立体几何共面共线归类2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

专题9立体几何共面共线归类

目录

【题型一】四点共面基础型.......................................................................1

【题型二】四线共面型............................................................................3

【题型三】四点共面探索型........................................................................5

【题型四】四点共面翻折型........................................................................8

【题型五】五点共面.............................................................................11

【题型六】三线共点............................................................................12

培优第一阶一一基础过关练.......................................................................15

培优第二阶一一能力提升练.......................................................................20

培优第三阶一一培优拔尖练.......................................................................28

热点题型归纳

【题型一】四点共面基础型

【典例分析】

如图所示，在正方体ABCD-A4£2中，E,尸分别是AB和AA的中点.求证：E,C,2,尸四点共面.

【答案】证明见解析

【分析】证明线线平行，从而得到四点共面.

【详解】证明：连接E凡CD,,A,B.

由E,尸分别是AB,A4的中点，可得E尸〃A].

又AB〃AC，所以E尸〃CR,故E,C,D,,F四点共面.

【提分秘籍】

基本规律

要判断四点共面，只要判断三点共面，再证明第四个点在平面上，或者是证明四点在两条平行的直线

上，选择后者，进行证明.

【变式训练】

1.如图，P是△A8C所在平面外一点，D,£分别是A勿8和△PBC的重心.求证：D,E,A,C四点共面

且OE=；AC.

【答案】证明见解析

【分析】如图，连接P。，PE并延长，分别交AB,BC于点M,N,连接MN,证明£>E〃肱V且OE=；

MN,原题即得证.

【详解】证明：如图，连接P。，PE并延长，分别交A8,BC于点、M,N,

因为。，E分别是A隙8,APBC的重心，所以M,N分别是AB,8c的中点，连接MN,则用N〃AC且

MN=^AC.

.je、，PDPE2

在APMN中，因为=——=-,

PMPN3

2

所以DE//MN且DE=-MN.

211

所以O£〃AC且£>E=(X5AC=3AC

则。，E,A,C四点共面.

2.在三棱锥尸-ABC中ABC为等边三角形，尸AJ_平面ABC,将三角形%C绕以逆时针旋转至外。位

置(如图)，且二面角力一的大小为90。.证明：A,B,C,。四点共面，且AZ)_LP3；

【答案】证明见解析

【分析】根据线面垂直的判定定理可得R4_L平面AC。，然后利用反证法可得A3,C,O四点共面，进而根

据二面角的概念及利用线面垂直的判定定理可得ADJ■平面R4B，即得.

【详解】证明：R41.平面ABC,且AOu平面A6C,ACu平面A8C,

:.PA±AC,PA±AD.AC,ADu平面ACQ,又ACAD=A,

PAJ.平面ACO,假设48,C,。四点不共面，

E4_L平面ABC,A4_L平面AC。，

••・平面ABC〃平面ACZ>,与平面ABCc平面ACD=AC矛盾，故A,B,C,。四点共面；

又所以/BAD为二面角O—2—5的平面角，

.•.ZBA£)=90,B|JADJ.AB,又R4_L4),且B4c=APA,ABu平面加8,

.•.AZ)_L平面又P3u平面Q4B，

.\AD1PB.

【题型二】四线共面型

【典例分析】

如图，已知直线loa-A,Ib=B,1cc=C.求证：a,b,c,/共面.

【答案】证明见解析

【分析】根据平面的基本性质分别得到61和a,c,，三线共面，即可求解.

【详解】证明：因为a〃b,所以。与b共面，

乂由/ca=A,Ib-B,所以a,。,/三线共面；

同理可证三线共面，

所以四条直线a,6,c,/共面.

【提分秘籍】

基本规律

四点共面源于平面基本性质

基

本

文字语言图形语言符号语言作用

事

实

基

本

A,B,C三点不共线=＞存

事过不在一条直线上的三个点，确定平面;判定

在唯一的平面a使A,

有且只有一个平面B,点线共面

实C&a

1

基

本

事如果一条直线上的两个点在确定直线在平

Ae/,B0,且

实一个平面内，那么这条直线在面内；判定点在

BGanlua

这个平面内/i/平面内

2

基

本

事如果两个不重合的平面有一判定两平面相

^7P&a,且P"=aC8=/,

实个公共点一，那么它们有且只交;判定点在直

且P0

有一条过该点的公共直线线上

3

【变式训练】

1.已知：lea,Dea,Ael,Bel,Cel,D史I.求证：直线A。,82cZ）共面于a.

