苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-3-2抛物线的几何性质练习含答案

3.3.2抛物线的几何性质基础过关练题组一抛物线的几何性质及其应用1.(2023江苏常州常熟中学调研)抛物线y=18x2上一点A(x0A.4B.2C.2D.12.(教材习题改编)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为()A.833.(2024江苏淮阴中学等四校联考)已知线段AB是抛物线y2=4x的一条弦,且AB的中点M在直线x=1上,则点A的横坐标()A.有最大值,无最小值B.无最大值,有最小值C.无最大值,无最小值D.有最大值,有最小值4.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)已知抛物线C的顶点是坐标原点O,焦点F在y轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若OA·A.y2=8xB.y2=4xC.x2=8yD.x2=4y5.(2023江苏南通海安实验中学期中)写出一个同时满足以下条件的抛物线C的方程:.

①C的顶点在坐标原点;②C的对称轴为坐标轴;③C的焦点到其准线的距离为34题组二抛物线几何性质的综合应用6.已知mn≠0,则方程mx2+ny2=1与ny2=mx在同一坐标系内对应的图形编号可能是()A.①④B.②③C.①②D.③④7.(2022江苏新高考基地学校联考)如图1,某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成,为了更好地利用热效能,反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面),热馈源安装在抛物线的焦点处,圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面,防护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离,已知口径长为40cm,防护罩宽为15cm,则顶点O到防护罩外端CD的距离为()图1图2A.25cmB.30cmC.35cmD.40cm8.(2024北京入学考试)已知抛物线W:y2=2px的焦点F关于原点O的对称点为A.若以F为圆心的圆经过点A且与W交于点B,C,则下面结论正确的是()A.△BOC一定是钝角三角形B.△BOC可能是锐角三角形C.△ABC一定是钝角三角形D.△ABC可能是锐角三角形能力提升练题组抛物线几何性质的综合应用1.(多选题)(2023江苏扬州月考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ⊥l,垂足为Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若∠NRF=60°,则()A.∠FQP=60°B.QM=1C.FP=4D.FR=22.(2024福建永安第九中学期中)设抛物线y2=4x的准线与x轴交于点K,过点K的直线l与抛物线交于A,B两点.设线段AB的中点为M,过点M作x轴的平行线交抛物线于点N.已知△NAB的面积为2,则直线l的斜率为()A.±223.(2023辽宁省实验中学段考)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,且AF=2FB,抛物线的准线l与x轴交于点C,AA1⊥l于点A1,若四边形AA1CF的面积为5A.x=-2C.x=-2D.x=-14.(多选题)(2024江苏南京外国语学校月考)已知A,B是抛物线C:y2=6x上的两动点,F是C的焦点,下列说法正确的是()A.直线AB过焦点F时,以AB为直径的圆与C的准线相切B.直线AB过焦点F时,AB的最小值为6C.若坐标原点为O,且OA⊥OB,则直线AB过定点(3,0)D.与抛物线C分别相切于A,B两点的两条切线交于点N,若直线AB过定点325.(多选题)(2024江西师大附中期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于A、B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.若AB=8,则点M到y轴的距离为4B.过点(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条C.P是准线上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP=4D.9AF+BF≥166.(2023江苏南通通州期中)已知抛物线M:x2=4y,圆C:x2+(y-3)2=4,在抛物线M上任取一点P,向圆C作两条切线PA和PB,切点分别为A,B,则CA·CB的取值范围是7.(2024山西运城月考)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,E的准线交x轴于点K,过K的直线l与拋物线E相切于点A,且交y轴正半轴于点P,△AKF的面积为2.(1)求抛物线E的方程;(2)过点P的直线交E于M,N两点,过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T,点H满足MT=

