《数学建模实验》

刖s

在当今信息技术时代，随着科学技术的飞速发展，数学正迅速地向自然科学、

技术科学、经济管理科学和社会科学等各个领域渗透，发挥愈来愈多的、甚至是

举足轻重的作用，特别是数学与计算机技术的结合，使数学已成为一种重要的可

以实现的技术。然而，要发挥数学的作用，首先就是要将所研究的各种问题归结

为一个相应的数学问题，即建立该问题的数学模型；在此基础上才有可能利用数

学的理论和方法进行深入的分折和研究，从而为解决实际问题提供精确的数据与

可靠的指导。因此，建立数学模型的意识和能力是当代科技人员应具备的基本素

养。

不同的实际问题往往有不同的数学模型，即使是同一个实际问题，也可能从

不同的角度归结为不同的数学模型，因此，建立数学模型没有一个可以到处生搬

硬套的固定模式；尽管如此，人们通过大量实际问题归结为数学模型的实践，逐

步发现和总结了一些建立数学模型的规律，“数学建模”这一新的数学分支以及

相应的课程在20世纪80年代初便由此应运而生；随着大学生数学建模竞赛的蓬

勃发展，近二十年多来，“数学建模”课程已在国内外愈来愈多的大学开设，受

到广泛的重视，不仅成为数学系各专业的重要必修课程，而且成为其他理工经管

各专业的必修课或选修课。实践证明，这门课程教学无论对培养创新型人才还是

应用型人才都能发挥其他课程无法替代的重要作用。

中南财经政法大学是较早开设数学建模与数学实验相关课程的学校之一。早

在1996年，学校就开始开设《经济数学模型》选修课，现已连续开设了14届，

作为全校各系的选修课和信息计算与科学专业的必修课，每年近300名学生选修

这一课程，上课全部采用多媒体教学，形成了系统的教学大纲、电子教案和课件,

2008年《经济数学模型》被批准成为校级精品课程。我们还承担了学校全国大

学生数学建模竞赛的组织和培训工作，在学校数学建模竞赛领导协调小组的领

导，我们精心制定建模竞赛的辅导计划，共分统计方法、优化理论和微分方程等

10个专题进行专题培训，已建立了完整的培训体系，培训效果良好，近三年来

指导学生在全国大学生建模竞赛中屡获佳绩。总之，在不断的探索和改进，我们

已逐步形成了编写《数学建模实验》的一整套指导思想和具体做法。本书的作者

均为中南财经政法大学数学建模竞赛指导教师，教学经验丰富，这些年对数学建

模课程教学和培训中的讲稿不断补充和完善，编写了讲义《数学建模实验》，该

讲义在中南财经政法大学和其他一些高校陆续使用，教练员和学生反映良好，在

数学建模培训中起到了很好的作用，本书正是在原讲义的基础上进一步修改而

成。

本书涵盖了数学建模的基本内容和分析方法。共分数学建模初步、线性规划、

微分方程、回归分析等10个实验单元。每一个实验单元都有2—3个实验，每个

实验的基本内容包括实验目的与要求，实验准备，实验步骤，实验总结和思考题。

本书的基本思想是以实际问题为载体，把数学建模、数学知识、数学软件和计算

机应用有机地结合，特别强调学生的主体地位，在教师的引导下，学习查阅文献

资料、用学到的数学知识和计算机技术，借助适当的数学软件，分析、解决一些

经过简化的实际问题，并撰写实验报告或论文，经受全方位的锻炼。在这个过

程中提高学生学习数学的兴趣，发挥主动性，从而培养学生的主动精神，综合应

用能力和创新意识。

本书可作为大学本科数学建模课、数学实验课或数学建模竞赛培训的教材，

也可作为应用数学知识方面的参考书。

编者

2011年10月

第一实验单元数学建模初步

实验目的

通本单元实验，简要说明数学模型的基本概念，介绍建立数学模型的过程以

及数学实验方法在建模中的应用，归纳数学建模的基本方法和步骤，简单阐述数

学建模的重要意义。

本单元实验要点

一、什么是数学建模

人们在认识、研究现实世界里的某个客观对象时，常常不是直接面对那个对

象的原型，而是设计、构造它的各式各样的模型，例如：展览厅里的三峡大坝模

型、神舟飞船模型是直观且形象的实物模型；水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲

击下舰艇的航海性能，风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的动力学特性，

它们是工程师们进行舰艇、飞机设计时用的物理模型;汽车司机对方向盘的操纵，

钳工师傅对工件的手工操作，依赖于人们头脑中的思维模型：人们常用的地图，

电工，电子设计中用的电路图，化学中的分子结构图，是经过某种抽象并按照一

定形式组合起来的符号模型，这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某

一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物，它虽不是原型的复制品，却

