信号与系统分析(第2版)第7章_1-3

1、信号与系统分析（第2版）电子教案1电子教案目录信号与系统分析（第2版）电子教案2电子教案目录信号与系统分析（第2版）电子教案3引 言第7章 z变换连续离散复频域：简化计算：时域微分方程 s 域代数方程 时域差分方程 z 域代数方程 时域卷积计算 s 域乘积计算时域卷积计算 z 域乘积计算系统函数：系统特性：时域特性、频率特性、稳定性时域特性、频率特性、稳定性？jsjerz sXsYsH zXzYzH?回答是肯定的！回答是肯定的！回答以上问题就是本章的内容。回答以上问题就是本章的内容。 信号与系统分析（第2版）电子教案4引 言第7章 z变换离散系统A/DD/A( )x t x n( )X z(

2、)y t y n( )Y z h n( )H z（4） IIR、FIR数字滤波器的设计 7.77.9（1）如何把 进行z变换，得到对应的 ？7.1、7.3 x n( )X z（2）如何把 进行z逆变换，得到对应的 ？7.2( )Y z y n（3）离散系统的z域表示系统函数 与 、时域的差分方程的关系是什么？系统函数、稳定性、频率响应的关系是什么？( )H z h n7.4、7.5、7.6信号与系统分析（第2版）电子教案57.1 z变换信号与系统分析（第2版）电子教案6 对连续信号 x(t) 进行均匀冲激抽样后可得到离散信号 xs(t)，设抽样间隔时间为 T，则有：( )( )()() ()s

3、nnx tx ttnTx nTtnT对上式取拉氏变换，由于L L (t nT)=enTs xs(t) 的双边拉氏变换nnTsssnTxtXsX)e()()(L 令z=esT，Xs(s)=X(z) 的拉氏变换式可变成为另一复变量 z 的变换式，即： nnnnznxznTxzX)()(1. 抽样信号的拉氏变换7.1 z变换信号与系统分析（第2版）电子教案7 若求和从n=0开始，则为单边 z 变换 nnznxzX)( 21221012zxzxxzxzx 0)(nnznxzX 21210zxzxx2. z变换的定义7.1 z变换jeeeerzTjTTjsT令 ，对任意离散序列 xn的双边 z 变换定义

4、为：（1）双边）双边 z 变换变换（2）单边）单边 z 变换变换对于因果序列，单边 z 变换与双边 z 变换相等。信号与系统分析（第2版）电子教案8ROC（Region of Convergence） nnnnznxznx使序列 xn 的 z 变换收敛的所有 z 的集合称为 z 变换 X(z) 的收敛域。 3. z变换的收敛域7.1 z变换（1）收敛条件）收敛条件（2）收敛域定义）收敛域定义Z变换存在的充分必要条件是 信号与系统分析（第2版）电子教案93. z变换的收敛域7.1 z变换（3）z变换收敛域与拉氏变换收敛域的关系变换收敛域与拉氏变换收敛域的关系 Re(z)jIm(z)r0j00s平

5、面z平面sTze这是一个s域到z域的变换关系式 ()sTjTTj Tjzeeeere00Trre它将s平面 0 的右半平面映射到z平面上半径为的圆外区域。 即即z平面上以原点为中心、平面上以原点为中心、00Tre（包括无穷大区域）为单边（包括无穷大区域）为单边z变换的收敛域。变换的收敛域。为半径的圆外区域为半径的圆外区域信号与系统分析（第2版）电子教案10例：例：求以下序列的 z 变换。（1）单位样值序列 ； （2）单位阶跃序列 ；（3）单边指数序列 。nnnan10Z0nnznn00nnnnzznnZ111Z1zzzn1zzn（3） 的 z 变换为nan010)(Znnnnnnazzana当

6、 ，也即 时，级数收敛，有11az|az azznanROC：|az ROC：1|1z1nROC：即0 |z|3. z变换的收敛域7.1 z变换n解：解：（1） 的 z 变换为n（2） 的 z 变换为1|1z1|z若 （或表示为 ），级数收敛，即信号与系统分析（第2版）电子教案11ROC：0 |z|(1)(2)(3)ROC：|az ROC：1|1z3. 单边 z变换的收敛域7.1 z变换Re(z)jIm(z)Re(z)jIm(z)1Re(z)jIm(z)a信号与系统分析（第2版）电子教案127.2 逆 z 变换l查表法（表中存在的序列）查表法（表中存在的序列）l对比法对比法l幂级数展开法（长除

7、法）幂级数展开法（长除法）l部分分式法部分分式法CnzzzXnxd)(j211 0nnznxzX信号与系统分析（第2版）电子教案13 0nnznxzX 直接写出 ，这时多项式 的各项系数就是 的对应项. zX nx nx134( )352X zzzz 例：例： ， 求 nx 解解： 315324x nnnn1. 对比法7.2 逆 z 变换当 z 变换以 z 的降幂多项式形式给出时，可以用 z 变换定义式：或 003052nx n信号与系统分析（第2版）电子教案142. 幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）NNMMzazaazbzbb)z(X110110式中： ， 为实系数，分子、分母的

