层次分析法的计算

1、一、最大特征值和特征向量的近似计算（方根法）一、最大特征值和特征向量的近似计算（方根法）计算的主要步骤：计算的主要步骤：1、计算判断矩阵、计算判断矩阵A的每一行元素乘积的每一行元素乘积1,1,2, .niijjMa in2计算计算Mi的的n次方根次方根.niiWM3若若 iW标准化为标准化为1,iinjjWWW则则 iW为所求特征向量。为所求特征向量。4计算最大特征值计算最大特征值max1().niiiAWnW式中式中AWi表示向量表示向量AW的第的第i个分量。个分量。例如例如 1110.711/51/3535135 1 31531/3113113 每行之乘积0.4120.1052.4660.

2、637 ,10.258iM 球的三次方根标准化即权系数为即权系数为 (0.105,0.637,0.258)TW 0.10511/51/30.1050.3180.637 .5130.6371.9360.25831/310.2580.785WAW再求最大特征值的近似值再求最大特征值的近似值3max1()0.3181.9360.7853.0373 0.1053 0.6373 0.258iiiAWnW二、迭代法二、迭代法建立建立n阶方阵阶方阵 .()ijn nAa按下列方法求向量迭代序列：按下列方法求向量迭代序列：01.111nnenn ke为为 1kAe的的n个分量之和个分量之和 可以证明，迭代的维

3、列向量序列可以证明，迭代的维列向量序列 ke记其极限为记其极限为e，且记，且记收敛。收敛。121.nne则权系数可取则权系数可取,1,2,iiin在具体计算中，当在具体计算中，当ek与与ek-1接近到一定程度时，接近到一定程度时，我们就取我们就取e=ek例如例如 0111/51/3111/3 ,1/35311/3Ae101111/51/30.733111/31/30.778 ,0.7330.77834.5115311/33eAee1110.7330.16210.7780.1724.51130.665eee212111/50.1620.467111/30.1720.565 ,0.4670.565

4、 1.9913.0145310.6651.991eAee2220.4670.15510.5650.1843.0141.9910.661eee323111/50.1550.471111/30.1840.559 ,0.471 0.559 1.9883.0185310.6611.988eAee3330.4710.15610.5590.1853.0181.9880.659eee434111/50.1560.473111/30.1850.561 ,0.4730.561 1.9943.0285310.6591.994eAee4440.4730.15610.5610.1853.0281.9940.659ee

5、e由于由于e4=e3，迭代经过，迭代经过4次中止，权系数是次中止，权系数是 1230.156,0.185,0.659.相应的综合评价公式是相应的综合评价公式是1230.1560.1850.659yxxx三、和法三、和法1、计算判断矩阵、计算判断矩阵A的每一列归一化的每一列归一化 1/nijijijiaa2按行求和按行求和 1niijjw3归一化归一化 1/niiiiWww12(,)TnWw ww则则Wi为所求特征向量。为所求特征向量。4计算计算AW5、计算最大特征值得近似值、计算最大特征值得近似值max1().niiiAWnW式中式中(AW)i表示向量表示向量AW的第的第i个分量。个分量。 例

6、例 某厂准备购买一台计算机，希望功能强，某厂准备购买一台计算机，希望功能强，价格低，维护容易。现有价格低，维护容易。现有A、B、C三种机型可供三种机型可供选择。其中选择。其中A的性能较好，价格一般，维护一般的性能较好，价格一般，维护一般水平；水平；B的性能最好，价格较贵，维护也只需一的性能最好，价格较贵，维护也只需一般水平；般水平；C的性能差，但价格便宜，容易维护。的性能差，但价格便宜，容易维护。试用层次分析法进行决策分析。试用层次分析法进行决策分析。解：解：1、明确问题；、明确问题；2、建立层次结构；、建立层次结构；先构造层先构造层次结构，如下图所示。次结构，如下图所示。购买一台满意的计算机

7、购买一台满意的计算机G功能强功能强S1 价格低价格低S2C A B易维护易维护S3目标层目标层方案层方案层准则层准则层 对于三个准则（对于三个准则（S1，S2，S3）关于）关于目标目标G的优先顺序，根据讨论，该厂在计算的优先顺序，根据讨论，该厂在计算机应用上首先要求功能强，其次要求易维机应用上首先要求功能强，其次要求易维护，再次才是价格低。其判断矩阵如下表护，再次才是价格低。其判断矩阵如下表所示。所示。3、构造判断矩阵构造判断矩阵表一表一GS1S2S3S1S2S311/51/351331/31 4、层次单排序及其一致性检验（用方、层次单排序及其一致性检验（用方根法计算这三个准则关于目标的排序权