集中反映了原型中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认

识。

数学模型当然比上面的这些模型更加抽象，它是人们要认识客观对象在数

量方面的特征、定量分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似的刻画要

研究的那一部分现象时，所得到的一个数学描述，建立数学模型的过程简称为数

学建模。

数学建模似乎是一个新名词，其实作为用数学方法解决实际问题的第一步，

它与数学本身有着同样悠久的历史。两千年前创立的欧几里得几何，17世纪发

现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的成功案例。在我们日常生

活中数学建模的应用也不少见，贷款买房时比较各种不同的还款方案，校园和居

民小区为限制车速而设计路障，为肥胖者安排合理、有效地减肥方案，都可以建

立简单的数学模型加以解决。

一般的说，为了定量地解决一个实际问题，从中抽象、归结出来的数学表述

1

就是数学模型，详细一点，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个研究对象，

为了一个特定目的，做出必要的简化假设，根据对象的内在规律，运用适当的数

学工具，得到的一个数学表述。而数学建模包括模型的建立、求解、分析和检验

的全过程，从实际问题到数学模型，又从数学模型的求解结果回到现实对象。

二、数学建模的意义

马克思曾说过：“一门科学只有成功地运用数学时.，才算达到了完善的地步”。

可以认为数学在各门科学中被应用的水平，标志着这门科学发展的水平。

回顾科学发展的历史，物理学是最早与数学结合的科学。力学，这是物理学

里面最先完成精确化的一个分支，是最先从物理学中独立出来，成为一门单独学

科的。随后，光学、热学、声学、电磁学等学科也由于数学方法的加入，逐一从

物理学的母体中脱胎而出。由伽利略开创而由牛顿完成的经典力学体系，是近代

科学发展初期应用数学的必然结果。牛顿把他的力学著作称之为《自然哲学的数

学原理》，说明他对数学的高度重视，也反映了这门学科的精确化水平。牛顿是

以他的力学三大定律闻名于世的，作为一个伟大的物理学家，数学中也深深地留

下了他的烙印，即微积分的牛顿一莱布尼兹公式。

在整个十八、十九世纪，是牛顿力学体系绝对统治物理科学的时期。这期间，

力学和数学相互带动，彼此促进，成为科学发展史上得天独厚的一对。与此同时，

数学被逐渐推广到物理学的替他学科，如热学、声学、光学、电磁学，使这些学

科也欣欣向荣，茁壮成长起来。以傅立叶、麦克斯韦和玻耳兹曼等人为代表，把

数学应用到热学、电磁学和分子运动论中，因而物理学获得了一系列重要成果。

二十世纪，爱因斯坦创立的相对论，就是运用偏微分方程、张量分析和黎曼

几何等新的数学工具，以严密的数学结构表达的物理理论，从而使人类对物质运

动的认识从宏观低速领域发展到宇观高速领域，使整个自然科学开始了一场崭新

的革命。1916年，爱因斯坦通过引进非欧几何这一新数学理论，从而把引力和

几何概念联系在一起；1925年，量子力学中引进了Hilbert空间，才使这门描

述微观物体运动规律的新学科建立起完整的理论体系。

随着量子力学的理论与方法被引入化学领域，诞生了量子化学以后，现代化

学的面貌发生了根本性的变化。特别是它根据量子力学中的薛定娉方程来计算分

子间电子运动的规律。这样，量子化学既能从量子理论上做计算，又能对一百多

2

年来所积累的大量实践经验和知识给予总结，而且还能进行科学预见。化学这门

古老的“经验科学”，在数学方法的帮助下，正在转化为严密的逻辑结构的精确

科学。

一百多年以前，数学在生物学中的应用是很少的。但是在今天，生物学应用

数学的情况较之那时已形成鲜明的对比。十九世纪达尔文提出的进化论，只不过

是应用了比较的方法，也就是主要通过生物的外形习性等各种的比较，来判断生

物间的亲缘关系。近年来，运用数学来定量地研究不同种生物的亲缘关系，使生

物进化论有了可靠的科学依据。在生态学中，已知动物的自然生长率及其相互影

响的效能，就能够建立数学模型，刻画生态平衡关系。生物学中诞生生物数学，

以及由此派生出的数量遗传学、分子生物数学、生物运筹学等小的学科分支。这

个世纪，也许将是生物学的世纪。

在自然科学日益精确化的形势下，社会科学也变得日益依赖数学了。不论社

会现象比自然现象如何复杂，也不论社会科学不具有自然科学掌握规律的量的精

确性这一差别怎样明显，然而随着数学方法日益渗入社会科学，社会科学的数学

化也是大势所趋，不可阻挡。数学方法渗入经济科学领域，诞生了新的经济数学

方法，这是符合经济需要的专门的数学工具，它包括计量经济学、经济控制论和

