材料力学 第2章轴向拉伸与压缩

1材料力学第2章拉伸、压缩与剪切2§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例〔理解〕§2.2轴向拉伸与压缩时横截面上的内力和应力〔掌握〕§2.3轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力〔掌握〕§2.4材料在拉伸时的力学性能〔掌握〕§2.5材料在压缩时的力学性能〔掌握〕§2.6温度和时间对材料力学性能的影响〔了解〕§2.7失效、平安因素和强度计算〔重点掌握〕§2.8轴向拉伸与压缩时的变形〔重点掌握〕第2章轴向拉伸与压缩3本章重点〔1〕拉压杆的轴力和轴力图〔2〕拉压杆件横截面上正应力和强度条件〔3〕拉压杆的轴向变形计算与虎克定律〔4〕脆性材料与塑性材料的抗拉压力学性能重要概念轴力，极限应力，许用应力，抗拉〔压〕刚度EA，轴向变形，虎克定律，脆性材料与塑性材料，比例极限σp；弹性极限σe，屈服极限σs；强度极限σb，名义屈服极限σ0.2；伸长率与断面收缩率，抗拉强度、抗压强度4一、轴向拉伸与压缩的特点1、轴向拉压的受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合〔即称轴向力〕。2、轴向拉压的变形特点：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例FFFF5二、

轴向拉伸与压缩的工程实例

活塞杆6屋架结构中的拉压杆7塔式结构中的拉压杆8桥梁结构中的拉杆9FN为拉力,那么为“+〞，FN>0FN>0FNFNFN<0FNFN4轴力单位:N，kN3、轴力FN的正负规定FxFFFmmFxFFN为压力，符号为“－〞,FN<010

轴力沿轴线方向变化的图形称为轴力图。

横坐标轴x:

平行于杆件轴线，表示横截面位置；

纵坐标轴FN:表示相应横截面的轴力值。FN2P3P5PP++–5、轴力图

轴力图的意义：确定危险截面位置,为强度计算提供依据.11√×××

图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、P

的轴向力，试画出杆的轴力图。解：〔1〕用截面法分段求轴力CD段：用截面1假想截开ABCD5P8P4PPOFN1DPCB段：用截面2假想截开CD4PPFN2例2.1BCD8P4PPFN3ABCD5P8P4PPOFN4ABCD5P8P4PPAB段：用截面3假想截开OA段：用截面4假想截开14〔2〕画轴力图，如下图ABCD5P8P4PPOFNx2P3P5PP++–轴力图的特点：〔1〕集中力作用处轴力突变〔2〕突变值=集中力15计算轴力规那么载荷代数值的符号：载荷方向离开该截面为正，指向该截面为负〔拉为正，压为负〕根据平衡方程可以总结出计算任一横截面上轴力FN的规那么。或：任一横截面上的轴力FN，等于该截面左侧〔或右侧〕杆上所有的轴向载荷的代数和。16例:求截面2的轴力。ABCD5P6P3P2PO4P或：解：17遇到向左的F〔拉力〕，轴力FN增量为正，遇到向右的F〔压力〕，轴力FN增量为负，5kN8kN3kN3kN5kN(+)(-)力——方向相同，线段——走向一致

轴力图的快捷画法从左到右例：18问题提出：材料相同，横截面积不同的两根杆，哪根容易被拉断？PPFF二、轴向拉伸与压缩时横截面上的应力杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关,必须用应力来比较和判断杆件的强度。两根杆的强度是否相同？19受载前1、变形试验---等直杆受轴向拉力作用abcd受载后PP

d´a´c´

b´现象：〔1〕横向线：ac和bd仍为直线,且仍然垂直于轴线;〔2〕纵向线：ab和cd分别平行移至a'b'和c'd',且伸长量相等.结论：各纤维的伸长量相同,所以它们所受的力也相同.20

亦即横截面上各点处的正应力σ都相等---均匀分布。推论：(1)、等直拉〔压〕杆受力时没有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力，只有正应力σ。(2)、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。平面假设

变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面,且仍垂直于轴线.21sFNFsFNF3.横截面上的应力——正应力σ式中,FN——轴力

