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【创新设计】-版高中数学3.4.2.2指数型、对数型、幂函数模型的应用实例同步训练苏教版必修1eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…这样,一个细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数关系是________.解析该函数关系为y=2x,x∈N*.答案y=2x(x∈N*)2.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林________亩.解析y=10000×(1+20%)3=17280(亩).答案172803.为减少我国北方地区的沙尘暴,建设绿色和谐家园,政府提供资金、技术支持,某地区干部群众积极行动起来投入到荒漠化土地的治理中,致使本地区的荒漠化土地面积每年平均比上一年减少10%,已知本地区原有荒漠化土地面积为a,那么经过x年后本地区荒漠化土地面积y与x的函数关系式为________.解由题意得y=a(1-10%)x(x∈N*).答案y=a(1-10%)x(x∈N*)4.某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设第一年有100只,则到第七年它们发展到________只.解析由已知第一年有100只,得a=100,将a=100,x=7代入y=alog2(x+1),得y=300.答案3005.以下是三个函数y1,y2,y3随x的变化的函数值表:x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.584922.32192.58492.80733…其中,关于x呈指数型函数变化的函数是________.解析从表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是随x的增长而增长,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图象可知变量y1呈指数型函数变化,故填y1.答案y16.某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).(1.01210=1.127,1.01215=1.196,1.01216=1.210)解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)2×(1+1.2%)=100×(1+1.2%)3.…x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(x∈N).(2)10年后人口数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100×(1+1.2%)x=120,x=log1.0121.20≈16(年).因此,大约16年以后该城市人口将达到120万人.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,则经过________年剩留原来质量的一半.解析设经过x年后剩留原来质量的一半,依题意,有0.9576eq\f(x,100)=eq\f(1,2),两边取对数,得eq\f(x,100)lg0.9576=-lg2,解得x≈1600年.答案16008.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机的价格降低eq\f(1,3),则现在价格为8100元的计算机15年后的价格应降为________元.解析y=a·(1-eq\f(1,3))eq\f(x,5),所以当x=15时,y=8100×(1-eq\f(1,3))3=8100×eq\f(8,27)=2400(元).答案24009.若某工厂年12月份的产值是这年1月份的产值的k倍,则该厂年产值的月平均增长率为________.解析设1月份的产值为a,则12月份的产值为ka,又设月平均增长率为p,则ka=a(1+p)11,解得p=eq\r(11,k)-1.答案eq\r(11,k)-110.现有某种细胞100个,其中有占总数eq\f(1,2)的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,经过________小时,细胞总数可以超过1010个(参考数据:lg3=0.477,lg2=0.301).解析1小时后,细胞总数为eq\f(1,2)×100+eq\f(1,2)×100×2=eq\f(3,2)×100;2小时后,细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100+eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100×2=eq\f(9,4)×100;3小时后,细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100+eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100×2=eq\f(27,8)×100;4小时后,细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100+eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100×2=eq\f(81,16)×100;可见,细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为:y=100×(eq\f(3,2))x,x∈N*,由100×(eq\f(3,2))x>1010,得(eq\f(3,2))x>108,两边取以10为底的对数,得xlgeq\f(3,2)>8,∴x>eq\f(8,lg3-lg2),∵eq\f(8,lg3-lg2)=eq\f(8,0.477-0.301)≈45.45,∴x>45.45答案4611.某家庭进行理财投资,根据长期收益率的市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图所示).(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系式;(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益为多少万元?解(1)设投资债券的收益与投资额的函数关系为f(x)=k1x,投资股票的收益与投资额的函数关系为g(x)=k2eq\r(x),由图象得f(1)=eq\f(1,8)=k1,g(1)=k2=eq\f(1,2),f(x)=eq\f(1,8)x(x≥0),g(x)=eq\f(1,2)eq\r(x)(x≥0).(2)设投资债券类产品x万元,则投资股票类产品为(20-x)万元.y=f(x)+g(20-x)=eq\f(x,8)+eq\f(1,2)eq\r(20-x)(0≤x≤20).令t=eq\r(20-x),则y=eq\f(20-t2,8)+eq\f(1,2)t=-eq\f(1,8)(t2-4t-20)=-eq\f(1,8)(t-2)2+3.所以当t=2,即x=16时,收益最大,ymax=3万元.12.某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?解借助计算器作出函数y=5,y=0.25x,y=1.002x的图象如图所示.观察图象发现,在区间[10,1000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在y=5的上方,说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求,下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x∈(20,1000]时,y>5,因此该模型不符合要求;对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0=5,由于它在区间[10,1000]上递增,因此当x>x0时,y>5,因此该模型也不符合要求;对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当x∈[10,1000]时,利用计算器作f(x)=log7x+1-0.25x的图象(图略),由图象可知f(x)是减函数,因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即log7x+1<0.25x.所以当x∈[10,1000]时,y<0.25x.这说明按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%.综上所述,模型y=log7x+1能符合公司的要求.13.(创新拓展)某国年至年国内生产总值(单位:万亿元)如下表所示:年份x(年份-)0123生产总值y8.20678.94429.593310.2398(1)画出(x,y)的散点图,近似地写出一个函数关系式;(2)利用得出的关系式检验表中未用数据;(3)利用得出的关系式预测年的该国的国内生产总值.解(1)散点图略,从图象可以看出,四个点近似地落在一条直线上,设所求函数为y=kx+b.选择两点(0,8.2067)和(3,10.2398)代入,解方程组得k=0.
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