湘教版高中数学选择性必修第一册第4章计数原理４-１两个计数原理练习含答案

第4章计数原理4.1两个计数原理4.1.1分类加法计数原理4.1.2分步乘法计数原理基础过关练题组一分类加法计数原理1.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有()A.4种B.5种C.6种D.7种2.(2021天津宝坻期中)用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中的任意一个数作分母,可构成真分数的个数为()A.8B.9C.10D.113.如图,一只蚂蚁从正四面体ABCD的顶点A出发,沿着正四面体ABCD的棱爬行,每秒爬一条棱,每次爬行的方向是随机的,则蚂蚁第1秒后到点B,第4秒后又回到点A的不同爬行路线有()A.6条B.7条C.8条D.9条4.(2022上海虹口期末)一个三位数,个位、十位、百位上的数字依次为x,y,z,当y>x且y>z时,称这样的数为“凸数”(如341),则从集合{1,2,3,4,5}中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为.

题组二分步乘法计数原理5.(2022湖南长沙九中期末)从集合{0,1,2,3,4}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有()A.10个B.12个C.16个D.20个6.为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有()A.48种B.36种C.24种D.12种7.(2021广东揭阳教学质量测试)某学校有东、南、西、北四个校门,受新冠肺炎疫情的影响,学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序),则他们进入校园的方式共有()A.6种B.12种C.24种D.32种8.(2022广东德胜中学期中)给图中的A,B,C,D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,若有5种不同的颜色可选,则不同的涂色方案的种数为()A.180B.360C.64D.259.(2022辽宁丹东期末)汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后,需要紧固轮胎的五个螺栓,记为A,B,C,D,E(在正五边形的顶点上),紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓,但不能连续固定相邻的两个,则不同的固定螺栓顺序的种数为()A.20B.15C.10D.5题组三两个计数原理的综合应用10.(2022湖南张家界月考)有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有()A.21种B.315种C.153种D.143种11.(2021河南信阳模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种生肖(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学每个吉祥物都喜欢,若三位同学对选取的礼物都满意,则不同的选法有()A.30种B.50种C.60种D.90种12.(2022湖南常德月考)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,顾客丁用哪种结账方式都可以.若甲、乙、丙、丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数为()A.36B.30C.24D.2013.(2022湖南益阳月考)学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧,每天一部.受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一、周四上演,《茶馆》不能在周一、周三上演,《天籁》不能在周三、周四上演,《马蹄声碎》不能在周一、周四上演,则不同的展演情况有()A.0种B.1种C.2种D.3种14.(2022湖南师大附中期末)某单位有4位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,1,2,5,为遵守所在城市某月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),四人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天,则不同的用车方案种数是()A.4B.12C.16D.2415.(多选)(2020北京第六十六中学期中)某校实行选科走班制度,张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在B层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列说法正确的是()第一节第二节第三节第四节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A.此人有4种不同的选课方式B.此人有5种不同的选课方式C.自习课不可能安排在第2节D.自习课可安排在4节课中的任一节能力提升练题组两个计数原理的综合应用1.(2022北京五十五中期中)中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9个数字表示两位数的个数为()A.13B.14C.15D.162.(2022山西运城期末)如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”.现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案共有()A.48种B.72种C.96种D.144种3.(2022湖南临澧一中月考)埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜,它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857,因为142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,……,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现:142+857=999,285+714=999,428+571=999,……,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为()A.48B.60C.96D.1204.(2020重庆高考模拟)有4个不同的奇数,5个不同的偶数,现从中任取3个数,分别记为a,b,c,则使ab+c为奇数的不同取法共有种.

5.(2020山东青岛二中期末)如图,在由开关组A与B组成的电路中,闭合开关使灯发光的方法有种.

6.(2020广东深圳一模)若O是正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,Q={OAi|i=1,2,3,4,5,6},a,b,c∈Q,且a,b,c互不相同,要使得(a+b)·c=0,则有序向量组(a,b,c)的个数为7.(2022重庆八中月考)某人设计了一项单人游戏,规则如下:先将一枚棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.某人掷三次骰子后,棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有种.

