湘教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-1椭圆课件

平面上到两个定点F1,F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.

这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距.3.1椭圆1|椭圆的定义2

|

椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形

标准方程

+

=1(a>b>0)

+

=1(a>b>0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a对称性对称轴为x轴、y轴;对称中心为(0,0)顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长为2a,短轴长为2b离心率e=

(0<e<1)

1.椭圆的通径过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫作椭圆的通径,其长

度为

.2.焦点弦过焦点的弦,焦点弦中通径最短.3.焦半径椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作椭圆的焦

半径,记r1=|PF1|,r2=|PF2|.(1)

+

=1(a>b>0),则r1=a+ex0,r2=a-ex0;(2)

+

=1(a>b>0),则r1=a+ey0,r2=a-ey0.1.点P(x0,y0)与椭圆

+

=1(a>b>0)的位置关系点P在椭圆上⇔

+

=1;点P在椭圆内部⇔

+

<1;点P在椭圆外部⇔

+

>1.2.代数法判断直线与椭圆的位置关系把椭圆方程与直线方程联立,消去y(x),整理得到关于x(y)的方程Ax2+Bx+C=0

(Ay2+By+C=0),该一元二次方程根的判别式为Δ,①若Δ>0,则直线与椭圆相交;②若

Δ=0,则直线与椭圆相切;③若Δ<0,则直线与椭圆相离.3|

点与椭圆、直线与椭圆的位置关系3.弦长公式设直线y=kx+b与椭圆有两个公共点M(x1,y1),N(x2,y2),则弦长公式为|MN|=

或|MN|=

(k≠0).1.平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹一定是椭圆吗?不一定.当2a>|F1F2|时,是椭圆;当2a=|F1F2|时,是线段;当2a<|F1F2|时,点的轨迹不存

在.2.椭圆的离心率e越大,椭圆就一定越扁吗?一定.e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆.知识辨析1.定义法根据椭圆的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出标准方程.2.待定系数法.其步骤为:(1)作判断.由题意判断焦点在x轴还是y轴上,还是都有可能.(2)设方程.依据判断设方程,特别地,如果中心在原点,焦点位置不明确时方程可设

为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).(3)找关系.由条件找关系,建立方程组.(4)求解.解方程组,代入所设方程即可.1椭圆的标准方程的求解3.两种特殊方程的设法(1)与椭圆

+

=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程可设为

+

=k1(k1>0,a>b>0)或

+

=k2(k2>0,a>b>0).(2)与椭圆

+

=1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程可设为

+

=1(k<b2<a2).

典例求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点(

,-

),且与椭圆

+

=1有相同的焦点;(2)焦点在坐标轴上,且经过两点(2,-

),

.解析

(1)解法一:因为所求椭圆与椭圆

+

=1的焦点相同,所以所求椭圆的焦点在y轴上,且c2=25-9=16.设所求椭圆的标准方程为

+

=1(a>b>0).因为c2=16,且c2=a2-b2,所以a2-b2=16.①因为点(

,-

)在椭圆上,所以

+

=1,即

+

=1.②由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为

+

=1.解法二:设所求椭圆的方程为

+

=1(λ>-9),因为点(

,-

)在椭圆上,所以

+

=1,化简得λ2+26λ+105=0,解得λ=-5或λ=-21(舍去).所以所求椭圆的方程为

+

=1.(2)解法一:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为

+

=1(a>b>0).由已知条件得

所以

所以所求椭圆的标准方程为

+

=1.若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为

+

=1(a>b>0).由已知条件得

解得

则a2<b2,与题设中a>b>0矛盾,舍去.综上,所求椭圆的标准方程为

+

=1.解法二:设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).由已知条件得

解得

所以所求椭圆的标准方程为

+

=1.1.椭圆上异于长轴端点的点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三

角形.解关于椭圆的焦点三角形问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、

余弦定理等知识求解.2椭圆的焦点三角形问题2.焦点三角形的常用结论(1)焦点三角形的周长C=2a+2c.(2)设P(xP,yP),焦点三角形的面积

=c|yP|=

|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan

.(3)设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则e=

.

