1,3(2)).

（。3+2。1）

3ob

(2).共三种

q、

①E(i,j)=:；（对应々或q—Cj）；

b

"1、

②E(i(k》=k（对应彳x左或qx左（左wO））；

q、

k-、

③E(i,j(k))=1（对应彳+伤或（C/+S））.

b

(3).性质

£T1aa))=E(i(i)；ET\i,j(k))=E(i,j(—k))

-1

<102、0-2、

如歹(1,3(2))=010=010=E(1,3(-2))；

1;1J

<000

②初等方阵与初等变换的关系

A一次行变换＞BO：A=B,其中4为相应的初等方阵,

八-次列变换＞BAQiB,其中2为相应的初等方阵，

（110、<201、

如A=201)110=BoE（1,2）A=B.

U23,U2%

*3.矩阵等价

⑴概念：若A有限次初等变换〉B,称A与8等价，记AB.

⑵性质①人…纥x“=A,3同型且R(A)=R(5)om可逆阵月使/4Q”=瓦

(E0、

②Ar，其中厂=R(A).

〔。oJ

*4.矩阵的秩

(1).概念

尺(4)=r0至少有一个「阶子式D产0(R(A)2r),所有r+1阶子式Dr+1=0(7?(A)<r).

<1234>

12

如A=0125,3£>!=1^0,7?(A)>1,3D2=H0(R(A)22),所有&=0

、2468)°1

(7?(A)<2),，R(A)=2.

(2).性质若4~5,则R(A)=R(5).

二'常用结论

=0oA=0,

1.R(A)=<

21oAw0;

2.设A=(%)妨”，则RA)=H(A，)=R(kA)<rmn{m,n}(k丰0)；

=n<=>|A快0,

3.设A为”阶矩阵,则R(A)=

<〃o|A|=0;

4.R(AB)<min{H(A),H(5)}；

5.R(A+B)<R(A)+R(B)；

6.设A*〃凡,s=0,则R(A)+RCB)<“；

n=7?(A)=n,

7.7?(A*)=J10R(A)=〃-1,

0o7?(A)<n-l;

8.设P,Q为可逆阵，则R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(B4Q).

三'题型强化

4.初等变换与初等矩阵的关系与应用

例：(2011-1,2,3)设4是3阶方阵，将4的第2行加到第1行得矩阵8,再将8的第1列的T倍加到第2

rl10、

列得到C,记。=010则()

、001,

(A)C=P-'AP(B)C=PAP-l(C)C=PTAP(D)C=PAPT

5.求矩阵的秩

方法：基本方法：初等变换法

对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。

,111n

01-1b

例：求4=的秩

23a4

、351V

例：设A为〃阶矩阵，满足A2=E,证明：R（A+E）+R（A-E）=n.

例:设a,夕为3维列向量，矩阵A=也,+侬丁，证明：（1）秩R（A冢；（2）若a,6线性相关,则7?（A）<2

nu>r（A）=n

例：证明：r（A*）<1<=>r（A）=n—\

0or（A）<n

ax

2

例：A=a\

a：

、（勾+1）2（g+1）（%+1）（a4+1）（a5+07

第三讲向量

§1、向量组的线性相关性

一、理论强化

L向量及其运算

①形式a==（%,，4）T----列向量（列矩阵），0=（%多）----行向量（行矩阵）.

①

②运算J加法（同矩阵运算）

I数乘

③向量组：若干个同维数的列（或行）向量组成，如4:%=

*2.线性表示或线性组合

⑴定义：若存在一组数％1，，/使/=+xmam（1）,则称尸可由囚，，a，〃线性表示或夕是

a”线性组合.

⑵判定

定理1夕可由因，，为线性表示o非齐次方程组①有解o尺（火，,am）=7?（a19,am,尸）.

*3.线性相关（无关）

⑴定义：若三一组不全为。的数%，，工加使菁％++xmam=0（2）成立，

则称必，，%,线性相关，否则称a”0m无关,即当且仅当％==%=0,上式才成立.