答案与分层梯度式解析基础过关练1.A当三堆中最多的一堆为5个时,其他两堆总和为5,有2种分法,即1和4,2和3;当三堆中最多的一堆为4个时,其他两堆总和为6,有2种分法,即2和4,3和3.所以不同的分法共有2+2=4(种).故选A.2.D分四类:①当分子为1时,有12,14,18,19,共4个真分数;②当分子为3时,有34,38,39=13,共3个真分数;③当分子为5时,有58,59,共2个真分数;④当分子为7时,有78,79,3.B由题意可画图如下,则不同的爬行路线有7条.故选B.4.答案20解析由题意可得y只能取3,4,5.当y=3时,凸数有132,231,共2个;当y=4时,凸数有142,241,143,341,243,342,共6个;当y=5时,凸数有152,251,153,351,154,451,253,352,254,452,354,453,共12个.故共有2+6+12=20(个).5.C由题意得b只能从1,2,3,4中选一个,有4种,a从剩余的4个中选一个,有4种,根据分步乘法计数原理知虚数有4×4=16(个).故选C.6.B由题意可知,分三步完成:第一步,从2种主食中任选一种,有2种选法;第二步,从3种素菜中任选一种,有3种选法;第三步,从6种荤菜中任选一种,有6种选法.根据分步乘法计数原理,得不同的选取方法的种数为2×3×6=36,故选B.7.D由题意得3名学生进入校园的方式有23=8(种),2名教师进入校园的方式有22=4(种),所以共有8×4=32(种).故选D.8.A第一步涂A,有5种涂法;第二步涂B,和A不同色,有4种涂法;第三步涂C,和A,B不同色,有3种涂法;第四步涂D,和B,C不同色,有3种涂法.由分步乘法计数原理可知共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案,故选A.9.C如图,先在A,B,C,D,E五个螺栓中任选1个,有5种选法;假设选中A,则再在C,D中选1个,有2种选法;剩下的3个螺栓只有一种固定顺序.故共有5×2=10种不同的固定顺序.故选C.10.D由题意,选一本语文书和一本数学书有9×7=63种选法,选一本数学书和一本英语书有7×5=35种选法,选一本语文书和一本英语书有9×5=45种选法,∴共有63+35+45=143种不同的选法.故选D.11.B①若甲同学选择牛,则乙同学有2种选择,丙同学有10种选择,不同的选法种数为2×10=20;②若甲同学选择马,则乙同学有3种选择,丙同学有10种选择,不同的选法种数为3×10=30.综上,总共有20+30=50种不同的选法.故选B.12.D当甲和乙都用现金结账时,丙有3种方法,丁有4种方法,共有3×4=12种方法;当甲用现金结账,乙用银联卡结账时,丙有2种方法,丁有4种方法,共有2×4=8种方法.综上,共有12+8=20种结账方式.故选D.13.C周一周二周三周四《雷雨》××《茶馆》××《天籁》××《马蹄声碎》××根据上表,分步确定,可知周四只能上演《茶馆》,有1种情况,周一只能上演《天籁》,有1种情况,周二可以安排《雷雨》或《马蹄声碎》,有2种情况,最后一部话剧安排在周三,有1种情况.所以有1×1×2×1=2种不同的展演情况.故选C.14.B第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有22=4(种).第二步安排偶数日出行,分两类:第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种;第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共有1+2=3(种).根据分步乘法计数原理知不同的用车方案共有4×3=12(种),故选B.15.BD由于生物在B层班级,所以只能选第2或第3节,故分两类:若生物选第2节,则地理可安排在第1、3节,有2种选法,政治从剩余的两节课中任选,有2种选法,故有2×2=4(种)(此种情况自习课可出现在第1、3、4节中的某节);若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习只能选在第2节,故有1种.根据分类加法计数原理可得,共有4+1=5种不同的选课方式.由以上分析可知,自习课可安排在4节课中的任一节.能力提升练1.D6根算筹可以表示的数字组合为(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,3),(3,7),(7,7),数字组合(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,7)中,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×7=14个两位数;数字组合(3,3),(7,7),每组可以表示1个两位数,则可以表示2×1=2个两位数.故一共可以表示14+2=16个两位数,故选D.2.B如图,设5个区域依次为A,B,C,D,E,对于A,有4种涂法;对于B,与A相邻,有3种涂法;对于C,与A,B相邻,有2种涂法;对于D,若其与B同色,则E有2种涂法,若其与B不同色,则E有1种涂法.故不同的涂色方案共有4×3×2×(2+1)=72(种),故选B.3.A数字142857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,4+5=9,2+7=9,共3组.若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中的任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,因此x、y的百位数字有6种选法;x的十位数字可以为剩下4个数字中的任意1个,假设为4,则y的十位数字必须为5,因此x、y的十位数字有4种选法;x的个位数字可以为剩下2个数字中的任意1个,y的个位数字为最后1个,因此x、y的个位数字有2种选法.所以所有可能的有序实数组(x,y)的个数为6×4×2=48,故选A.4.答案260解析要使ab+c为奇数,数组(a,b,c)的奇偶性可为(偶,偶,奇)、(奇,偶,奇)、(偶,奇,奇)、(奇,奇,偶).若为(偶,偶,奇),即a为偶数,b为偶数,c为奇数,则有5×4×4=80(种);同理,若为(奇,偶,奇),则有4×5×3=