A——杆的横截面面积。

根据轴向拉压杆横截面上正应力σ均匀分布的假设可得：当FN>0，

>0，称为拉应力；当FN<0,

<0，称为压应力。4.适用条件

①

外力的合力作用必须与杆件轴线重合

②

不适用于集中力作用点附近的区域22拓展〔1〕假设轴力沿轴线变化，那么FN=FN(x〕〔2〕对变截面杆，当截面变化缓慢时，外力合力与轴线重合，横截面上的正应力也近似为均匀分布，可有：

小锥度杆承受轴向力，横截面上除正应力σ外，还有切应力τ23公式〔2-1〕的适用范围说明：公式不适用于集中力作用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就会发生变化。5圣维南原理〔1〕问题的提出〔2-1〕理论和实践研究说明：不同的加力方式，只对力作用点附近区域的应力分布有显著影响，而在距力作用点稍远处，应力都趋于均匀分布，从而得出如下结论，即圣维南原理。24

作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区域附近的应力分布有显著影响，但对较远处，其影响可忽略不计。由圣维南原理可知：以下图中的(b)、(c)、(d)都可以用同一计算简图〔a〕来代替，从而图形得到很大程度的简化。〔2〕圣维南原理〔3〕圣维南原理运用(c)｛｝｝影响区影响区（a）(b)(d)25FFFF§2.3

轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力1、变形试验说明：斜截面上不仅有正应力还有切应力正方形变为矩形正方形变为菱形26

设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。PPkka解：采用截面法由平衡方程：Fα=PAα：斜截面面积；Fα：斜截面上内力；pα：斜截面上应力；FaPkkapα27由几何关系：代入上式，得：斜截面上全应力pα与横截面上应力s的关系：PPkkaPkkaFapaFα=P设：横截面面积为A。28PPkka斜截面上全应力：Pkkapa分解：tasaa正应力：切应力：正负号规定：拉正，压负顺时针转动趋势为正横截面逆时针转至斜截面为正29讨论当

=90°时，当

=0°时，(横截面上存在最大正应力)当

=±45°时，σ：横截面上的正应力±

45°斜截面上存在最大切应力(纵截面上无应力)30切应力互等定理由公式：可得，上式说明：在互相垂直的两个平面上的切应力必然成对存在，且大小相等，方向或共同指向两平面的交线，或共同背离两平面的交线。这种关系称为切应力互等定理。31等直圆截面杆，假设变形前在横截面上画出两个圆a和b，那么在轴向拉伸变形后，圆a、b分别为——。A.圆形和圆形；B.圆形和椭圆形；C.椭圆形和圆形；D.椭圆形和椭圆形。讨论题一横截面为正方形的砖柱分上、下两段,其受力情况、各段长度及横截面面积如下图.F=50kN，试求荷载引起的最大工作应力.解：〔1〕作轴力图50kN150kNFABCFF3000400035025021aa例题2.250kN150kN〔2〕求应力结论：

在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力。FABCFF3000400035025021aaFABC解：〔1〕计算各杆件的轴力取节点B为研究对象45°12BF45°图示结构，试求杆件AB、CB的应力。F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15mm×15mm的方截面杆。例题2.3〔2〕计算各杆件的应力。图示结构，试求杆件AB、CB的应力。F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15mm×15mm的方截面杆。BF45°FABC45°12例题2.336

力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表现出的有关变形和破坏的特性和规律。§2.4材料在拉伸和压缩时的力学性能材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。一、试验条件及试验仪器1、试验条件：常温(20℃)；静载〔缓慢地加载〕；2、标准试件：常用d=10mm，l=100mm的试件l=10d或l=5dld373、试验仪器：万能材料试验机；变形仪〔常用引伸仪〕38二、低碳钢拉伸时的力学性质

低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢。1、拉伸图(F-l曲线)

表示F和

l关系的曲线，称为拉伸图。ΔlFOefabc

拉伸图与试样的尺寸有关.392、应力应变曲线〔σ—ε曲线〕

O

屈服后A显著缩小屈服后l显著增大

按上式计算出的σ和ε不能表示试样的真实应力和应变，故称为名义应力和名义应变。正应力

：正应变〔线应变〕ε：

为了消除试样尺寸的影响，把拉力F除以试样的原始面积A，得正应力；同时把

l除以标距的原始长度l

，得到正应变。40

p根据σ—ε曲线，将低碳钢的拉伸变形分为4各阶段：〔1〕弹性阶段(0b)