【答案】证明见解析

【分析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，可证明

结论.

【详解】Ael,l<^aAea,D&a,ADcza,

同理8Oua,C£>ua,

所以直线AC,BD,CD共面于a.

2.已知：a、b、c、"四条直线两两相交且不共点，求证：a、b、c、d四线共面.

【答案】证明见解析

【分析】因为。、6、c、4四条直线两两相交且不共点，先由两条相交直线相交确定一个平面，再通过直线

上两点在一个平面内则该直线在这个平面内，即可证明

【详解】a、b、c、"四条直线两两相交且不共点，如图，

•这四条直线两两相交，则设相交直线小匕确定一个平面a.

设直线c与a、b分别交于点H,K,则H,Kea.

又H,Kec,:.cua.

同理可证due,

.0、b、c、4四条直线在同--平面a内.

【题型三】四点共面探索型

【典例分析】

如图，在四棱锥P-A3C。中，24_1面43。，AD±CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的

PF1

中点，点F在PC上，且/己=—.

⑴求证：面皿>；

(2)设点G在尸8上，且黑=%.判断是否存在这样的2,使得A,E,F,G四点共面，若存在，求出4的

rB

值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

2

⑵存在，A=—.

【分析】(1)由线面垂直的性质有再根据线面垂宜的判定即可证结论.

(2)由题设有PG=(2X,-；l,-2/l)且AG=AP+PG，根据点共面结合(2)中面AEFG的一个法向量，利用

向量垂直的坐标表示求力，即可确定结果.

【详解】(1)由面ABCRCOu面A8C。，则R4LCD,

又AO_LC。且R4cAD=A，可得：CD1■面PAD.

(2)存在这样的九

由尸G=/l尸8可得：PG=(22,-2,-22),则AG=AP+PG=(2九一九2-2彳)，

若A,E,F,G四点共面，则AG在面AEF内，又面AEF的一个法向量为m=(11,T),

2

••in-AG=0'即22一4+22—2=0,可得X=

...存在这样的4=；2,使得四点共面.

【变式训练】

1.如图，在四棱锥P-A3C。中，底面A5CO为正方形，E为侧棱PC的中点，PA_L底面A3CD,且

(1)在侧棱PO上是否存在点尸，使得点A,B,E,F四点共面？若存在，指出F点的位置，并证明；若

不存在，说明理由.

⑵求几何体BEC-AFD的体积.

【答案】(1)尸为侧棱中点，证明见解析

⑵1

【分析】(1)取点PD的中点尸，得到瓦7/CD,进而证得防〃AB,得到A,B,E,尸四点共面.

(2)由R4_L平面ABCD,证得CD_LB1,进而证得CD,面上4£>,得到CD_LPD,利用线面垂直的判定

定理证得尸£>_!_平面AEF,结合V=即可求解.

【详解】(1)解：当A,B,E,尸四点共面时，F为侧棱PO中点.

证明如下：

取点PO的中点产，由E分别是PC中点，所以斯//8,

又因为C£>〃A8,所以瓦V/AB,

所以A,B,E,尸四点共面.

(2)解：因为抬L平面A8C£),COu平面ABCD,所以COLP4,

乂因为C£)_LA£),且B4cA£>=A,所以CD_L面PAD,

又山包)u平面24。，所以CDJ_P3,

因为EFUCD,所以EFLPD，

乂因为尸是尸。中点，PA=AD,所以Ab_LPD,

又由A尸EF=F,所以P£>_L平面AE尸，

所以几何体E8C-幺"的体积：

V=VP-ABCD-Vf-ABEF=~'SABCD-PA~SABEF-Pf7=^~+~'

3.几何体E-ABCD是四棱锥，△"£)为正三角形，BC=CD=2,ZBCD=120°,M为线段4E的中点.

