高中数 1.2.4.2两平面垂直的判定同步训练 苏教版必修2

【创新设计】-版高中数学1.2.4.2两平面垂直的判定同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．下列说法中，正确的是________．①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．解析本题主要考查二面角的有关知识，关键是熟练把握二面角及其平面角的有关知识，由二面角定义可知，①不正确，实质上它共有4个二面角；由a、b均垂直于两个面，则a、b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱；故③不正确；由定义知④正确．故正确的为②④.答案②④2．给出下列四个命题：①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过平面外的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果平面α与平面β不垂直，则α内一定不存在垂直于平面β的直线．其中正确的是________．解析过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若α⊥β，a⊥α，则a⊂β或a∥β，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时，可以作无数个，否则只能作一个，③不对；若存在一条，则α⊥β，与已知矛盾，④对．答案④3．如图所示，已知PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中面面垂直的共有________对．解析∵PA⊥面ABC，PA⊂面PAC，PA⊂平面PAB，∴面PAC⊥面ABC，面PAB⊥面ABC.又BC⊥AC，PA⊥BC，∴BC⊥面PAC.又BC⊂面PCB，∴面PCB⊥面PAC.∴共3对．答案34．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．解析②中可能有m∥β，故②不正确．答案①③④5．一个平面与正方体的6个面所成的二面角都相等，则这个二面角的余弦值为________．解析如图，平面A1BD与正方体各面所成的二面角都相等，设为α，取BD中点O，连接A1O，易证∠A1OA为所求，∴cosα＝eq\f(AO,A1O)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),2)a)＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)6．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.证明(1)如图所示，取BC的中点F，连接DF.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BC，又由已知易得DF∥BC，∴DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝eq\f(1,2)EC＝BD.且由已知易得FD＝BC＝AB.∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故ED＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綉eq\f(1,2)CE.又BD綉eq\f(1,2)CE∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，CA∩EC＝C，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MBD内，∴平面BDM⊥平面ECA.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则下列说法：①β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直；②β内不一定存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直；③β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直；④β内必存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直其中正确的是________．解析若β内存在直线n与m平行，由m⊥α知n⊥α.从而α⊥β，但α与β相交却不一定垂直，又设α∩β＝a，由m⊥α知m⊥a，从而β内必有直线与m垂直．答案③8．已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.其中正确命题的序号是________．解析垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也成立，故②不正确；a、b也可异面，故③不正确；由面面平行性质知，a∥b，故④正确．答案①④9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下列四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．解析eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,n⊥β))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥n,m⊥α))⇒m⊥n.同理，①③④⇒②.答案②③④⇒①(或①③④⇒②)10．如图，已知点O在二面角α­AB­β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°，若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α­AB­β的大小是________．解析由∠POB＝45°，∠POQ≥45°知PO与平面β成45°角．若作PQ⊥β于Q点，则∠POQ＝45°，∴Q∈AB.又PQ⊂α，∴α⊥β.答案90°11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.过BD作与PA平行的平面，交侧棱PC于点E，作DF⊥PB，交PB于点F.(1)证明：点E是PC的中点；(2)证明：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C­PB­D的大小．(1)证明连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点，连接EO.∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，∴PA∥OE.∴点E是PC的中点．(2)证明∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，CD⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.∴DE⊥平面PBC.∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB，又DF⊥PB且DE∩DF＝D，∴PB⊥平面EFD.(3)解由(2)知，PB⊥EF，已知PB⊥DF.故∠EFD是二面角C­PB­D的平面角，由(2)知，DE⊥EF，PD⊥DB.设正方形ABCD的边长为a，∴PD＝DC＝a，BD＝eq\r(2)a，PC＝eq\r(2)a，DE＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△PDB中，DF＝eq\f(PD·BD,PB)＝eq\f(a·\r(2)a,\r(3)a)＝eq\f(\r(6),3)a.在Rt△EFD中，sin∠EFD＝eq\f(DE,DF)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),3)a)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠EFD＝60°，∴二面角C­PB­D的大小为60°.12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；(2)求MF与平面ENF所成角的余弦值；(3)求二面角M­EF­N的平面角的正切值．(1)证明连接MN，∵N，F均为所在棱的中点，∴NF⊥平面A1B1C1D1而MN⊂平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN∵M，E均为所在棱的中点，∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形．故∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE，∴MN⊥平面NEF，而MN⊂平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.(2)解由(1)知，点M在平面EFN上的射影为点N，∴直线MF与平面NEF所成的角为∠MFN.设正方体的棱长为2，在Rt△MNF中，MN＝eq\r(2)，NF＝2，∴MF＝eq\r(6)，∴cos∠MFN＝eq\f(FN,MF)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，∴MF与平面ENF所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3).(3)解过点N在平面NEF中，作NG⊥EF于点G，连接MG，易证MG⊥EF，∴∠MGN为二面角M­EF­N的平面角．在Rt△NEF中，NG＝eq\f(NE·NF,EF)＝eq\f(2\r(3),3)，∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝eq\f(MN,NG)＝eq\f(\r(2),\f(2\r(3),2))＝eq\f(\r(6),2).∴二面角M­EF­N的平面角的正切值为eq\f(\r(6),2).13．(创新拓展)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又PA∩AC＝A，∴