数学规划。系统论、信息论和控制论等方法性学科的迅速崛起；运筹学、随机数

学等数学分支在国民经济领域中的广泛应用，更加说明数学已成为明显的社会推

动力。

随着科学技术的进步，特别是计算机技术的迅速发展，数学已经从渗透到自

然科学技术到工农业生产建设，从经济活动到社会生活的各个领域。一般地说，

当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的

定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环

节。

三、数学模型建立的全过程

数学模型的建立一般可以分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过

这些阶段完成对现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环。

表述是根据建模的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学

语言确切地表达出来；求解是选择适当的数学方法求得数学模型的解答；解释是

3

指把数学语言表述的解答翻译回现实对象，给出实际问题的解答；验证是指用现

实对象的信息检验得到的解答，以确认结果的正确性。

建模过程是一种创造性思维过程，除了想象、洞察、判断这些属于形象思维、

逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往往也起着不可忽视的作用。当然，直觉

和灵感不是凭空产生的，它要求人们具有丰富的背景知识，对问题进行反复思考

和艰苦探索，对各种思维方法运用娴熟。相互讨论和思想交锋，特别是不同专业

的成员之间的探讨，是激发直觉和灵感的重要因素，所以由各种专门人才组成的

所谓团队工作方式越来越受到重视。

四、全国大学生数学建模竞赛

参赛所需要的基础课程包括数学分析（高等数学）、高等代数（线性代数）、

概率论、数理统计、计算机语言等，因此最合适的参赛时间在大三。由于课程设

置的关系，运筹学、图论、数据结构、算法设计等课程还未学习，志在参赛的同

学应进行一定程度的预习。

除了数学基础知识之外，计算机编程能力是尤为重要的，而这也是我们财大

同学最为欠缺的。按理说，这应该是数学系同学的长处，但除少数同学之外，大

多数同学均乏善可陈。一个问题，经过一个小组同学的集体智慧，得到一个模型

（暂不论优劣），尚不是一件难事，但如果得不到一个解，肯定不是一个成功的

模型。因此，应重点加强计算机编程和数学软件运用的训练。

写作水平也是很重要的，一篇好的论文，可以给评委留下深刻的印象，尤其

是条理清楚、重点突出的摘要，可以吸引评委的眼球。美国数学建模竞赛，是以

摘要作为评审的第一道关，由此可见摘要的重要性。我国虽然还未实行这样的规

则，但随着参赛队伍的逐年增多，评委工作量的大量增加，摘要的重要性日益显

见。当然，这些都是以一个优秀的模型为前提的。

每年的竞赛题目都与当年的重大事件有或多或少的联系，如03年的非典防

治、04年的奥运场馆，乃至今年的水污染仿佛是松花江污染的预言，因此关心

时事，扩大知识面也是有必要的。

除了上述“硬件”以外，团队精神是比赛成功的关键。三个同学三天三夜的

奋斗，为的是一个共同的目标，因此，一定要团结一心，精诚合作。相互之间可

以有学术的争论，但不能赌气任性，一切应以集体利益为重。因此，如果可能的

4

话，组队时应考虑个性的因素。

中国大学生数学建模竞赛的影响越来越显著，希望本书对同学们有所帮助,

在竞赛中取得优异成绩。

5

实验一穿高跟鞋真使人觉得美些吗？

实验目的与要求

利用一个简单的建模实例，掌握数学建模的基本概念、步骤与方法，让学生

体会数学建模的乐趣。

实验准备

美是一种感觉，本应没有标准。但是在自然界里，物体形状的比例却提供了

在均称与协调上一种美感的参考。在数学上，这个比例称为黄金分割。

在线段AB上，若要找出黄金分割的位置，设分割点为G,则G点的位置符

合以下特性：

AB：AG=AG：GBo设AB=1；AG=x,

则1：x=x:(1-x),xg0.618

AGB

实验步骤

在人体的躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点。换言之，若此比

值越接近0.618,越给与别人一种美的感觉。很可惜，一般人的躯干(由脚底至

肚脐的长度)与身高比都低于此数值，大约只有0.58至0.60左右(脚长的人会

有较高的比值)。

为了方便说明穿高跟鞋所产生的美，假设某女的原躯干与身高比为0.60,

即x:l=0.60,若其所穿的高跟鞋的高度为d,则新的比值为：

(x+d):(l+d)=(0.60+d):(1+d).