⑴求证：ZW//平面BEC；

(2)线段EB上是否存在一点N,使得2M,MC四点共面？若存在，请找出点N,并证明；若不存在，并说

明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)存在，点N为线段即上靠近点8的三等分点，证明见解析.

【分析】(1)取AB的中点F,连接。利用面面平行的判定、性质推理作答.

(2)延长。C43相交于点。连接尸“交BE于点N,连接CN,利用线面平行的性质及平行推比例式推

理作答.

【详解】(1)取A3的中点尸，连接。EMF,如图,

因为分别为A3,AE的中点，有MF//EB,而用尸0平面E3C,E3u平面E8C,

则〃平面EBC,又AADB为正二角形，ZDBA=60,BCD为等腰三角形，NBCD=120。，有NDBC=30，

即有NABC=90，而NAfD=90°,于是得DF//BC,平面E8C,BCu平面EBC,

因此DF〃平面EBC,因。产cA//=尸，。尸,A/Fu平面DMF,则平面。〃平面EBC,又DMu平面

EBC,

所以DM〃平面BEC.

(2)延长。C,AB相交于点尸，连接PM交BE于点、N,连接CN,过点N作NQ//AE交AB于点Q，如图，

因为。M//平面ECB,£)加匚平面尸胸，平面PDM1平面EC8=CV,则DW//CN,

即£>,M,N,C四点共面，由(1)及已知，BC=CD=2,ZPCB=60,CBIBP,

PNCP2NQ_PN_2

得PC=4,BP—=—又NQ//AE,则

PMDP~AM~~PM~3

则有矍［,即器=笑=:’点'为线段即上靠近点B的三等分点,

所以线段£3上存在点N,使得2M,N,C四点共面，点N为线段EB上靠近点B的三等分点.

【题型四】四点共面翻折型

【典例分析】

图1是由矩形A8GF,和菱形4BCD组成的一个平面图形，其中43=2,AE^AF=\,ZBAD=60°,

将该图形沿AB,4。折起使得AE与A尸重合，连接CG,如图2.

G

(1)证明：图2中的C,D,E,G四点共面;

(2)求图2中三棱锥C-3ZX7的体积.

【答案】(1)证明见解析

喈

【分析】(1)依题意可得AB〃FG,ABI/CD,即可得到AB//GE,从而得到8//EG,即可得证；

(2)依题意可得AE_LA。、AEYAB，即可得到A£_L平面ABC。从而得到8G_L平面A8C£>,再根据

%的=%'8G-SBCD计算可得；

(1)

证明：在矩形ABGF和菱形ABC。中，AB//FG,AB//CD,

所以45〃GE,

所以CW/EG,

所以C、D、E、G四点共面；

(2)

解：在中A£_LAQ,矩形45GE中AE_LA3,

ADoAB^A,AO,A8u平面ABC。，所以AE_L平面ABC。,

又BG//EA,所以BG_L平面ABCD,

乂Sncn=-BCCDsmNBCD=2x2x且=6，

B8222

所以匕..k=%“7,=，BG.S=-xlxx/3=-

V-O-/>VI-*3J33

【提分秘籍】

基本规律

翻折题型，翻折前和翻折后在同一个平面内点线面，则相对位置关系不变。充分利用这个“相对不变”

的性质解决翻折问题题型

【变式训练】

1.在矩形ABCD中，AB=4,AD=2.点E,尸分别在A8,C。上，且AE=2,CF=1.沿EF将四边形AEFD翻折

至四边形A'EFZ）’,点A'c平面BCEE.

（1）求证：C。〃平面A'BE;

（2）A',B,C,。四点是否共面？给出结论，并给予证明；

【答案】（D证明见解析；（2）不共面，证明见解析；（3）1.

【分析】（1）由D'F//A:E得。'尸〃平面AEB，FC//EB得FC//平面A'EB,从而得平面DFCII平面AEB,

即可证明CD'//平面AEB：

（2）假设瓦。四点共面，则A'D〃5c或A'ZycBC=。，只要证明这两个结论不成立即可；

【详解】（1）证明：因为。'尸//A'E,O'FcZ平面A'EB,A，Eu平面A'£B,

所以。'尸//平面4E8,

因为FC//E3，FC<Z平面A'EB，E3u平面A'EB.