特点：变形是完全弹性的。去除拉力后，变形沿Ob消失。

fOf′h

ab点是弹性阶段的最高点.σe—

eb弹性极限比例极限弹性模量oa段为直线段，材料满足胡克定律

反映材料抵抗弹性变形的能力.41〔2〕屈服阶段(bc)特点：〔1〕s根本不变而e却急剧增加(这种现象称为屈服或流动〕。说明材料失去抵抗继续变形的能力.

p

fOf′h

ab

e

屈服段最低点对应的应力称为屈服极限。

c

s屈服极限〔2〕卸载后，试件有较大的剩余变形。42

p

fOf′h

ab

ec〔3〕强化阶段(ce)特点：材料又恢复了抵抗变形的能力，即要使e，那么必须s。这种现象称为材料的强化。e点是强化阶段的最高点，所对应的应力

b

be

s强度极限或抗拉强度sb

为材料所能承受的最大应力，也是材料的重要强度指标。43〔4〕局部变形阶段〔缩颈阶段ef〕特点：〔1〕过e点后，试样局部突然急剧地收缩，出现颈缩现象。两个强度指标：屈服极限σs，强度极限σb

p

fOf′h

ab

ec

be

s〔2〕出现颈缩后，使试件继续变形所需的拉力减小，至f点试件在颈缩处被拉断裂。443、卸载与再加载规律假设加载到强化阶段的某一点d停止加载,并逐渐卸载,材料在卸载过程中应力和应变是线性关系。这就是材料的卸载定律。

abcefOgf′hεd′d

e——弹性应变

p——塑性应变

e

p总应变：重新加载时，曲线沿d’d

上升至d，再沿原曲线def变化。45

在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载,当再次加载时,材料的比例极限将增高，延伸率将降低，这种现象称为冷作硬化。

4、冷作硬化

abcdefOd′gf′h

利用冷作硬化现象来提高材料在弹性范围内所能承受的最大载荷〔承载能力〕。46三、其他金属材料在拉伸时的力学性能T10A20Cr16MnH62Q235合金钢20Cr高碳钢T10A螺纹钢16Mn普通碳素钢

Q235黄铜H62与低碳钢相比共同之处:断裂破坏前经历较大的塑性变形不同之处：有的没有明显的四个阶段。47

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限表示。

:加载时材料产生的塑性应变达到0.2%时所对应的应力。

对于没有直线段变形的材料，其弹性模量用割线弹性模量表示。

工程中常取总应变为0.1%的割线斜率来确定割线弹性模量。48四、铸铁拉伸时的力学性能拉伸强度极限铸铁140MPa

是衡量脆性材料拉伸性质的唯一强度指标。特点：

σ—ε

曲线为微弯曲线，无明显的阶段性；拉断时的变形很小，无明显的塑性变形，试件突然拉断；抗拉强度很低。

铸铁等脆性材料的抗拉强度很低，不宜作为抗拉零件的材料。491、压缩试样五、材料在压缩时的力学性能正方形截面短柱体圆截面短柱体50脆性材料〔铸铁〕塑性材料〔低碳钢〕512、低碳钢压缩时的s-e曲线低碳钢〔2〕压缩时无强度极限〔1〕拉压曲线的弹性阶段和屈服阶段完全重合故：弹性模量E弹性极限σe比例极限σP屈服极限σS均与拉伸时相同。由拉伸试验可了解其压缩时的力学性能，

∴对塑性材料一般不需作压缩试验。523、铸铁压缩时的力学性能〔1〕铸铁压缩的强度极限与塑性指标都较拉伸时大，铸铁材料常被作为受压构件。〔2〕铸铁试件受压破坏的破坏面的法线与轴线大致成450~550，说明破坏是因斜截面的切应力使材料产生滑移所致。σb压

=4σb拉

铸铁压缩破坏断口4、几种非金属材料的力学性能(1)混凝土压缩时的力学性能使用标准立方体试块测定端面润滑时的破坏形式端面未润滑时的破坏形式近似均质、各向同性材料。属脆性材料，工程中一般用于受压构件的制作54