AB：AG=AG：GB

如果该女士身高为1.60米，则实验结算结果如表1-1所示:

1

表IT实验计算结果

原躯干与身高比值身高(cm)高跟鞋高度(cm)穿了高跟鞋后的比值

0.61602.540.606

0.61605.080.612

0.61607.620.618

实验总结

这是一个简单的数学建模实例，利用高中所学的数学知识完全可以解决这一

问题，学生在做个简单实例中，应体会到如下几点：(1)数学建模是来自于实际

的，是用数学的方法解决实际中的问题。(2)数学建模不同于我们以前解应用题，

需要我们自己分析，找出问题，做出假设，收集数据，所得结论也不是唯一的。

(3)数学建模并不追求数学方法的难度，只要能够很好的解决问题，得出符合

实际的结论，我们就认为这是一个好的数学建模案例。

1

实验二放射性废物处理问题

实验目的与要求

掌握放射性废物处理问题的微分方程建模思想及其如何利用Mathematica

计算此类问题。

实验准备

放射性废物处理问题：美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方

法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学

家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成

核污染。原子能委员会分辨说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验，发

现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避

免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少？这时已知圆桶重量为

239.46kg,体积为0.2058m3,海水密度为1035.71kg/m\如果圆桶速度小于

12.2m/s,就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止用这种方法来处理放射

性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。

实验步骤

步骤1问题分析与建立模型

圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程：

d2s,,,ds

>n—Y=mg-pgV-k—

dt2dt

m—=mg-pgV-kv

dt

考虑受到的阻力，这时圆桶的速度应满足如下的微分方程：

m—=mg-pgV-kv

dt

步骤2模型求解

加上初始条件条『0=(),s1^)=0,以及题设的初始数据。通过Mathematica就

可以求出圆桶的位移和速度的方程，具体步骤如下：

m=239.46；v=0.2058；g=9.8；p=1035.71；k=0.6；

Chop[DSolve[{ms[t]==mg-pgw-ks[t],

s[0]==0,s[0]==0},

s[t],t]]

2

DSolve[{m*v[t]==mg-pgw-kv[t],

v[0]==0},v[t],t]

得出位移的方程为：

s(t)=-171511+429.744t+171511e".侬

速度的方程为：

v(t)=429.744-429.744-(™4t

通过方程(4)及s(t)=90m,利用下面Mathematica程序：

FindRoot[90==-171511+429.744t+17151l/Exp[0.00250564t],

{t,13}]

求出时间t=13.002s,和圆桶的速度为v=13.7729m/s0

显然，此时圆桶的速度已超过12.2m/s,可以得出这种处理废料的方法不合

理，美国原子能委员会已经禁止用这种方法来处理放射性废料。

加上初始条件v|3=0,可利用下面的Mathematica程序：

DSolveL{mv[t]==mg-pgv-k(v[t])2,

v[0]==0},v[t],t]

求出圆桶的速度：v(t)

若把题设中F,k(仍设为0.6的话)和m的值代入上式，可得圆桶的速度

为：

v(t)=20.7303Tanh(0.0519426t)

这时若该速度要小于12.2m/s,那么利用Mathematica可得圆桶的运动时间

就不能超过13s,位移不能超过84.8m。对应的Mathematica源程序如下：

FindRoot[20.7303*Tanh[0.0519426t]==12.2,

{t,12}](*求时间*)

Integrate[20.7303*Tanh[0.0519426t],

{t,0,13}](*求位移*)

实验总结

本次实验利用微分方程模型求解了实际问题，在实验中，首先对给问题进行

了机理分析，然后把实际问题转化成了数学问题，最后利用数学软件求解。很多

3

同学在做这一类问题时，往往存在畏难心态，及实际问题很长，数据较多，又不

太熟悉，这个时候需要同学们耐心看完题目，深入分析，把实际问题转化成为你

熟悉的模型，这样问题就迎刃而解了。

思考题

在放射性废物的处理问题中，若改在其它介质如在空气中物体的运动速度与

它所受的空气阻力仍成正比，那么这个比例系数与在水中的正比例系数是否一

样？把所建立的数学模型应用到求火车的速度问题上，并说明为何火车的速度不

能无限增长？

4

实验三减肥问题

实验目的与要求

通过本次实验的学习，掌握系统的数学建模步骤与方法，培养数学建模意识

实验准备

随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高.由于饮食营养摄入量的

不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题.如何正确对待

减肥是我们必须考虑的问题.于是了解减肥的机理成为关键.

根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知：

（1）每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳

食质量标准.如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生

不利的影响.

（2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志.

（3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所

需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物

转化为人体所需的能量）所消耗的能量.

（4）一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳.

（5）一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额

外的能量消耗相当于基础代谢的10%.

实验步骤

步骤1问题分析与模型假设

（1）人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标.

对于一个成年人来说体重主要由三部分组成：骨骼、水和脂肪.骨骼和水大体上

可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志.已知脂肪的能

量转换率为100%,每千克脂肪可以转换为4.2X10'焦耳的能量.记D=4.2X107

焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数.

（2）人体的体重仅仅看成是时间「的函数网力，而与其他因素无关，这意

味着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）

对减肥的影响.