所以FC〃平面A'EB,

又因为FCcDF=F,所以平面DFC〃平面AEB，

因为CD'u面。'EC,所以CD'//平面AE3；

（2）A',B,C,D'四点不共面.

证明:假设A',D',B,C四点共面，则A'D'//BC或A7）'cBC=。.

若A77//BC,又因为A£>'（Z平面BCFE,BCu平面BCFE,

所以A0'〃平面BCFE,AE/u平面A'DfE,平面BCFEc平面A:DFE=EF,

所以A'D〃防（与已知矛盾,舍去）

若ADc8C=Q,所以。€平面AZFD'，Qw平面8c正

根据基本事实3,所以QeEF

所以A'D',BC,EF交于一点（与已知矛盾，舍去）；

综上所述，A,8,C,。'四点不共面.

2.在“ABC中，ZABC=90°,分别以边A8和8c为一边向外侧作矩形ABOE和菱形BCFG（如图1）,满足

BD=BG,再将其沿A3,5c折起使得8。与2G重合，连结EP（如图2）.

图1图2

（1）判断A,C,F,E四点是否共面？并说明理由:

（2）在图1中，BC=2AB=2,/BC尸=120。，在图2中cos/ACF=—苧，求多面体ABC—EOF的表面积.

【答案】（1）A,C,F,E四点共面，理由见解析

⑵8+26

【分析】（1）由直线平行的传递性可证；

（2）根据已知直接计算各多边形面积相加可得.

【详解】（DA,C,F,E四点共面，理由如下：

VAE//BD.BG〃CF，又因为。，G重合，

AAE//CF,故4,C,F,E四点共面.

（2）矩形48OE的面积E=A*8£>=1X2=2,在菱形BQFC中，ZBCF=\20°,BC=2,

：.菱形BDFC的面积S2=BCCFsin1200-2x2sinl20°=243

由（1）知AE〃CF，且AE=8O=C尸

二四边形ACFE是平行四边形，且cosNACF=-好

5

sinZACF=^1-cos2Z.ACF=~~

又在Rt-45c中，AC=dAB?+BC?=Vl2+22=石

/7

二四边形AbE的面S3=AC-CFsinNACF=^x2x上9=4

'：DE=AB,DF=BC,EF=AC,：./\EDF^/\ABC

^ABC与，EDF的面积和S4=2SAASC=2x；AB-BC=2xgxlx2=2.

故多面体MC—EZ）尸的表面积为S1+S2+S3+S4=2+2K+4+2=8+2G.

【题型五】五点共面

【典例分析】

如图，/"〃2,4与4、4分别交于A、B两点，与4、4分别交于C、£)两点，E&AD.求证：AB、C、

D、E五点共面.

【答案】证明见解析

【分析】根据已知条件分析可知直线4、可确定一个平面a，证明出A、B、C、£＞、E均在平面a内,

即可证得结论成立.

【详解】证明：因为4/%，则直线4、4可确定一个平面，记该平面为a，

因为A、Cw/1,B、Del2,则A、B、C、Dea,则A£)ua,

因为EwA。，则Eea,故A、B、C、D、E五点共面.

【提分秘籍】

基本规律

五点共面题型，多借助于两条直线相交或者平行时共面这个性质来转换。寻找点在线上

【变式训练】

已知4、艮心。、正是空间中不同的五点，其中任意四点共面，求证：这五点共面.

【答案】证明见解析

【分析】设人民C、。共面于a,A、B、C、E共面于员当A、B、C三点不共线时，a、6重合，当A、&C三点

共线时，设所在直线为/,贝I"在这个平面内，从而五点共面.

【详解】因为48、C、D、E是空间中不同的五点，其中任意四点共面，

不妨设人民C、0共面于a,4艮C、E共面于用.

①若人员C三点不共线，则平面a、P有三个不共线的公共点A、艮C,

所以a、夕重合，从而五点共面.