结论：1°单个向量a相关（无关）oa=0（aw0）；

2°两个向量/,外相关（无关）。对应分量成比例（不成比例）;

3°含有零向量的向量组必相关.

注:X0++xmam=0<^>(a,,,a,„)=0<=>A=0=占，，/为Ax=0的解.

\XmJ\XmJ

⑵判定

定理2必，，?”线性相关（无关）

o齐次方程组②有非零解（仅有零解）

oR（a「,am）＜rn（尺（必，,a„,）=m）

。至少有一个向量可由其余向量线性表示（没有一个向量可由其余向量线性表示）

推论：个数大于维数的向量组必相关.

4.性质

⑴若线性无关，,a,“，）线性相关，则£可由名，，%,线性表示，且表示式唯一;

⑵部分组相关，则整体组亦相关或整体组无关，则部分组亦无关；

,T'2]C'

如A：a,=2a2=4,a3=2,四,％相关=>a],%,ar；相关;

lojL

⑶无关组添加分量仍无关.

如a]=da2=1j无关,则尸]=0，尸2=J；无关•

二'常用结论

1.设向量组％,"，线性无关，向量组笈，，总可由%，区线性表示，即存在P=使

（力，，4）=（%，%）P，

贝I」①R（4，&）=R（P）；②当r=s时，力，，网线性无关0|尸快0.

三、题型强化

1.判定向量组线性相关性

方法：利用上述定理与结论

例：向量组%=（1,0,2），4=（1,1,3）',夕3=（1,-1,a+2），£=（1,2,a+3『

1）a取何值时，〃不能由线性表示；

2）a取何值时，£能由线性表示

2.向量组的线性相关的判定

方法：利用上述结论与判定

例：向量组内=（1,3,6,2『%=（2,1,2,-1）,,%=。,T,心-2），线性相关，财2=

例：已知内,%，%线性相关，%，%，%线性无关。

证明：1）%可由%，%线性表示；2）%不可由%,%，%线性表示

例：若q,a2,线性无关，则当/为时A=a2-«1；A=a3-a^P3=ax~ta3线性无关.

例：人为邛介矩阵，%,%,%均为n维向量，满足

Aax=ax。0,A%=%+%，A%=ax+%,证明：av%,%线性无关

§2、向量组的极大无关组与秩

一'理论强化

*1.极大（最大）线性无关组与秩

定义设向量组A的部分组为名，，区满足：i）%,,%线性无关；ii）VawA,a可由6，，火线

性表示（或A中任意厂+1个向量均线性相关），则称％,，区为A中的一个极大无关组，厂称为向量组的

0：

如A：4=0,a2=1,a3=1.4，。2（或%,013或。2,3）为一个极大无关组，R{ava2,a^）=2.

注：向量组的极大无关组一般不唯一，但向量组的秩唯一.

2.向量组等价

⑴定义设向量组（I）:以，，%,（II）笈，，&，若（H）中每个向量回均可由（I）线性表示,

称向量组（II）可由（I）线性表示；若向量组（I）与（II）相互线性表示，称（I）与（II）等价.

如（I）/=（1,0）,4=（。，1）与（II）笈=（1,1）,氏=（1,一1）等价.

注意：设A、3均为根X〃矩阵，则列（行）向量组等价矩阵等价.

⑵性质

i）矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩（三秩相等）

ii）向量组与极大无关组等价；

iii）若向量组A能由向量组B线性表示，则尺（A）4R（8）;

iv）等价向量组秩相等，但反之不真.

二、常用结论

1.Cmx„=4xs-Bsx„oc的列向量组可由A列向量组线性表示oC的行向量组可由B的行向量组线

性表示.

2.设向量组A的秩为r,则A中任意r个线性无关向量组成的向量组均为A的极大无关组.