（3）体重随时间是连续变化的，即犷（力是连续函数且充分光滑，因此可以

5

认为能量的摄取和消耗是随时发生的.

(4)不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：体重分别为50千克和100

千克的人都跑1000米，所消耗的能量显然是不同的.可见，活动对能量的消耗也

不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制订一个合理IL相对稳定的活

动计划，我们可以假设在单位时间(1日)内人体活动所消耗的能量与其体重成

正比，记8为每1千克体重每天因活动所消耗的能量.

(5)单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比

于人的体重.记C为1千克体重每天消耗的能量.

(6)减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计,

我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为4

步骤2模型的建立

建模过程中，我们以“天”为时间单位.根据假设3,我们可以在任何一个时

间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化.

根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的

变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差.

考虑时间区间"什△£]内能量的改变，根据能量平衡原理，有

D[w(t+Ar)-w(r)]=A\t-Bjvv(s)ds-CJw(s)ds.

tt

由积分中值定理有

w(t+Ar)-w(f)=a\t-bw(t,0e(0,1),

其中a=A/D,b=(B+C)/D,遍除以4并令△取极限得

=a-bw(t),t>0(1.1)

"卬dt")

这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型.

步骤3模型的求解

设t=0为模型的初始时刻，这时人的体重为"(0)=身.模型(1.1)的求解方

法很多，下面用积分因子法求解.在(3.1)的两边同时乘以小得

eb,+bw(t)ebl=aeb,,即—(eh,w。))=ae"

"必dt"dt

从0到t积分，并利用初值w(0)=版得

6

w(t)=we-bl+-(\-e-b')=-+(w--)e-h,(1.2)

obbQb

步骤4模型的分析与修改推广

(1)%是模型中的一个重要参数是每天由于能量的摄入而增加的体

重.b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的体重.

不进食的节食减肥法是危险的.因为limw(f)=0,即体重(脂肪)都消耗尽

了，如何能活命！

(2)假设a=0,即停止进食，无任何能量摄入，体重的变化(减少)完全是

脂肪的消耗而产生.此时，犷(。=林64.

当a=0时(断一甲(力)/版=1—e"，,这表明在［0,6内体重减少的百分率为

l-e-bl,称之为［0,打内体重消耗率，特别地，1—e”是单位时间内的体重的

消耗率，事实上，犷(>1)=版e""+D=版0-'=犷(。e",所以(w(t)-w(t+l))

/w(t)=l-e-\自然e"'=卬⑺/%为［0,公内的体重保存率，它表明［时刻体重

占初始体重的百分率.

基于上面的分析，由(3.2)式可知，f时刻的体重由两部分构成：一部分是

初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得的补

充量，这一解释从直观上理解也是合理的.

(3)由(3.2)式有，limw(t)=aIb=A/(B+C):=w„

也就是说模型(3.1)的解渐近稳定于w*,它给出了减肥的最终结果，称也为减

肥效果指标.因为e-加衰减很快,在有限时间内，(咻-小火也就很小,可以忽略，

当匕充分大时一，w(f)=a,=A/(8+C),这表明任何人都不必为自己的体重担心(肥

胖、瘦小)，从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适当调节A(进食)、B(活

动、C(新陈代谢).同时也说明了，任何减肥方法都是考虑和调节上述三个要

素：节食是调节A、活动是调节B、减肥药是调节C.由于C是基础代谢和食物特

殊动力的消耗，它不可能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个

人而言可以认为是一个常数，有大量事实表明，通过调整新陈代谢的方法来减肥

7

是值得推敲的.于是我们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素控制：进食摄

取能量和活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是控制饮食和增加活动量.这

也是熟知的常识.

对于模型（3.1）,容易证明，当且仅当叫＜/时有d卬/力＜0,这表明只有

当也＜%时才有可能产生减肥的效果.