8、值）根法计算这三个准则关于目标的排序权值）12315,0.667,1MMM333123152.446,0.6670.405,11www标准化：标准化： 12.4462.4460.6372.4460.405 13.871W 310.258.2.4460.405 1W 20.4050.1052.4460.405 1W 则则 iW为所求特征向量。为所求特征向量。 计算最大特征值计算最大特征值max1().niiiAWnW式中式中 ()iAW表示向量表示向量AW的第的第i个分量。个分量。 一致检验结果为一致检验结果为0.6371530.6370.105 .1/511/30.1050.2581/3310

9、.258WAW1 0.637+5 0.105+3 0.2581.9361/5 0.637+1 0.105+1/3 0.2580.3181/3 0.637+3 0.105+1 0.2580.7853max1()1.9360.3180.7853 0.6373 0.1053 0.258iiiAWnW1.9360.3180.7853.03851.9110.3150.774判断矩阵的一致性指标判断矩阵的一致性指标CI为为max3.038530.0192,13 1nCIn判断矩阵的同阶平均随机一致性指标判断矩阵的同阶平均随机一致性指标RI为为 (3)0.58RI 判断矩阵的一致性指标判断矩阵的一致性指标C

10、I与判断矩与判断矩阵的同阶平均随机一致性指标阵的同阶平均随机一致性指标RI之比称之比称为随机一致性比率，记为为随机一致性比率，记为CR，当，当0.01920.03320.100.58CICRRI时，即认为判断矩阵具有满意的一致性，时，即认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使其具有满意否则就需要调整判断矩阵，使其具有满意的一致性。的一致性。5、层次总排序、层次总排序 这一过程是最高层次到最低层次逐层进这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的。若上一层次行的。若上一层次A包含包含m个元素个元素 12,mA AA其层次总排序权值分别为其层次总排序权值分别为 12,ma aa次次B包含

11、包含n个元素个元素 下一层下一层12,nB BB它们对于元素它们对于元素 jA的层次单排序权值分别为的层次单排序权值分别为 12,jjnjbbb（当（当 kB与与jA无关系时，无关系时， 0ijb ） 排序权值如表二给出。排序权值如表二给出。 。此时。此时B层次总层次总层次A1 A2 AmB层次总排序权重a1 a2 amB1B2Bnb11 b12 b1m w1b21 b22 b2m w2 bn1 bn2 bnm wn注：注： 1(1,2, )mijijjwa b in 同样，三个方案对于各个准则的判断矩阵同样，三个方案对于各个准则的判断矩阵以及运算所得的结果见三、四、五、六。以及运算所得的结果

12、见三、四、五、六。表三表三 1SA B CWABC1 1/4 24 1 81/2 1/8 10.18180.72720.09100.181811/420.18180.7272 .4180.72720.09101/21/810.0910WAW1 0.1818+0.7272 1/4+2 0.09100.54564 0.1818+0.7272 1+8 0.09102.18241/2 0.1818+0.7272 1/8+1 0.09100.27283max1()0.54562.18240.27283 0.18183 0.72723 0.091iiiAWnW0.54562.18240.27283.00.

13、54542.18160.273对准则对准则1S（功能强）来说：（功能强）来说：3.030.0,13 1nCInmax3.0max00.08CICRRI即认为判断矩阵具有满意的一致性。即认为判断矩阵具有满意的一致性。表四表四2SA B CWABC1 4 1/31/4 1 1/83 8 10.25590.07330.6708对准则对准则 2S（价格低）来说：（价格低）来说： 3.018,0.0091,0.01570.10.CICRmax即认为判断矩阵具有满意的一致性。即认为判断矩阵具有满意的一致性。表五表五3SA B CWABC1 1 1/31 1 1/53 5 10.18510.15620.6587对准则对准则 3S（价格低）来说：（价格低）来说： 3.029,0.0145,0.0250.10.CICRmax即认为判断矩阵具有满意的一致性。即认为判断矩阵具有满意的一致性。表六表六总排序权值总排序权值0.637 0.105 0.258ABC0.1818 0.2559 0.18510.7272 0.0733 0.1562 0.0910 0.6708 0.65870.18180.72720.09101S2S3SG0.1818 0.6370.2559 0.1050.1851 0.2580.18180.7272 0.6370.0733 0.1050.1562