典例设P是椭圆

+

=1上异于长轴端点的一动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求cos∠F1PF2的最小值.思路点拨将cos∠F1PF2用|PF1|,|PF2|表示出来

利用基本不等式求最值.解析

由题意得a=3,b=2,c=

,因此|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=2

,所以cos∠F1PF2=

=

=

-1.因为|PF1|·|PF2|≤

=9,当且仅当|PF1|=|PF2|=3时取等号,所以cos∠F1PF2≥

-1=-

,所以cos∠F1PF2的最小值为-

.1.当a,c易求时,直接代入e=

求解;当b,c易求时,利用e=

求解;当a,b易求时,利用e=

求解.2.若a,c的值不可求,则可列出只含a,c的齐次方程(不等式),列式时常用公式b=

代替式子中的b,然后将等式(不等式)两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程(不等式)求解即可.此时要注意0<e<1.3求椭圆的离心率

典例已知椭圆

+

=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为

.思路点拨由条件列出关于a,c的不等式,将其转化为关于e的不等式,结合e∈(0,

1)求解.解析

连接OP(O为坐标原点).由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c

≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤

c,所以e=

≥

,因为0<e<1,所以

≤e<1.1.求相交弦的长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点间距离公式求弦长.(2)当直线斜率存在时,利用弦长公式求弦长.2.与椭圆中点弦有关问题的三种题型及解法(1)利用根与系数的关系求中点坐标:联立直线和椭圆方程,消去x(y)得到关于y(x)

的一元二次方程,利用根与系数的关系以及中点坐标公式求解.(2)利用点差法求直线斜率或方程.其步骤为:①设点.设出弦的两端点坐标.②代入.将端点坐标代入曲线方程.4直线与椭圆的相交弦问题③作差.两式相减,利用平方差公式把式子展开.④整理.转化为中点坐标和斜率的关系式求解.(3)利用共线法求直线方程:设椭圆

+

=1(a>0,b>0)与直线的一个交点为A(x,y),另一个交点为B,如果弦AB的中点为P(x0,y0),则利用中点坐标公式可得B(2x0-x,2y0

-y),则有

+

=1,

+

=1,两式作差即可得所求直线方程.这三种方法中“点差法”最常用,“点差法”体现了“设而不求,整体代入”的

解题思想;“点差法”还可用于解决对称问题,因为此类问题一般也与弦的中点

和直线斜率有关.

典例已知椭圆

+

=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.(1)当直线l的斜率为

时,求线段AB的长度;(2)当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.

思路点拨

(1)求出直线方程

联立,得方程组

得交点坐标

求得弦长.(2)设A,B的坐标

利用“点差法”求出kAB

得出直线l的方程.

解析

(1)由已知可得直线l的方程为y-2=

(x-4),即y=

x.由

得

或

不妨令A

,B

,所以|AB|=

=3

.所以线段AB的长度为3

.(2)由题意知直线l的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,则有

两式相减,得

+

=0,整理,得kAB=

=-

.又P(4,2)是线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4,于是kAB=-

=-

,于是直线l的方程为y-2=-

(x-4),即y=-

x+4.1.解决与椭圆有关的最大(小)值问题的常用方法(1)定义法:利用定义转化为常见问题来处理.(2)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性

质来解决,解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助

相应曲线的定义及对称知识求解.(3)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可先建立目标函数,再

根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判

别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.2.与椭圆有关的定值、定点问题(1)解决定点问题,需要注意两个方面:一是抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以先从斜率不存在5与椭圆有关的最值、定值及定点问题 或斜率为0的特殊情况入手找出定点,为解题指明方向.二是抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,实质就是求解直线

方程中参数之间的关系,熟悉直线方程的特殊形式是关键.(2)解决定值问题的常用方法:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

典例1已知椭圆

+

=1的上焦点为F,M是椭圆上一点,点A(2

,0),当点M在椭圆上运动时,|MA|+|MF|的最大值为

10

.解析

由题意得a=3,b=

,∴c=

=2.如图所示,设椭圆的下焦点为F',则F'(0,-2).连接MF',AF'.∵|MF|+|MF'|=2a=6,即|MF|=6-|MF'|,∴|MA|+|MF|=|MA|-|MF'|+6,又∵|MA|-|MF'|≤|AF'|=

=4,当且仅当A,F',M共线且F'在线段AM上时,等号成立,∴|MA|+|MF|的最大值为4+6=10.

典例2已知椭圆E:

+

=1(a>b>0)经过点

,离心率为

.(1)求E的方程;(2)若点P是椭圆E的左顶点,直线l交E于A,B两点(异于点P),直线PA和PB的斜率之

积为-

.①证明:直线l恒过定点;②求△PAB面积的最大值.解析

(1)由题意得

所以

所以E的方程为

+

=1.(2)①证明:由题意知P(-2,0).当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2≠-2,l:y=kx+m,由

消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则x1+x2=

,x1x2=

,则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

.因为kPA·kPB=

·

=-

,所以(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0,且x1,x2≠-2,则x1x2+2(x1+x2)+4+4y1y2=0,所以

+

+4+

=0,整理得m2-km-2k2=0,所以(m-2k)(