人教版九年级数学下册《锐角三角函数（第4课时）》示范教学设计

锐角三角函数（第4课时）教学目标1．能利用直角三角形求某些非特殊角的三角函数值，会在网格中求锐角三角函数值，能综合应用锐角三角函数解决与圆、直角坐标系有关的问题．2．经历综合应用锐角三角函数解决问题的过程，发展分析问题、解决问题的能力．教学重点复习锐角三角函数，并能熟练地运用它们进行计算和证明．教学难点综合应用锐角三角函数解决问题．教学过程知识回顾请将30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：锐角A锐角三角函数30°45°60°sinAcosAtanA1【设计意图】回顾上节课学习的“特殊角的三角函数值”，为本节课的学习作铺垫．新知探究类型一、利用直角三角形求某些非特殊角的三角函数值【问题】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．（1）求∠D的度数；（2）求tan15°的值．【师生活动】学生独立完成，一名学生板演，教师讲评．【答案】解：（1）∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD．∵∠BAC＝∠D＋∠ABD＝30°，∴∠D＝15°．（2）设BC＝x，在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，∴AB＝＝2x．∴AC＝＝x．∴CD＝AD＋AC＝2x＋x＝(2＋)x．在Rt△DBC中，tan15°＝tanD＝＝＝2－．【归纳】在求15°，75°，22.5°，67.5°等非特殊角的三角函数值时，可以利用相应的30°，45°，60°角的三角函数值表示出这些非特殊角所在直角三角形的三边的长，从而求出结果．【设计意图】通过解答问题1，让学生学会利用直角三角形求某些非特殊角的三角函数值．类型二、在网格中求锐角三角函数值【问题】2．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，求sin∠AOB的值．【师生活动】学生独立思考作答，教师讲评总结．【答案】解：如图，过点A作AC⊥OB，交OB的延长线于点C，点C在格点处．则AC＝，AO＝＝2，∴sin∠AOB＝＝＝．【归纳】抓特征找方法，轻轻松松解决网格类问题．网格类问题主要具备两个特征：（1）任何格点之间的线段都是某个正方形或长方形的边或对角线，所以任何格点间的线段的长度都能求出；（2）利用正方形的性质，容易得到一些特殊的角，如45°，90°角等．解决此类问题的方法是先结合网格特点构造所求角所在的直角三角形，再利用勾股定理求出三角形的边长，进而解决问题．【设计意图】通过解答问题2，让学生学会在网格中求锐角三角函数值．类型三、锐角三角函数与圆的综合应用【问题】3．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于点A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F，E，且＝．（1）求证△ADC∽△EBA；（2）如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．【师生活动】学生小组讨论，完成解答，教师讲评总结．【答案】（1）证明：∵＝，∴∠BAE＝∠DCA．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＋∠ABC＝180°．又∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠CDA＝∠ABE．∴△ADC∽△EBA．（2）解：∵△ADC∽△EBA，∴＝，∠CAD＝∠AEB．∵A是的中点，∴AB＝AC＝8．∵CD＝5，∴＝，即AE＝．又AE⊥AC，∴∠EAC＝90°．∴tan∠CAD＝tan∠AEB＝＝＝．【归纳】在圆中求锐角三角函数值的方法：在圆中求锐角三角函数值时，常通过直径或切线构造直角三角形，并利用同弧或等弧所对的圆周角相等或切线性质等，将所求角转化到直角三角形中，进而求出三角函数值．【设计意图】通过解答问题3，让学生掌握在圆中求锐角三角函数值的方法．类型四、锐角三角函数与平面直角坐标系的综合应用【问题】4．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB＝，tan∠BOC＝，求点A′的坐标．【师生活动】学生小组讨论，尝试解答，教师给予帮助．【答案】解：如图，过点A′作A′E⊥OC于点E，设OC与A′B交于点F．∵OB＝，tan∠BOC＝＝，∴BC＝1，OC＝2．∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°，AB∥OC，OA＝BC＝1．∴∠OBA＝∠FOB．由折叠，知∠OBA＝∠FBO，∴∠FOB＝∠FBO．∴FO＝FB．设OF＝x，则FB＝x，CF＝OC－OF＝2－x．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC2＋CF2＝FB2．∴12＋(2－x)2＝x2，解得x＝．∴OF＝．由折叠，知OA′＝OA＝1，∠OA′F＝∠OAB＝90°，∴A′F＝＝＝．∴S△OA′F＝OA′·A′F＝OF·A′E．∴OA′·A′F＝OF·A′E，即1×＝·A′E．解得A′E＝．在Rt△OA′E中，OE＝＝＝．∴点A′的坐标是．【设计意图】通过解答问题4，让学生能综合应用锐角三角函数解决与直角坐标系有关的问题