8、多项式按 z 的降幂排列。当 X(z) 的分子的次数 M 小于等于分母的次数 N 时，用长除法将分子除以分母可得 z 的负幂级数，进而可求得xn。iaib序列的 z 变换 X(z) 通常可以表示为 z 的有理函数2. 幂级数展开法7.2 逆 z 变换信号与系统分析（第2版）电子教案152. 幂级数展开法7.2 逆 z 变换434323232232614618124124128 832764 zzzzzzzzzzzzzzzz 32764zzzzX解：解：) 1(238)(2zzzzzX例例7-7 ： 求 nx 4, 6, 7,nx1n信号与系统分析（第2版）电子教案16长除法的长除法的 MATL

9、AB 求解求解b=0,1,0.6;a=1,-1.3,0.4;xn,n=impz(b,a,50)stem(n,xn)例例M1：已知 ，求序列 的值，21214 . 03 . 116 . 0)(zzzzzX491N nx并绘制波形。 设样点计算到程序：xn = 0， 1，1.9， 2.07，1.931，1.6823，1.4146， 1.166， 0.95003，0.76861，0.61919的前10个值为 nx2. 幂级数展开法7.2 逆 z 变换0102030405000.511.522.5nxn信号与系统分析（第2版）电子教案173. 部分分式展开法部分分式展开法（利用拉氏反变换已有的方法）（

10、利用拉氏反变换已有的方法）（1）基本单元的拉氏变换与）基本单元的拉氏变换与 z 变换的比较变换的比较由此得到提示： assXtxat1e azzzXazzzXanxn1若 （单极点） NmmmpzrzzX0则 )(00nprnxpzzrzXnNmmmNmmm3. 部分分式展开法7.2 逆 z 变换信号与系统分析（第2版）电子教案18（2）部分分式展开法步骤）部分分式展开法步骤 每个部分分式乘以 z 写出各分式的 z 变换并求和 求 的部分分式 （方法与拉氏反变换的部分分式法相同） zzX3. 部分分式展开法7.2 逆 z 变换信号与系统分析（第2版）电子教案193 . 02 . 0) 3 .

11、0)(2 . 0(6 . 006. 05 . 06 . 0)(212zrzrzzzzzzzzX zzX解：解：对 进行部分分式展开2 . 1)3 . 0(6 . 0)()2 . 0(2 . 02 . 01zzzzzzXzr8 . 1)2 . 0(6 . 0)()3 . 0(3 . 03 . 02zzzzzzXzr其中：3 . 08 . 12 . 02 . 1)(zzzzzX所以单单极极点点3. 部分分式展开法7.2 逆 z 变换例例7-8：已知象函数 其收敛域分别为：(1) ; (2) ; (3) , 分别求其原序列xn。06. 05 . 06 . 0)(22zzzzX3 . 0z2 . 0z

12、3 . 02 . 0 z信号与系统分析（第2版）电子教案20单单极极点点3. 部分分式展开法7.2 逆 z 变换例例7-8：已知象函数 其收敛域分别为：(1) ; (2) ; (3) , 分别求其原序列xn。06. 05 . 06 . 0)(22zzzzX3 . 0z2 . 0z3 . 02 . 0 z解：解： (1) 收敛域 ，故xn为右边序列，得 xn=1.2(0.2)n+1.8(0.3)nn (2) 收敛域 ，故xn为左边序列，得 xn=1.2(0.2)n 1.8(0.3)nn1 (3) 收敛域 ，X(z) 第一项为右边序列( )，第二项为左边序列( )，故 xn= 1.2(0.2)n

13、n 1.8(0.3)nn13 . 0z2 . 0z3 . 02 . 0 z2 . 0z3 . 0z信号与系统分析（第2版）电子教案21各系数为1) 1(2)2() 1(1)(2212zBzBzAzzzzX1) 1(122zzA12111zzB121dd12zzzB则1) 1(2)(2zzzzzzzX) 12(nnnxn解解 ： X(z) 在 z=1处有重极点， 可展开为 zzX重重极极点点3. 部分分式展开法7.2 逆 z 变换例例7-9：求 的逆变换, )2() 1()(2zzzzX2z由于收敛域 ，则xn为右边序列，为2z信号与系统分析（第2版）电子教案22)4sin()4cos()2(2

14、)2(2)e2)(1(Re2)2(24/jnnnnnjnnxnnnn则j1j)1(j1j)1(22)(zzzzzzzX 解解：j1j12)22)(2(4)(*2212zrzrzrzzzzzX计算r1和r2，有：2224221zzzr4/3 jj12e2j1j)1)(2(4zzzr复数极点 ，取X(z)的逆变换，得4j2e2j1/p共共轭轭极极点点3. 部分分式展开法7.2 逆 z 变换例例7-10：求 的逆变换，)22)(2(4)(2zzzzzX2z信号与系统分析（第2版）电子教案23部分分式法的部分分式法的 MATLAB 计算计算程序：b=80 -53 15 -2;a=10 -7 1;r,p

