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文档简介
【创新设计】-版高中数学1.2.4.2两平面垂直的判定同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1.下列说法中,正确的是________.①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.解析本题主要考查二面角的有关知识,关键是熟练把握二面角及其平面角的有关知识,由二面角定义可知,①不正确,实质上它共有4个二面角;由a、b均垂直于两个面,则a、b都垂直于二面角的棱,故②正确;③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱;故③不正确;由定义知④正确.故正确的为②④.答案②④2.给出下列四个命题:①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平行;③过平面外的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;④如果平面α与平面β不垂直,则α内一定不存在垂直于平面β的直线.其中正确的是________.解析过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,①不对;若α⊥β,a⊥α,则a⊂β或a∥β,②不对;③当平面外的直线是平面的垂线时,可以作无数个,否则只能作一个,③不对;若存在一条,则α⊥β,与已知矛盾,④对.答案④3.如图所示,已知PA垂直于圆O所在平面.AB是圆O的直径,C是圆周上一点.则图中面面垂直的共有________对.解析∵PA⊥面ABC,PA⊂面PAC,PA⊂平面PAB,∴面PAC⊥面ABC,面PAB⊥面ABC.又BC⊥AC,PA⊥BC,∴BC⊥面PAC.又BC⊂面PCB,∴面PCB⊥面PAC.∴共3对.答案34.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若m⊥n,m⊥α,n⊄α,则n∥α;②若m∥α,α⊥β,则m⊥β;③若m⊥β,α⊥β,则m∥α或m⊂α;④若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β.则其中正确命题的序号为________.解析②中可能有m∥β,故②不正确.答案①③④5.一个平面与正方体的6个面所成的二面角都相等,则这个二面角的余弦值为________.解析如图,平面A1BD与正方体各面所成的二面角都相等,设为α,取BD中点O,连接A1O,易证∠A1OA为所求,∴cosα=eq\f(AO,A1O)=eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),2)a)=eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)6.如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA.证明(1)如图所示,取BC的中点F,连接DF.∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BC,又由已知易得DF∥BC,∴DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中,∵EF=eq\f(1,2)EC=BD.且由已知易得FD=BC=AB.∴Rt△DFE≌Rt△ABD,故ED=DA.(2)取CA的中点N,连接MN,BN,则MN綉eq\f(1,2)CE.又BD綉eq\f(1,2)CE∴MN∥BD,∴N点在平面BDM内.∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN.又CA⊥BN,CA∩EC=C,∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MBD内,∴平面BDM⊥平面ECA.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则下列说法:①β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直;②β内不一定存在直线与m平行,也不一定存在直线与m垂直;③β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直;④β内必存在直线与m平行,但不一定存在直线与m垂直其中正确的是________.解析若β内存在直线n与m平行,由m⊥α知n⊥α.从而α⊥β,但α与β相交却不一定垂直,又设α∩β=a,由m⊥α知m⊥a,从而β内必有直线与m垂直.答案③8.已知a、b是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:①若a⊥α,a⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;④若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b.其中正确命题的序号是________.解析垂直于同一直线的两平面平行,①正确;α⊥β也成立,故②不正确;a、b也可异面,故③不正确;由面面平行性质知,a∥b,故④正确.答案①④9.已知α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β之外的两条不同直线,给出下列四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题________.解析eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,n⊥β))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥n,m⊥α))⇒m⊥n.同理,①③④⇒②.答案②③④⇒①(或①③④⇒②)10.如图,已知点O在二面角αABβ的棱上,点P在α内,且∠POB=45°,若对于β内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角αABβ的大小是________.解析由∠POB=45°,∠POQ≥45°知PO与平面β成45°角.若作PQ⊥β于Q点,则∠POQ=45°,∴Q∈AB.又PQ⊂α,∴α⊥β.答案90°11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC.过BD作与PA平行的平面,交侧棱PC于点E,作DF⊥PB,交PB于点F.(1)证明:点E是PC的中点;(2)证明:PB⊥平面EFD;(3)求二面角CPBD的大小.(1)证明连接AC,交BD于点O,则O为AC的中点,连接EO.∵PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=OE,∴PA∥OE.∴点E是PC的中点.(2)证明∵PD⊥底面ABCD,且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC,∵PD=DC,∴△PDC是等腰直角三角形.而DE是斜边PC的中线,∴DE⊥PC.∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形,CD⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.∴DE⊥平面PBC.∵PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB,又DF⊥PB且DE∩DF=D,∴PB⊥平面EFD.(3)解由(2)知,PB⊥EF,已知PB⊥DF.故∠EFD是二面角CPBD的平面角,由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB.设正方形ABCD的边长为a,∴PD=DC=a,BD=eq\r(2)a,PC=eq\r(2)a,DE=eq\f(\r(2),2)a.在Rt△PDB中,DF=eq\f(PD·BD,PB)=eq\f(a·\r(2)a,\r(3)a)=eq\f(\r(6),3)a.在Rt△EFD中,sin∠EFD=eq\f(DE,DF)=eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),3)a)=eq\f(\r(3),2),∴∠EFD=60°,∴二面角CPBD的大小为60°.12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1和B1C(1)求证:平面MNF⊥平面ENF;(2)求MF与平面ENF所成角的余弦值;(3)求二面角MEFN的平面角的正切值.(1)证明连接MN,∵N,F均为所在棱的中点,∴NF⊥平面A1B1C1D1而MN⊂平面A1B1C1D1,∴NF⊥MN∵M,E均为所在棱的中点,∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形.故∠MNC1=∠B1NE=45°,∴∠MNE=90°,∴MN⊥NE,∴MN⊥平面NEF,而MN⊂平面MNF,∴平面MNF⊥平面NEF.(2)解由(1)知,点M在平面EFN上的射影为点N,∴直线MF与平面NEF所成的角为∠MFN.设正方体的棱长为2,在Rt△MNF中,MN=eq\r(2),NF=2,∴MF=eq\r(6),∴cos∠MFN=eq\f(FN,MF)=eq\f(2,\r(6))=eq\f(\r(6),3),∴MF与平面ENF所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3).(3)解过点N在平面NEF中,作NG⊥EF于点G,连接MG,易证MG⊥EF,∴∠MGN为二面角MEFN的平面角.在Rt△NEF中,NG=eq\f(NE·NF,EF)=eq\f(2\r(3),3),∴在Rt△MNG中,tan∠MGN=eq\f(MN,NG)=eq\f(\r(2),\f(2\r(3),2))=eq\f(\r(6),2).∴二面角MEFN的平面角的正切值为eq\f(\r(6),2).13.(创新拓展)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°.点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角?并说明理由.(1)证明∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.又PA∩AC=A,∴
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