（4）进一步讨论能量的摄取量A与活动消耗量B对减肥效果的影响.由

wt-A/（5+C）有，A=卬*8+w*C,在A—B坐标系内表中一条过点（一C,0）

斜率为伍的直线.根据背景知识，任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持

正常生理功能所需要的能量.因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在

一个下限~当叫＜明时表明能量的摄入过低，无法满足维持人体正常的生理

功能所需要的能量.这时减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危及人体的

健康，因而称防为减肥的临界指标.此外，人们为减肥所采用的各种体力活动对

能量的消耗也有一个人体所能承受的范围，即存在身使得0＜B＜于是在A

——8平面上由於0、比3和A=0所界出的上半带形区域被直线

10:A-w^B+waC和4:A-wiB+wtC分割成三个区域：居、Q2和Q3，这表

明减肥的效果是控制进食和增加消耗综合作用、相互协调的结果.在区域中，

能量的摄取量/大于体重为曲（初始体重）时的消耗量的（8+。，这时体重将在

版基础上继续增加，故称之为非减肥区；而在区域。3中，能量的摄取量［低于

体跖时的消耗量防（班。，体重将减少到临界减肥指标以下，这将危及人的身体

健康，故称为减肥危险区•只有区域。2所表示的1和8的组合才能实现有效

的减肥，故称B为有效减肥区，如图1T所示：

8

实验总结

实际上，减肥的过程是一个非常复杂的过程.这个模型是一个简化的模型，

只是为了揭示饮食和活动这两个主要因素与减肥的关系.数学建模其实是对实际

问题的抽象化和数学化。

综合思考题

一、怎样解决下面的实际问题？包括需要哪些数据资料，要做些什么观察、

试验以及建立什么样的数学模型等：

(1)估计人体内血液的总量

(2)估计一批日光灯管的寿命

(3)决定十字路口黄灯亮的时间长度

(4)一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运

行计划

二、你注意到大包装商品比小包装商品便宜了吗?试建立数学模型解释这种

现象，考虑价格由生产成本、包装成本及固定成本等决定，他们有的与重量成正

比，有的与表面积成正比，有的与二者无关。

9

第二实验单元线性规划

实验目的

线性规划(LinearProgramming,简写LP)是运筹学中最成熟的一个分枝，

而且是应用最为广泛的一个运筹学分枝，是解决最优化问题的重要工具。而目

前Lindo/lingo是求解线性规划比较成熟的一个软件，通过本单元实验，掌握

线性规划建模的步骤、思想和求解方法。

本单元实验要点

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最

大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支一数学规划，而线性

规划(LinearProgramming简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947

年G.B.Dantzig提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋

向成熟，在实用中日益广泛与深入。

实验一食谱问题

实验目的与要求

通过本实验掌握建立线性规划模型的基本步骤和思想方法，如何利用

Mathematica求解线性规划问题

实验准备

食谱问题：某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料

中三种营养成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每个动物每天至少需要蛋

白质70g,矿物质3g,维生素10mg,该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料

1kg所含营养成分如表2T所示，每种饲料1kg的成本如表2-2所示。

表2T五种饲料单位重量(1kg)所含营养成分

饲料蛋白质(g)矿物质(g)维生素(mg)

Ai0.300.100.05

A22.000.050.10

As1.000.020.02

0.600.200.20

A4

A51.800.050.08

10

表2-25种饲料单位重量（1kg）成本

饲料AiA2A3A.iA5

成本（元）0.20.70.40.30.5

求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方。

实验步骤

步骤1问题分析与建立模型

设%(j=l,2,3,4,5)表示混合饲料中所含的第j种饲料的数量。由于

提供的蛋白质总数必须满足每天的最低需求量70g,故应有：

0.30xi+2.00x2+l.OOX3+O.60X4+1.80X5.70

同理，考虑矿物质和维生素的需要，应有：

0.10xi+0.05x2+0.O2X3+O.20x.i+0.05X523

0.05XI+0.IOX2+O.02X3+0.2OX4+O.08x5^10

混合饲料成本的目标函数f为：

f=0.2xi+0.7X2+O.4X3+O.3xt+0.5xs

决策变量X,非负。

由于希望调配出来的混合饲料成本最低，所以该饲料的配比问题是一个线性

规划模型：

minf=0.2x1+0.7x2+0.4x3+0.3x,+0.5x5

0.30xi+2.OOX2+I.OOx,3+0.60X4+1.80X5.70

s.t0.10xi+0.05X2+0.02X3+0.20X4+0.05x5^3

0.05xi+0.10x2+0.02x3+0.20x4+0.08X5^10

XjNlO,j=l,2,3,4,5

步骤2模型求解

Mathematica源程序如下：

In[l]：=c={0.2,0.7,0.4,0.3,0.5}；

a={{0.30,2.00,1.00,0.60,1.80},

{0.10,0.05,0.02,0.20,0.05},

{0.05,0.10,0.02,0.20,0.08}}；

b={70,3,10}；

11

result=LinearProgramming[c,a,b]

f=c.result

0ut[4]={0,0,0,39.7436,25.641}

Out[5]=24.7436

或

In[l]：=ConstrainedMin[f=0.2xl+0.7x2+0.4x3+0.3x4+0.5x5,

{0.3xl+2.0x2+l.0x3+0.6x4+l.8x5>=70,

0.1xl+0.05x2+0.02x3+0.2x4+0.05x5>=3,

0.05xl+0.1x2+0.02x3+0.2x4+0.08x5>=10},

{xl,x2,x3,x4,x5}]

Out[1]={24.7436,{xl-0,x2—0,x3—0,

x4-*39.7436,x5-25.641}

步骤3结果分析

可以看出，用两个不同函数LinearProgramming和ConstrainedMin求得相

同的解，即：该公司可分别购买第四种饲料39.74(kg)和第五种饲料25.64(kg)