②若4民C三点共线，设所在直线为/.依据题意A、B、D、E四点共面，

则直线/在这个平面上，从而点C也在该平面上，故人8、C、E共面.

综上所述，这五点共面.

【题型六】三线共点

【典例分析】

如图，正四棱柱/WCP-H'MC'P'.

(1)请在正四棱柱ABCP-A'3'C'P'中，画出经过尸、Q、R三点的截面(无需证明);

(2)若。、R分别为49、8'C'，中点，证明：AQ,CR、BB'三线共点.

【答案】(1)图见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)直接由平面的基本性质作图：

(2)证明四边形4QRC为梯形，设AQcCR=O,再证明OeBE,即可得到AQ、CR、85'三线共点.

【详解】(I)作直线。R分别交尸A',P'C'的延长线于MN,连接交4A于S,

连接PN交CC'于点T,连接S。,窗,

如图五边形PSQRT即为所求;

AC',则AC=AC'，AC//AC\

：Q、R分别为A'B'、B'C中点，

：.QR//A'C',又4C7/AC',

：.QRHAC,而AC=2QR,可得四边形AQRC为梯形，

设AQcCR=O,则OeA。，

：AQu平面AAB.；•OG平面A'AB,同理平面CCB,

乂平面AABc平面C'CB=BB',：.OeBB',

即AQ、CR、B8'三线共点.

【提分秘籍】

基本规律

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言表示为:

Pea]

a\0=1且Pw/.

【变式训练】

1.如图所示，在正方体ABCD-AAGR中，区尸分别是A反朋的中点.求证:

(1)CE、"£D4三线共点；

(2)直线8C和直线。尸是异面直线.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)分别延长D4交于点产，由平面基本性质知Pw面ABCO.再由三角形中位线定理证明

CE,D、F,D4三线共点于p.

(2)由反证法以及线面平行的判定以及性质即可得矛盾求解.

(1)

分别延长RF,DA,交于点P,

PeDA,DAu面ABCD,

面ABCD.

尸是A4的中点，FA//D.D,

.•.4是OP的中点，

连接CP,AB//DC,

..CRAB的交点为线段AB的中点，即为E,

/.CE,QF,D4三线共点于P.

(2)

假如匕线BC和直线。声不是异面直线，则存在•个平宙a,使得BCua，Afua,

由于在正方体中仞〃BC,BCea,4OUa,

因此A。//a.

又因为ADu平面AORA,且平面ADD.A,ca=QF,

故AO〃"F,在正方形AORA中，显然ADRF不平行，故矛盾，

因此假设不成立，即直线3C和直线口尸是异面直线.

2.如图，已知点E,F,G,H分别为正方体ABC0-A/B/。分的棱E8,BC,CCi,C/D的中点,

⑴求证：E,尸,G,"四点共面；

(2)求证:E尸,HG,0c三线共点.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)连接，E,GF,只要证明"E//GF即可；

(2)延长HG,0c交于点M,证明M点在直线E尸上即可.

(1)

连接HE,GF,BC、如图：

因为，，E分别是RG，AB的中点，.,.HG〃E8,〃£=EB,四边形HG8E是平行四边形,

ABCJ/HE,又G,尸分别是CG,BC的中点，..FG//BG，FG//HE,

直线FG与直线”E共面，HwHE,EeHE,GwFG,FeFG,：.H,G,E,尸四点共面；

(2)

延长”G与OC的延长线交于M,连接FM,如上图，

TG是C&的中点，HGCjGCM,CM=g=2孰.AB=EB,

又CF=BF,NFCM=NEBF=90°,.CMFmEBF,NCFM=ZEFB,

所以平面ABC。的，NCFM与ZEFB是对顶角，

BPEF与FM共线，HG,DC,EF三线交于M点.

M分阶培优练

培优第一阶——基础过关练

1.（2022春・安徽芜湖•高一校考期中）下列说法正确的是（）

A.三点可以确定一个平面

B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.四边形是平面图形

D.两条相交直线可以确定一个平面

【答案】D

【分析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可.