3.设则

①A与8行向量组等价；②Ax=0与母=0同解；③A与B相应的列向量组有相同线性相关性

02、10

13,01

AAA

则①a”%,%相关=笈血血相关②名,见无关一外为无关

③%=2%+a2o区=邛\+A④为A组极大无关组og,/%为B组极大无关组

三'题型强化

3.求向量组的极大线性无关组和秩

例：设向量组%=（1,-2,3,-球,4=（3,-1,5,-3尸,%=（5,0,7,-5尸,%=（1,-2,2,0）‘，生=（2,12-2）7

求①向量组的秩②一个极大无关组③把其余向量用该极大无关组表示出来.

例：已知尺（%%。3）=尺（。1，。2，。3，。4）=3,尺（％。2，。3，。5）=4，求尺（4,6^，口3，。4+%）.

例：4,%,%的秩是3,求百=。2+%,/?2=%+%,用=%+弓的秩

第四章线性方程组

§1、齐次方程组

一'理论强化

卬丙++%“七=0，

1.形式<①

。加西++金/“=0，

（\

alj

=%/++七4,=0其中。/=oAx=0其中4=（4，，a〃）一系数矩阵.

1叽

’4、

2.解（向量）&=（若再=q,%2=。2，,x”=c"满足①即魅=0）.

、q“

3.解的性质

⑴.若必=0,恁=0,则4©+$）=0;

⑵.若A§=0,左常数，则A（必）=0.

结论：A（k1^1+k2^）=0.

*4.基础解系（即为解向量组的极大无关组）

①定义设①《，，£是Ax=0的解，②益，，④线性无关，③Ax=0的唯一解均可由《，，④线性

表示，（或③,/=〃—R（A））,称&g是Ax=0的基础解系.

②定理1若Ax=0有非零解（即R（A）<w），则Ax=0一定有基础解系，且基础解系所含向量个数为

n-R（A）.

*5.解的判定

…［只有零解（唯一解）oR（A）=〃o4l勺列向量组线性无关；

［有非零解（无穷多解）oR^AXno建I勺列向量组线性相关.

此时通解x=k^++配©f（九，&-为基础解系，r=R（A））.

②当m=〃（方程个数=自变量个数）时，

只有零解ow0；

"［有非零解o|A|=0.

③当时，Ax=0一定有非零解.

二、常用结论

1.AB=OoA0,，月)=0oA以=0。=1,,〃)O8的列向量组用，，品是Ax=0的解.

2.若Ax=0的解是声=0的解，则R(A)>R(B).

特别：若Ax=0与3x=0同解，则R(A)=R(8).

三、题型强化

1.求Ax=0的基础解系与通解

方法：具体的心=0,利用初等变换法解方程组

抽象的心=°,利用解的性质及结构

玉一%2—%3+Z=0，

(基础题)求<%+%3—3%4=0,的基础解系与通解.(答案：工

X1~X2~2忍+3%4=0

例：设名=(1,0,—=(-2,0,2)‘，%=(1/,0)’是Ax=0的解,

Ax=0的通解为.

例：已知〃阶矩阵A的各行元素之和为0,且H(A*)=1,求Ar=0的通解.

例：设A=(附且—=0,又设A中元素句代数余子式4工0,求Ax=0的通解.

题型2：基础解系问题的证明

例：已知%%是A*=°的基础解系，问％、t2取何值时，=4al+12a2,

Bi=G2+12a3,民=txa3+也是Ax=0的基础解系.

例：已知A是根x〃矩阵，其m个行向量是CX=0的基础解系，B是m阶可逆矩阵

证明：BA行向量组也是CX=0的基础解系。

题型3：同解问题的判定与应用

玉+2X2+3%3=0r

例：已知:<2%+3%+5%3=。与<\22/3°同解，求a,b,c

2%+b%2+(。+1)%3=0

%+%+映=°I

例：设A为那介矩阵，证明r(A)=r(MA)

§2、非齐次方程组

一、理论强化

1.形式

%1%++%“4=%

<（"力不全为0）

。加%++%/"=%

alj（4

>

++xn0tn—b,其中（Xj—,b-,

\amj.J\bmJ,

oAx=Z>,其中A=Dn=3，,a“）----系数矩阵；A=（Ab）=（a,,,a,,b）---增广阵.