配成混合饲料，所耗成本24.74(元)为满足营养条件下的最低成本。

实验总结

这类线性规划模型还可以描述很多诸如合理下料、最小成本运输、合理分派

任务等问题，具有很强的代表性。求解线性规划的软件有很多，比如

Mathematica、Matlab、Lingo(Lindo)等软件，读者应至少掌握一个软件的使用。

思考题

一、尝试使用Matlab软件求解这个线性规划问题，比较结果，看看有何不

同。

二、现有一个木工，一个电工和一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自

己的房子。在装修之前，他们达成了如下协议：

每人总共工作10天(包括给自己家干活在内)；

每人的日工资根据一般的市价在60~80元之间；

每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等。

表2-3表示他们协商后制定出的工作天数的分配方案，如何计算出他们每人

12

应得的工资？

表2-3工作天数的分配方案

木工电工油漆工

在木工家的工作天数216

在电工家的工作天数451

在油漆工家的工作天数443

13

实验二污水控制问题

实验目的与要求

本次实验的建模过程比实验一复杂，通过本次实验，学习如何把一个实际问

题转化为线性规划模型，如何分层次建立若干个模型来解决问题，并掌握求解方

法。

实验准备

污水控制问题：如图2T,有若干个排污口流入某江，各口有污水处理站，

江面各段的流量和污水浓度分别为Qk和Ck，工厂污水的流量和浓度分别为AQk

和5,污水处理站流出的流量和浓度分别为AQk和uj。尽管国家对各种排污有

严格的标准，如果由于经济原因不可能全面达标，那么如何安排各排污点的位置

或为了保证重点城市的卫生标准，对各排污点或污水处理站制定排放标准。其中

流量单位：m：7s,浓度单位:mg/E

居民点居民点

图2-1污水处理问题

污染浓度的递推关系应该满足水质自净方程

G+T念小静「卜（2，1）

a,是与江段地理位置相关的系数，称为B后屋"为自净系数。

实验步骤

步骤1问题分析与建立模型

要考虑一种合理的安排，尽量使居民点处的江水合乎标准，这样就有一个对

排污口的位置安排问题，以及灵活考虑排污口的治理问题。比如有个排污口离居

民点较远，尽管排污超标，但通过流水的自净作用在到达居民点前已合乎标准了，

14

为了节约资金，也可暂时不予治理，或者提出一个更宽松的标准，于是我们希望

解决如下问题：

我们的目标是根据流出来的江水水质和国家规定的水质标准，来确定各排污

口的排放量和最大允许污物浓度。

在使各段检测点（居民点）的水污染不超过国家标准C的条件下，使投入污

水处理的总资金最少。

如果不考虑居民点G和G，只考虑使居民点C3符合标准C（重点控制方案）,

那么我们的标准如何制定？

该问题是在一定约束条件下的最优化问题，并且约束条件是线性的，因此可

以用线性规划模型加以解决。

为了使问题简化，我们做如下假设：

国家的污染控制标准是多指标的，我们取其中主要的一项，以污染浓度来表

/卜O

各排污口排出的污水量和污水的污染浓度一定，即AQk和Uk为常数。

污水处理即要降低污染浓度，一般来说，使污水处理的污水浓度差u-u*越大

（u*为处理后的污水浓度），要求投入越多（包括技术、设备、能耗等），这种投

入我们以资金投入计算。

为了简单起见，不妨设污水处理费用与污水浓度差u-u*成正比，与污水水量

△Qk成正比，即

Tk=rkAQk（uk-u*k）（2.2）

其中n为比例系数，它实际上表示了第k个污水处理站的每流量单位降低

每个浓度单位所需的资金。当然rk的大小可以反映污水处理的技术水平，这里

我们暂且不讨论，一般将n看作常数。

污水浓度递推关系满足水质自净方程，我们可改写为

C*k=（QkCk+AQku*k）/Qi（2.3）

Ck+1="C*k（2.4）

显然，0<13k<1,自净因子（或自净系数）与河流状态（水量、污染程度、

地质状况、温度等）有关，在某一段江水中，比如说四川省境内，由于地理位置

相差不大可以看成常数。自净因子的获得可以利用监测数据，利用参数估计的方

15

法计算获得。

我们定义单位时间流过某一断面的污染物的总量为此断面的污染通量Vk，显

然有污水治理站的流入污水通量为

vk=△QkUk(2.5)

流出通量为V*k=AQku;(2.6)

__*

,匕一匕

我们定义儿=」———(2.7)

匕

为第k个污水处理站的治理系数，显然3反映了治理能力，一般有0〈入

L=0表示未治理，而3越接近于1，则治理效果越好。治理系数也可以看成

是对污水治理要求达到的一项指标，当然，治理系数与投资也是密切相关的。

将(5)式改写为

V；=(l-Xk)Vk(2.8)