【详解】对于A,不共线的三点确定一个平面，故选项A错误；

对于B,经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B错误；

对于C,空间四边形不是平面图形，故选项C错误；

对于D,由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D正确.

故选：D.

2.（2023•全国•高一专题练习）下列条件不能确定一个平面的是（）

A.不共线三点B.直线和直线上一点

C.两条平行直线D.两条相交直线

【答案】B

【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断.

【详解】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意；

经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意；

经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意；

经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意.

故选：B.

3.（2023•全国•高一）已知空间四个点，贝『'这四个点中有三点在同一直线上'’是"这四个点在同一平面内'’的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；”这四个点在同一平面内”时，可能

有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立.

【详解】“这四个点中有三点在同一直线上“，则第四点不在共线三点所在的直线上，

因为•条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出”这四点在同一个平面内”，从而充分性成立：

“这四个点在同一平面内''时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上“，不一定有三点在同一直线上，从

而必要性不成立，

所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.

故选：A.

4.（2023春•河北邢台•高一河北南宫中学校考阶段练习）下列说法正确的是（）

A.过空间中的任意三点有且只有一个平面

B.三棱柱各面所在平面将空间分成21部分

C.空间中的三条直线小6,c,如果。与6异面，与c异面，那么“与c异面

D.若直线a在平面a外，则平面a内存在直线与。平行

【答案】B

【分析】根据不共线的三点可确定平面，即可判断A；根据分别乘法计数原理即可判断B：根据异面直线的

概念即可判断C；根据线面关系即可判断D.

【详解】A：当空间中的三点共线时，不能确定平面，故A错误；

B：三棱柱的3个侧面将空间分成7部分，两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，

所以三棱柱各面所在的平面将空间分成7x3=21个部分，故B正确；

C：空间中直线a、b、c,若a与直线匕异面，力与c异面，

则a与c可能异面，也可能共面，故C错误；

D：由直线a在平面a外可知，“〃a或a与a相交.

若a〃a,则a内存在一条直线与直线。平行；

若a与a相交，则a内不存在直线与直线a平行，故D错误.

故选：B.

5.（2022秋•云南昭通•高一校考期中）下列命题不正确的个数是（）

①三点确定一个平面；

②圆心和圆上两个点确定一个平面；

③如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点；

④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由公理2可判断命题①，②；由公理3可判断命题③；如果两条直线没有交点，则这两条直线平

行或异面可判断命题④.

【详解】对于①，当三点共线时，确定的平面有无数个，故错误；

对于②，当圆心和圆上的两点满足三点共线时，确定的平面有无数个，故错误；

对于③，如果两个平面相交有一个交点，则必有经过该点的一条直线，该直线为交线，故正确；对于选项

④，

如果两条直线没有交点，则这两条直线平行也可能是异面直线，故错误，所以不正确的命题有3个.

故选：C.

6.（2022秋.上海杨浦•高一上海市控江中学校考期中）下列命题中，正确的是（）

A.一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交

B.一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面

C.一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是

异面直线

D.一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行

【答案】C

【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案.

【详解】一条直线和两条平行直线中的一条相交，则和另一条相交或异面，A错误；

一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，设a〃6/与。确定一个平面，则/与〃平行或相交，如

下图/与a相交的情况，/与6异面，B错误；

h

一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条如果不是

异面直线，即与另•条平行，由平行公理知：三条直线互相平行，与题设有矛盾，C正确：

一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面，D错

误.

故选：c

7.（2022秋.上海杨浦.高一上海市杨浦高级中学校考期中）四面体A3。有3条棱的长为其余3条棱的

长为1,并且当六条棱的长度不全相等时，相同长度的三条棱共点或者共面，则r的取值范围是（）

A.(0,+oo)B.

C.D.(0,73)

【答案】B

【分析】根据题意分成两种情况，再结合正四面体的性质求解即可.

【详解】分为两种情况:

当E4=EB=EC=r,AB=AC=3C=l,如图所示:

E在平面ABC的投影为正一角形A8C的中心D,CD=-x^-x\<CE=t,

32

所以"走,

3

当E4=£8=EC=1,/W=AC=8C=，，如图所示:

E

E在平面ABC的投影为正三角形A5C的中心。，

CD=^--t<CE=\,所以r<白，

综匕fe停班.