木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。

松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s

-e曲线如图。(2)木材拉伸和压缩时的力学性能木材的横纹拉伸强度很低(图中未示)，工程中也防止木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。六、材料力学性能的三类指标断后伸长率断面收缩率塑性材料脆性材料低碳钢塑性材料优良

两个塑性指标铸铁：脆性材料

强度指标

弹性指标E561、高温对材料的力学性能有影响;2、长期在高温下工作的构件，会产生蠕变和松弛;3、蠕变：应力保持不变，应变随时间增加而增加的现象;4、松弛：应变保持不变，应力随时间增加而降低的现象。七、温度和时间对材料力学性能的影响57

讨论题现有两种棒材，其直径相同，从承载能力和经济效益两方面考虑，图示结构两杆的合理选材方案是

。A.1杆为钢，2杆为铸铁；B.1杆为铸铁，2杆为钢；

C.两杆均为钢；D.两杆均为铸铁F1258用三种不同材料〔材料1、材料2、材料3〕制成尺寸相同的试件，在相同的试验条件下进行拉伸试验，得到的曲线如下图。比较三条曲线，可知拉伸强度最高的为材料，刚度最大的为材料，塑性最好的为材料。

讨论题59一、构件的失效

失效

:由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。§2.5轴向拉压杆的强度条件及其应用

强度失效：由于断裂或屈服引起的失效刚度失效：由于过量的弹性变形引起的失效稳定性失效(失稳)：由于突然失去平衡状态而引起的失效其它失效形式：疲劳失效；蠕变失效；松弛失效60二、拉、压构件材料的强度失效判据强度失效的两种根本形式为：〔1〕塑性屈服，指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象。如低钢、铝合金等塑性材料。〔2〕脆性断裂，材料失效时几乎不产生塑性变形而突然断裂。如铸铁、混凝土等脆性材料。61

塑性材料：

脆性材料:

强度失效判据——极限应力

0

极限应力

0：材料能承受的最大应力称为极限应力

0

。应力大于极限应力，材料就要破坏。极限应力通过材料的力学性能实验来测定。以强度极限

b为失效判据以屈服极限

s

为失效判据62保证构件不发生破坏并有一定平安余量，将极限应力除以大于1的平安系数，作为材料的许用应力[σ]。三、许用应力与平安因数

塑性材料

脆性材料ns塑性材料的平安因数nb脆性材料的平安因数塑性材料：ns=1.2~2.5脆性材料：nb=2~3.5一般地：因为断裂破坏比屈服破坏更危险63其中：[

]——许用应力，

max——危险点的最大工作应力。为了保证构件平安正常工作，构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力，这称为构件的强度条件，即四、强度条件〔强度准那么〕对于等直杆：对于变截面杆：64利用强度准那么可进行三种强度计算：五、强度条件的应用①FN、A和[σ]，校核强度：②FN、[σ],设计截面：③A、[σ],确定许可载荷：65强度计算步骤：1、受力分析，计算内力〔轴力〕，确定危险截面3、强度计算2、计算危险截面上的应力注：在实际工程中，最大工作应力σmax略高于[σ]，但超出局部缺乏[σ]的5%，一般是允许的。66[例2.4]一等直圆杆受轴向拉力P=50kN，直径d=18mm，材料为Q345钢，其极限应力0=340MPa，取平安系数n=1.5，求材料的许用应力，并校核此杆的强度。解：①许用应力：②最大工作应力：③强度校核：④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。轴力：FN=P=50kN六、强度计算准那么应用举例67例2.5图示气动夹具,气缸内径D＝140mm,气缸气压p=0.6MPa,活塞杆材料的许用应力[]=80MPa。试设计活塞杆的直径d。解：分析活塞杆受力轴力近似地所以FN而取68