15、,k=residuez(b,a)执行程序的结果为：r = p = k =1 -2 3 0.5 4 0.2根据计算结果得111212 . 0145 . 013)(zzzzX 12)2 . 0(4)5 . 0( 3nnnxnn则逆变换 例例M2：求 的逆变换213217102155380)(zzzzzzX3. 部分分式展开法7.2 逆 z 变换信号与系统分析（第2版）电子教案247.3 z变换的性质l1. 时域移位时域移位l2. 时域翻转时域翻转l3. z 域缩展域缩展l4. z 域微分域微分l5. 初值定理与终值定理初值定理与终值定理l6. 时域卷积定理时域卷积定理信号与系统分析（第2版）电子教

16、案251. 时域移位7.3 z变换的性质双边双边z变换变换)()(00zzXznnxn)()(zzXnx解：解： 1nnn)1 (11nzZ1111zzznZ11 11znznZZ信号与系统分析（第2版）电子教案26对因果序列对因果序列，n0时序列的值为零，因此有时序列的值为零，因此有2 1)(2,1)( 1121xzxzXznxxzXznx2 1)()2() 1(NxzxzxzXzNnxNNN右移右移)(zXzNnxN1. 时域移位7.3 z变换的性质nnnxnxn- -1xn- -2000111222343- -1- -1- -1- -2- -2x1x2x0 x- -1x- -2x0 x0

17、 x1x1x2x2x- -1x- -1x- -2x- -2X(z)z- -1 1X(z)z- -2 2X(z)左移左移,0)( 1zxzzXnxzxzxzXznx 1 0)(222zNxzxzxzXzNnxNNN 1 1 0)() 1(nnnxnxn+ +1xn+ +201122x1x2x0 x0 x0 x1x1x2x2x3x3x3010- -1- -1- -2单边单边z变换变换信号与系统分析（第2版）电子教案272. 时域翻转7.3 z变换的性质)11()(1zzXnx)()(zzXnxazznazXn)(Z 1nan)1(1111azazazznanZ解：解： azznan1 11)1(1

18、 1azazaznan信号与系统分析（第2版）电子教案283. Z域缩展7.3 z变换的性质azXnxan)(azXnxan)() 1(zXnxn)()(zzXnx)sin(0nnan解：解：由于 ) 1(1)cos(2)sin()sin(0200zzzznn)()cos(2)sin(1)cos(2)sin()sin(20200200azazazzaazazaznnanZ信号与系统分析（第2版）电子教案294. Z域微分7.3 z变换的性质)()(ddzzXzznnx22dZ ( )d()()naaznanzX zzzzaza 解：解：例例7-14： 已知 ，求序列 的z变换.azznazXn

19、)(Znnan当a=1时，2Z (1)znnz)()(zzXnx信号与系统分析（第2版）电子教案305. 初值定理与终值定理7.3 z变换的性质例例7-157-15：已知 ，求32) 12()(232zzzzzzzX0 x解：解：232)12(lim)(lim0232zzzzzzzXxzz)(lim0zXxz 为因果序列 nx初值定理：初值定理：例例7-167-16：已知 ，求) 1)(5 . 0()(2zzzzXx解：解： (1z1)X(z)的极点都在单位圆内2)1)(5.0()1(lim)()1(lim211zzzzzXzxzz终值定理：终值定理：xn为右边序列，且(1z1)X(z)的所有

20、极点都在单位圆内则 或 )()1 (lim11zXzxz)() 1(lim1zXzxz信号与系统分析（第2版）电子教案316. 时域卷积定理7.3 z变换的性质),min(),max()()(*2121zzXzHnxnh例例7-177-17：求下列两个因果指数序列的卷积32nnhnnxnn解解: : 2)(zzzX3)(zzzH3322) 3)(2()()()(2zzzzzzzzHzXzY)32(11nnynn)()(11zzXnx)()(22zzHnh信号与系统分析（第2版）电子教案32例：例：求序列的单边Z 变换，并表明收敛域解：解：( (a)a)004004 (4)(4)( )3 02

21、| 0nnnnnZ x nx n znnnnzzzzzz(b)（1）利用线性性质 , 11zZnzz22243 3 1(1)1(1)zzzzX zzzzz2 , 1(1)zZ nnzz（2）利用时移（位移）性质 ( )mx nmnmzX z(3) (3) 33 2 12nnnnnnn2243, 1(1)zzzz3122 ( )32(1)zX zzzzz ( ) 44 3nax nnnnn( ) (3) bx nnn7.3 z变换的性质信号与系统分析（第2版）电子教案33用用MATLABMATLAB计算序列计算序列 z z 变换变换例例M1： 求 和 的 z 变换 n)cos(02nxnnanx1程序： syms n z a W