将(5)、(6)式代入(2)式可得

Vrk(Vk-V*k)=rkVkXk(2.9)

由此可见，污水处理的费用与处理系数3成正比，同污水的污染通量Vk成

正比。

设AQk比③小得多，即污水的流量比江水流量小得多，且在整个一段范围内

流量Qk为常数。即Qk+AQk=Q，则污水进入江水混合以后的浓度为

C\=0c+A。必

2+整.Q

=以+"(1-4M+方-/4(2.10)

则自净方程简化为：ck+产c*kBk(2.11)

模型A水质全面达标模型

本模型要求使江水水质全面达到质量标准，即使各污染点与江水均匀混合后

都能达到卫生标准，即C*kWC。

minT=SrkAQk(uk-u*k)(2.12)

16

C：<c

屐=£+鲁;

s.t.(2.13)

Ck+i—Ck/3

0<2,<1

模型B居民点上游水质达标模型

我们将1作为已知(污染点的污染浓度)，将治理系数入k作为变量，再由

(2.9)、(2.10)两式,则模型A可改写为

minT〃匕4(2.14)

*=1

c；<c

,C：=C1t+得一号4(91小

s.t.QQ(2.15)

CM=C*kBk

0<<1

显然，目标函数关于入k是线性函数，而约束条件关于L也是线性的，于是

本模型归结为线性规划问题得以解决。

步骤2模型求解

模型A：水质全面达标模型

12

设Ci=0.8(mg/1)Q=1000(IO1/min),5=100,♦=60,u3=50(mg/1)

12

△Q尸AQ2=AQ:)=5(IO1/min)(2.16)

3=0.9,32=0.6,r!=r2=r3=l,

C=1(每个流量单位，每降低一个浓度单位需1万元)

则r,%=500,r2V2=300,r3V3=250,CW1,

C*,=1.3-0.5X,,C*2=l.47-0.45X-0.3X2,C*3=l.32-0.27X-0.18

入2~0.25入3

因此，由计算机计算得出

Xj=0.6,X2=0.666667,X3=0

minT=500(万元)

模型B：居民点上游水质达标模型

在(2.16)式的条件下，江水在各段通过自净后，在到达居民点之前达到标

17

准，即

minT=500X,+300X2+250X3(2.17)

GWl,C2=l.17-0.45入

C3=0.882-0.27X-0.18X2^1(2.18)

用计算机求解得：X,=0.377778,X2=0,X3=0

minT=188.889(万元)

步骤3结果分析

模型B与模型A比较，由于水质控制的范围缩小了，从全面水质污染控制到

居民点(上游)水质控制，因此，治理费用也随之减少，这是充分利用了江水自

净的功能。

从模型A到模型B,都是由于控制范围的逐渐缩小而使得总费用降低。当然，

我们这里的数据是设定的，不一定合乎实际，但是计算结果反映了对江水污染控

制的规律，是符合人们的认识的，当然，在实际中可以根据实际数据，用此模型

算出各污染点的治理系数。这些数据可以作为控制污染的参考数据。L越大，

说明这个污染点的治理系数越小，治理的要求就可以降低，这样也可以分得出治

理的轻重缓急。

实验总结

在数学建模的过程中，把实际问题转化为数学问题是非常关键的一步，但是

很多同学都无从下手，本次实验在建模前首先对问题进行“机理分析”，把问题

搞清楚，并进行了合理的假设，这样既要把实际问题简单化，又没有脱离实际，

希望这一点对大家能有启发意义。

思考题

一、一奶制品加工厂生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12

小时加工成3公斤A1,或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2o根据市场需

求，生产队A1,A2能够全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16

元。现加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总劳动时间为480小

时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1,设备乙的加工能力没有限制。试

为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：

18

（1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否做这项投资？若投资，每天最多购买

多少桶牛奶？

（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小

时多少元？

（3）由于市场需求变化，没公斤A1的获利增加道30元，是否应改变生产计

划？

二、问题1中给出的A1,A2两种奶制品的生产条件，利润及工厂的“资源”

限制全都不便，为增加工厂获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3

元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1,也可以将1公斤A2加

工成0.75公斤高级奶制品B2,每公斤B1获利44元，每公斤B2获利32元，

试为该厂制定一个生产销售计划，使每天净利润最大，并讨论如下问题：

（1）若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，

应否做这项投资？若每天投资150元，可赚回多少？

（2）每公斤高级奶制品B1,B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售

计划有无影响？若每公斤B1的获利下降10%,计划应该变化吗？

综合思考题

一、某公司正在考虑在某城市开发一些销售代理业务，经过预测，该公司已

经确定了未来5年的业务量，分别为400,500,600,700和800。该公司已经

初步物色了