高中数 3.4.2.2指数型、对数型、幂函数模型的应用实例同步训练 苏教版必修1

【创新设计】-版高中数学3.4.2.2指数型、对数型、幂函数模型的应用实例同步训练苏教版必修1eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是________．解析该函数关系为y＝2x，x∈N*.答案y＝2x(x∈N*)2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林________亩．解析y＝10000×(1＋20%)3＝17280(亩)．答案172803．为减少我国北方地区的沙尘暴，建设绿色和谐家园，政府提供资金、技术支持，某地区干部群众积极行动起来投入到荒漠化土地的治理中，致使本地区的荒漠化土地面积每年平均比上一年减少10%，已知本地区原有荒漠化土地面积为a，那么经过x年后本地区荒漠化土地面积y与x的函数关系式为________．解由题意得y＝a(1－10%)x(x∈N*)．答案y＝a(1－10%)x(x∈N*)4．某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到________只．解析由已知第一年有100只，得a＝100，将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.答案3005．以下是三个函数y1，y2，y3随x的变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.584922.32192.58492.80733…其中，关于x呈指数型函数变化的函数是________．解析从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是随x的增长而增长，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象可知变量y1呈指数型函数变化，故填y1.答案y16．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210)解(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)＝100×(1＋1.2%)3.…x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)．(2)10年后人口数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.0121.20≈16(年)．因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，则经过________年剩留原来质量的一半．解析设经过x年后剩留原来质量的一半，依题意，有0.9576eq\f(x,100)＝eq\f(1,2)，两边取对数，得eq\f(x,100)lg0.9576＝－lg2，解得x≈1600年．答案16008．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低eq\f(1,3)，则现在价格为8100元的计算机15年后的价格应降为________元．解析y＝a·(1－eq\f(1,3))eq\f(x,5)，所以当x＝15时，y＝8100×(1－eq\f(1,3))3＝8100×eq\f(8,27)＝2400(元)．答案24009．若某工厂年12月份的产值是这年1月份的产值的k倍，则该厂年产值的月平均增长率为________．解析设1月份的产值为a，则12月份的产值为ka，又设月平均增长率为p，则ka＝a(1＋p)11，解得p＝eq\r(11,k)－1.答案eq\r(11,k)－110．现有某种细胞100个，其中有占总数eq\f(1,2)的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过________小时，细胞总数可以超过1010个(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)．解析1小时后，细胞总数为eq\f(1,2)×100＋eq\f(1,2)×100×2＝eq\f(3,2)×100；2小时后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100×2＝eq\f(9,4)×100；3小时后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100×2＝eq\f(27,8)×100；4小时后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100×2＝eq\f(81,16)×100；可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：y＝100×(eq\f(3,2))x，x∈N*，由100×(eq\f(3,2))x＞1010，得(eq\f(3,2))x＞108，两边取以10为底的对数，得xlgeq\f(3,2)＞8，∴x＞eq\f(8,lg3－lg2)，∵eq\f(8,lg3－lg2)＝eq\f(8,0.477－0.301)≈45.45，∴x＞45.45答案4611．某家庭进行理财投资，根据长期收益率的市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图所示)．(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？解(1)设投资债券的收益与投资额的函数关系为f(x)＝k1x，投资股票的收益与投资额的函数关系为g(x)＝k2eq\r(x)，由图象得f(1)＝eq\f(1,8)＝k1，g(1)＝k2＝eq\f(1,2)，f(x)＝eq\f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq\f(1,2)eq\r(x)(x≥0)．(2)设投资债券类产品x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元．y＝f(x)＋g(20－x)＝eq\f(x,8)＋eq\f(1,2)eq\r(20－x)(0≤x≤20)．令t＝eq\r(20－x)，则y＝eq\f(20－t2,8)＋eq\f(1,2)t＝－eq\f(1,8)(t2－4t－20)＝－eq\f(1,8)(t－2)2＋3.所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元．12．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？解借助计算器作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝1.002x的图象如图所示．观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在y＝5的上方，说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上递增，当x∈(20,1000]时，y＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，利用计算器作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图象(图略)，由图象可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1000]时，y＜0.25x.这说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1能符合公司的要求．13．(创新拓展)某国年至年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份x(年份－)0123生产总值y8.20678.94429.593310.2398(1)画出(x，y)的散点图，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式检验表中未用数据；(3)利用得出的关系式预测年的该国的国内生产总值．解(1)散点图略，从图象可以看出，四个点近似地落在一条直线上，设所求函数为y＝kx＋b.选择两点(0,8.2067)和(3,10.2398)代入，解方程组得k＝0.