2.解的性质

①设初1="初2=〃，则A（〃]—小）=0；

②设切=瓦当=0,则A（〃+J）=4

*3.解的判定

①对于Ax=b

i）无解oR（A）片R（A）（即R（A）=R（A）+1）O向量方不能由%,a”线性表示；

ii）有解oR（A）=R（A）O向量方能由/,,a,线性表示oq,,%与a,,方等价；

iii）唯一解OR（A）=RG）=〃O向量分能由名，，里唯一表示

0%，，a“线性无关，?，，a”，方线性相关；

iv）无穷多解oR（A）=R（A）<〃O向量△能由4，，a”表示，表示式不唯一.

②当m=〃时，

i）当同有唯一解x=A"=（克莱姆法则）；

ii）当网=0,Ar=。可能无解或无穷多解.

*4.解的结构

通解（非齐次）=通解（齐次）+特解（非齐次），即x=K4i+

二、常用结论

〃阶矩阵A可逆oAr=0只有。解oAx=5有惟一解.

三'题型强化

1.求解非齐次方程组Ax

方法：具体的Ax=/利用初等变换法解方程组

抽象的4%=人，利用解的性质及结构

x1-x2+2X3+2X4=1,

（基础题）求＜2%+%2+4%+%4=5,的通解.（答案：%二）

一玉-2X2-2X3+x4=-4

「1〃00、（1

1）求网;2）已知线性方程组Ax二b有无穷解，求a,并求出通解

例：设4元非齐次方程组Ax=万，夫（4）=3,已知7，〃2，〃3是3个解向量，且7+〃2=（LL0,2）T,

5+7=（L0,L33，,求Ax=》通解.

题型2：线性方程组与向量线性表示问题的交叉应用

例：己知4阶方阵4=（%%,%,«4），其中%，。3，。4线性无关，q=2。2-3%，若

P=aY+2a2+a3+a4,求=〃通解.

例：设A为4阶方阵，4=（以,%./），设公=?有通解，女。，一1，2,0/+（2,1,0,1『，问

⑴£能否用。2，%，。4表出？说明理由；⑵能否由四，。2，。3表出？说明理由.

第五讲矩阵的特征值与特征向量

§1、方阵的特征值与特征向量

一'理论强化

T

1.内积设a=（qaJ,j3=（bi。”尸,则内积（。/）=，/=〃&=4伪+。2&+.

2.正交组：两两正交的非0向量组.正交组一定线性无关，反之不真，但线性无关组可通过Schmidt方法化

为正交组.

3.Schmidt方法步骤

设区，，火线性无关，则

1。正交化令队=/，夕,=%—等黑笈—

备*民T，则四，，瓦相互正交;

\P\，Pl）\Pr-l，Pr-\/

令〃L侪”命则如

20单位化,力两两正交的单位向量组.

*4,正交阵AoAA?=EoAT=AToA的列（行）向量组是两两正交的单位向量组.

*5.特征值与特征向量

（1）概念设A为〃阶方阵，若三数2和非0向量xw0,使Ax=Ax①

称几是A的特征值，x为对应于几的特征向量.

⑵特征多项式/（田=忆£—A|（或|A—彳同）（关于2的〃次多项式）.

（3）特征方程忆石―A|=0（或|A—X国=0）②

注：①式即（2E—A）x=0或（A—2E）x=0③

结论1°齐次方程组③的非0解即为几对应的特征向量；

20特征方程②的根即为A的特征值（共〃个）.