故选：B

8.（2022秋.湖北武汉.高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）在正方体中，E、F、G、

，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中£、F、G、”四点共面的是（）

【答案】B

【分析】对于B,证明E"〃尸G即可；而对于BCD,首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明

另外一点不在该平面中即可.

【详解】对于选项A,如下图，点E、F、H、”确定一个平面，该平面与底面交于月0,而点G不在平

面EHMF上，故E、F、G、H四点不共面；

对于选项B,连结底面对角线AC,由中位线定理得FG〃AC,又EH"AC,则£7/〃/G,故E、F、G、

”四点共面

对于选项C,显然E、F、”所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E、F、G、”四

点不共面；

对于选项D,如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点E、G、”确定的平面，该平面

与正方体正面的交线为PQ,而点尸不在直线PQ上，故E、F、G、”四点不共面.

故选：B

培优第二阶——能力提升练

1.给出以下四个命题：

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A,B,C,。共面，点A,B,C,E共面，则点A,B,C,D,E共面；

③若直线“，b共面，直线小c共面，则直线6c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面.

其中正确的有.（填序号。

【答案】①

【分析】根据点共线、共面以及线共面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】对于①，反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上,

根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故①正确；

对于②，如下图，A,B,C,O共面，4氏仁£共面，但4仇。,。,2不共面，故②错误;

E,

A

对于③，如下图，共面，，共面，但8,c异面，故③错误;

对于④，如下图，a,b,c,d四条线段首尾相接，但"c,d不共面，故④错误.

故答案为：①.

2.在空间四点中，三点共线是四点共面的一条件.

【答案】充分不必要

【分析】根据充分不必要条件的概念，结合空间点面位置关系判断即叱

【详解】空间四点中，若有三点共线，则第四点不论在线上，还是在线外，四点一定共面；反之，若空间

四点共面，不一定有三点共线，

所以，在空间四点中，三点共线是四点共面的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要

3.下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点去顶的图是.

【答案】①②③

【分析】由正方体、正四面体的结构特征，结合点线、线线位置关系判断四点是否共面.

【详解】图①：PS//A,C,QR//A'C',故PS//QR,即四点共面，满足；

图②:RSHD'C,若E为中点,则PE//D'C,故RS//PE,即②S,P,E共面,

而QE//AC,PS//AC,故QE//PS,即Q,S,只E共面,

且S,P,E三点不共线，故R,QS,P,E共面，满足;

故PQ//RS,则&Q,S,P共面,满足;

图④：若E为中点，则PR//8Q,SE〃8Q,故PR//SE,即尸,R,S,E共面,

而PRu面PRES,BQ0面PRES,则面P/?£S,

又QeBQ,RR,5,P三点不共线，故面尸烟即为面PRS,故。史面PRS,即R,Q,S,尸不共面，不满足;

故答案为：①②③

4.已知是不共面的四个点，且这四个点到平面a的距离都相等，则这样的平面a有个.

【答案】7

【分析】分别考虑三点在平面同侧，另一点在平面另一侧和两点在平面同侧，另两点在平面另一侧的情况

即可.

【详解】当A,8,C三点在平面同侧，£＞位于平面另一侧时，只需A,aC三点确定的平面到平面a的距离与

点。到平面a的距离相等，则此时的平面a符合题意；

即当A,aC,。中的三个点在平面同侧，另一个点在平面另一侧时，这样的情况有4种，则满足题意的a有4

个；

当A,3位于平面同侧，C,£）位于平面另一侧时，只需直线AB与直线CD到平面a的距离相等，则此时的平

面a符合题意；

则当A,8,C,。中的两个点在平面同侧，另两个点在平面另一侧时，这样的情况有3种，则满足题意的a有3

个；

综上所述：这样的平面a有7个.

故答案为：7.