例2.6图示为可以绕铅垂轴OO1旋转的吊车简图，其中斜拉杆AC由两根50mm×50mm×5mm的等边角钢组成，水平横梁AB由两根10号槽钢组成。AC杆和AB梁的材料都是Q235钢，许用应力[σ]＝120MPa。当行走小车位于A点时，求允许的最大起吊重量FW。杆和梁的自重可忽略不计。C69解〔1〕受力分析〔2〕计算二杆轴力〔3〕最大起吊重量FWAB杆:查型钢表10号槽钢：A=12.74cm2解得：A70AC杆:查型钢表等边角钢：AAC=4.803cm2解得：为保证吊车平安，吊车的最大起吊荷载应取FWAB和FWAB中的较小者。于是71对本例的讨论：〔1〕该设计是否是最合理的设计？〔2〕怎样修正才能使其到达最经济合理？AB杆强度有富裕。分析：假设令AB杆那么可减小AB杆横截面积。省料减轻重量等强度设计72重新设计AB杆横截面尺寸。查型钢表：选5号槽钢就能满足要求。73

长度为l的杆件受轴向拉力P作用,在纵向会发生伸长变形，变形后长度为l1。在横向会发生收缩变形，横向尺寸由b变形后长度缩短为b1。§2.6轴向拉伸与压缩变形计算

虎克定律abcdl1

杆的纵向变形△l、△b符号规定：伸长为正，缩短为负l1abcd

杆的横向变形：纵向伸长，横向缩短;纵向缩短，横向伸长1、拉压杆纵向变形和横向变形计算

纵向线应变：

线应变ε符号规定:伸长为正，缩短为负线应变ε为无量纲量。l1abcd

横向线应变76纵向线应变和横向线应变的关系、泊松比实验说明，当应力小于比例极限时,横向应变与纵向应变之比μ为一常数,μ----称为横向变形系数〔泊松比〕“-〞号表示纵向线应变和横向线应变的变形正好相反。泊松比是材料的弹性常数，由实验测定。泊松比的特点：〔1〕μ是正数，〔2〕始终μ<1772、拉压杆的弹性定律〔虎克定律〕PP在弹性范围内，杆的伸长〔缩短〕与轴力FN、杆长l成正比，而与横截面积成反比，即〔虎克定律〕FNPx+轴力：782、拉压杆的弹性定律〔虎克定律〕E---为弹性模量，表示材料抵抗变形的能力。E的单位：Pa，或kPa，GPa，1GPa=109Pa；E的量纲：[力]/[长度]2EA--杆的抗拉(或抗压〕刚度，反映杆件抵抗拉伸〔或压缩〕变形的能力，抗拉刚度越大，杆件越不易变形。〔虎克定律〕2、拉压杆的弹性定律〔虎克定律〕应力、应变关系〔弹性定律〕用应力应变表示的虎克定律说明，在弹性范围内，杆件上任意点的线应变与正应力成线性关系。将上式变为：〔虎克定律〕即：80

等轴力等截面拉压杆PP关于拉压杆变形计算公式：

轴力FN、抗拉刚度EA在各段中分别为常量

③变内力变截面

F1F2F3dxxxdxFN(x)402010–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解:〔1〕求杆的总变形画轴力图:[例2.7]杆的长度、截面面积，受力如图。材料的弹性模量Ｅ＝2.1×105MPA,求:(1)杆的总变形;(2)杆横截面上的绝对值最大的正应力。402010–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m402010–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m〔2〕求杆横截面上的绝对值最大的正应力。绝对值最大的正应力：84[例2.8]求自由悬挂的等直杆由于自重引起的最大正应力和总伸长。设杆的长度L、截面面积A，容重为γ，弹性模量E均为。xLQFN〔+〕Ox

xx解：x坐标向上为正，坐标原点在自由端。〔1〕计算轴力，画出杆的轴力图FN(x)γ85〔2〕计算杆内最大正应力FN(x)xLQFN（+）O

xxγ〔3〕计算杆的伸长量86C'

怎样画小变形放大图？确定杆件变形后C点的位置C’

变形图严格画法，图中弧线；分别以A、B为圆心，L1+△L1，L2+△L2为半径画弧，交于C’点

求各杆的变形量△Li

，如图；变形图近似画法：图中弧之切线交于C〞

小变形放大图与位移的求法ABCL1L2PC"87

例2.9

图示三角托架。AB为钢杆，A1=4cm2，E1=2×105MPa；BC为木杆，A2=100cm