（4）性质

i）设A=（%）皿的特征值为4,,4,，则

‘444=IA|,

<

4+4++2„=all+a22++ann;

ii）设名,4为％的特征向量，则匕必+自％（#0）也为力的特征向量；

iii）设名，。2是4,4的特征向量，当4H4时，则匕0+左2a2（匕左2。°）不是特征向量;

iv）不同特征值的特征向量必线性无关；

v）人重特征值对应至多上个线性无关特征向量（即左2"——A））；

vi）实对称阵的特征值一定实数，实对称阵属于不同特征值的特征向量线性无关且正交.

二、常用结论

1.设。是特征值几的特征向量，则

①/（A）（=a/T++勺4+佝£）特征值为了（㈤，S也是/（A）特征向量；

②AA",A，A*的特征值分别为左再，特征向量均为久

AA

2.与A有相同特征值（|2E-A|=|（2E-A）r|=|2E-Ar|），但特征向量不同.

3.（%E—A）x=0基础解系所含向量个数〃—H（4E-A）=A中的4对应线性无关的特征向量个数.

4.|H=0oA有0特征值.

三、题型强化

求特征值与特征向量

方法：具体矩阵：利用特征多项式、特征方程法

抽象矩阵：定义法、利用上述性质与结论求解

（基础题）求下列矩阵的特征值与特征向量

24、

A=202

、423,

例：设”阶矩阵A各列元素之和都是3,求A的一个特征值.

'32-1、

例：已知三阶矩阵A=x-22，有一个特征向量《=(1,-2,3)「，求及£对应的特征值

、3y-L

例：已矢叫X3，|A—同=0,|A—2目=0,|A—3E|=0,则|A—4日=

例：若3维列向量a,6满足a?/=2,则矩阵的非0特征值为.

例：设4阶方阵A满足|4石+⑷=0,■=2石，且同＜0,贝U(A*)?+2E有一个特征值为一

§2、相似矩阵

一'理论强化

*1.相似矩阵

①定义：设A、B为〃阶矩阵，若三可逆阵尸，使尸一1人尸=5,称A与8相似；

②性质：

i)相似具有反身性，对称性及传递性；

ii)设A相似8,则A与8有相同特征多项式，相同特征值，相同行列式及相同的秩，但反之不真;

iii)设A相似8,则A"',AT,AT,A*"(A)分别相似于笈”,",5工3*及/(5).

*2.矩阵可对角化

任、

①定义：若矩阵A与对角阵八=相似，称A可对角化；

②性质：设A可对角化，即三可逆阵P,使PTAP=,贝U

i)4，必是A的特征值；

ii)P=(pp的列向量p,必是4对应特征向量，且线性无关.

"③矩阵可对角化的条件

i)充要条件

定理1:〃阶矩阵A可对角化oA有几个线性无关的特征向量；

定理2:"阶矩阵A可对角化oA中每个重特征值儿对应线性无关特征向量个数等于该特征值的重

数nii,即：n—R(4E—A)=mi或R&E—A)=n—mj,

」11、

如A=000特征值4=4=0(2重mi=2)4=1.

、0007

R(0E-A)=R(-A)=R(A)=l=n-m1=3-2A可对角化.

ii)充分非必要条件

定理3：若〃阶矩阵A有〃个互不相同特征值，则A可对角化；

[4]

定理4：实对称矩阵A一定可对角化，且三正交阵Q使QTAQ=QTAQ=

二、常用结论

若A可对角化，则其非0特征值个数（重根重复计算）=秩（A）.

三、题型强化

1.相似的性质与应用

00)<200、

例:若八=001与8=034相似，求a,b

^01a)(0-2?

例：设A是一个3阶矩阵，/,a2,a?线性无关的3维列向量，且满足A<Z[=q+%+03

A4=2a2+a3,ka3=2a2+3a3,求加勺特征值与特征向量

题型2：对角化的判定与计算

'1-33、

例：A=3