5.如图，ABC。-ABg。是长方体，。是瓦。的中点，直线4。交平面A4D于点则下列结论正确的

是.（填写所有符合要求的结论序号）

①AM,O三点共线；②A,M,O，A四点共面；

③A。CM四点共面；④氏与四点共面.

【答案】①②③

【分析】对于①，利用公理3,证明AM,O为两个平面的公共部分即可;

对于②，③，利用“直线和直线外一点确定一个平面”判断；

对于④，根据异面直线的定义，判定直线8片，直线QM为异面直线后可知其错误.

【详解】时于①，两条平行线确定一个平面，即AC,C“A共面，显然平面A4pn平面ACGA=A,结合

公理三：两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，设平面阴A,平面

ACGA的交线为/,注意到。是8a的中点，矩形对角线互相平分，故。也是AG的中点，即AG，AGu

平面ACQA,，故O€平面ACC.A，又。e8Q,3Qu平面ABQ,故。《平面A8Q,即。e/；由Me,

ACu平面ACCM，即平面ACCd，由题干直接可知，Me平面入耳.，故Me/,故AM,O三点共

线：

对于②，由直线和直线外一点可确定一个平面，结合①正确可知，故AM,。确定的直线和A共面，故②正

确；

对于③，类似②，AM,O确定的直线和C共面，故③正确；

对于④，88"平面4BQ,0加匚平面4q2,84c平面且旦i0M,根据异面直线的定义，

直线B4,直线。M为异面直线，故不可能四点共面，故④错误.

故答案为：①②③

6.如图，已知正方体ABCQ-A8cA的棱长为2,M,N,尸分别为棱的（孰,AO的中点，。为该正方体

表面上的点，若M,N,P,。四点共面，则点。的轨迹围成图形的面积为.

【答案】班

【分析】根据题意找出点。的轨迹围成图形为正六边形尸硒FGM即可求解.

【详解】如图,

取CD,BG,A4的中点分别为EFG,

则点Q的轨迹围成图形为正六边形PENFGM,

且边长为面对角线的一半，即0,

所以点。的轨迹围成图形的面积为(曰、=3百,

故答案为：3省.

7.如图所示.48C£>-A£CQ是正方体，。是BQ,的中点，直线A。交平面AgQ于点M,给出下列结论:

①A、M、。三点共线;②A、M、。、A1不共面:

③A、M、C、0共面;④B、四、0、M共面,

其中正确的序号为.

【答案】①③

【分析】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④

【详解】连接AG，因为。是BQ的中点，所以OeAG，

平面A8Q与平面AAGC有公共点A与。，则平面)平面=

对于①，加右⑪(4匚平面儿^^，则MG平面A4,GC，因为Mw平面ABQ,则MeAO,即A,M,

。三点共线，所以①正确，

对于②③，由①知A,M,。三点共线，所以A,M,O,A共面，A,M,C,O共面，所以②错误，③正

确；

对于④，连接B£),则&q，。都在平面BBQD上，若Me平面BBQD,则直线OMu平面BBQQ,所以Ae

平面BBQD,显然A纪平面BBQQ,所以④错误，

故答案为：①③

8.已知P,Q,R,S是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是.（写

序号）

①

③

【答案】①③④

【分析】利用平面的基本性质及推论，逐一检验即可.

【详解】①中，PR//QS,.-.p,Q,R,S四点共面;

②中，G和QS是异面直线，故四点不共面：

③中，PS//QR,,-.P,Q,R,S四点共面；

④中，PQ//RS//BC,；.P,Q,R,S四点共面；

故答案为：①③④

9.空间给定不共面的A,B,C,。四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面a：

A,B,C,。中有三个点到的距离相同，另一个点到a的距离是前三个点到。的距离的2倍，这样的平面a

的个数是个

【答案】32

【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解

【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；

然后分3分个点到平面a的距离相等，有以下两种可能性：

(1)全同侧，这样的平面有2个；

(2)不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，

1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，

考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，

故共有6个，

所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共仃4x8=32个,

故答案为：32

培优第三阶——培优拔尖练

1.如图，在长方体ABC。-AAGA中，E,F分别是和GR的中点.证明：E,F,D,B四点共面.

【答案】证明见解析

【分析】