答案与分层梯度式解析3.3.2抛物线的几何性质基础过关练1.A把A(x0,2)代入抛物线方程中,得2=18x0因为该抛物线的对称轴为y轴,所以抛物线y=18x2上一点A(x0故选A.2.A由抛物线的对称性知等边三角形另外两个顶点关于x轴对称,设另外两个顶点的坐标分别为m2∴tan30°=33=m故这个等边三角形的边长为2m=83.故选A.3.D设A(x1,y1),B(x2,y2),易知当点A在原点时,其横坐标有最小值,为0;当点B在原点时,点A的横坐标有最大值,由x1+x故选D.4.C根据题意设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则F0,p易知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+p2,A(x1,y1),B(x2,y2联立y=kx+p2∴x1x2=-p2,y1y2=x1又OA·OB=-12,∴x1x2+y1y2=-12,∴-p2+p2故抛物线的方程为x2=8y.5.答案y2=32x或y2=-32x或x2=32y或x2解析由①②可知C的方程为抛物线的标准方程,由③可知p=34所以抛物线C的方程可以为y2=32x或y2=-32x或x2=32y或x26.B方程ny2=mx(mn≠0)表示焦点在x轴上的抛物线,④不符合要求.当m,n>0时,方程mx2+ny2=1表示椭圆或圆,抛物线的开口向右,③符合要求.当m,n<0时,方程mx2+ny2=1不表示任何图形.当m>0,n<0时,方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线,抛物线开口向左.当m<0,n>0时,方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线,抛物线开口向左,①不符合要求,②符合要求.故选B.7.C以顶点O为坐标原点,射线OF所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,设轴截面边界曲线AOB所在抛物线方程为y2=2px(p>0),则Fp2,0,Ap2所以顶点O到防护罩外端CD的距离为35cm.故选C.8.A设p>0,B位于第一象限,C位于第四象限,由题意得Fp2则圆的方程为x-p22+y2=p2,与y2=2px联立,解得则有xB=xC=xF,则BF⊥AF,则tan∠BOF=pp根据对称性得tan∠BOC=tan2∠BOF=2×21-又因为∠BOC∈(0,π),所以∠BOC∈π2,π,所以△BOC一定是钝角三角形,故又因为AF=BF=p,且AF⊥BF,所以△ABF为等腰直角三角形,故∠BAF=π4,根据对称性知∠BAC=π2,则△ABC为直角三角形,故C,D错误.故选能力提升练1.ACD如图所示,连接MF,QF,设准线l与x轴的交点为H.易知焦点F(1,0),准线l:x=-1,∴FH=2,PF=PQ.∵M,N分别为PQ,PF的中点,∠NRF=60°,∴MN∥QF,∠QFH=∠NRF=60°.∵PQ⊥l,∴PQ∥OR,∴∠FQP=∠QFH=60°,A正确.∵PQ=PF,∴△PQF为等边三角形,∵QH⊥HF,∴QF=2FH=4,∴FP=PQ=QF=4,C正确.∴MF⊥PQ,∴四边形QMFH为矩形,∴QM=FH=2,B错误.∵PQ∥OR,MN∥QF,∴四边形QMRF为平行四边形,∴FR=QM=2,D正确.故选ACD.2.A易得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,则K(-1,0).显然直线l的斜率存在且不为0,设其方程为x=ty-1(t≠0),与y2=4x联立,化简并整理得y2-4ty+4=0.由Δ=(-4t)2-16>0,得t2>1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=4,∴x1+x2=ty1-1+ty2-1=t(y1+y2)-2=4t2-2.∵M是AB的中点,∴M(2t2-1,2t).过点M且平行于x轴的直线为y=2t,与抛物线的交点为N(t2,2t),∴MN=t2-1.又∵(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(4t)2-4×4=16(t2-1),∴|y1-y2|=4t2∴△NAB的面积S=12MN·|y1-y2|=2(t2-1)3=2,得t2∴直线l的方程为x=±2y-1,即y=±22∴直线l的斜率为±22.故选A3.D解法一:由题意知Fp2,0,准线l的方程为x=-p2,设A(x1,y1),B(x2则AF=p2-x1,-y1,FB=由题意知直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=kx-p2(k≠0),代入抛物线方程,消去y,得k2x2-(k2所以x1x2=p24联立①②,得2x12-3px1+p解得x1=p或x1=p2(舍去),所以|y1|=2易知四边形AA1CF是直角梯形,所以S四边形AA1CF=将x1,|y1|的值代入,解得p=2(舍负),所以准线l的方程为x=-1,故选D.解法二:不妨设A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,则AF=p1-cos因为AF=2FB,所以p1-cosθ=2×易知四边形AA1CF是直角梯形,其中CF=p,AA1=AF=p1-cosθ=32p,AC=AFsinθ=32p·223导师点睛AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直线的倾斜角为α,则有下列结论成立:(1)x1x2=p24,y1y2=-p(2)AF=x1+p2(3)AB=x1+x2+p=2p4.ABD对于A,设线段AB的中点为M,分别过点A,B,M向准线作垂线,垂足分别为A1,B1,M1(图略),则由抛物线的定义可得AF=AA1,BF=BB1,则MM1=AA所以以AB为直径的圆与C的准线相切,故A正确.对于B,易得F32由题意可知直线AB的斜率不为0,设其方程为x=my+32,A(x1,y1),B(x2,y2联立x=my+32,yy1+y2=6m,y1y2=-9,则x1+x2=my1+32+my2所以AB=x1+x2+3=6m2+6,当且仅当m=0时,AB取到最小值6,故B正确.对于D,先证抛物线C在点y026联立x=y03y-y026,可知方程组只有一个解,即直线x=y0可知抛物线C在点A,B处的切线方程分别为x=y1联立x=y1结合B可得y1y26=-9对于C,由题意可知直线AB的斜率不为0,设其方程为x=my+a,Ay126,y1则OA=若OA⊥OB,则OA·OB=y12y2236+y1y联立x=my+则y1y2=-6a=-36,解得a=6,此时Δ=(-6m)2+4×36=36m2+144>0,符合题意,所以OA⊥OB,则直线AB过定点(6,0),故C错误.故选ABD.5.CD由题意得p=2,则抛物线C:y2=4x,所以焦点F(1,0),准线方程为x=-1,对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=AF+BF=x1+x2+2=8,解得x1+x2=6,又M为线段AB的中点,所以Mx1+x对于B,若过点(0,1)的直线斜率不存在,则该直线为y轴,易知y轴与抛物线C相切;若过点(0,1)的直线的斜率为零,则直线的方程为y=1,联立y此时直线y=1与抛物线C只有一个交点;若过点(0,1)的直线的斜率存在且不为零,设该直线的方程为y=kx+1,联立y=kx+1,y2=4x即直线y=x+1与抛物线C只有一个公共点,故满足条件的直线共有三条,故B错误;对于C,过点Q作准线的垂线,垂足为Q',则QQ'=QF,设准线与x轴交于点D,则△PQ'Q∽△PDF,因为FP=4FQ,所以则Q'Q=32,则xQ=QQ'-1=12,所以|yQ|=即Q'D=2,所以PD=42,则PF=22+(42)对于D,设直线AB的方程为x=my+1,由x=my+1,显然Δ>0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,则x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=(y所以1AF所以9AF+BF=(9AF+BF)1=10+BFAF+9AF当且仅当BFAF=9AFBF,即AF=43,BF=4时取等号,故6.答案(-4,0]解析由已知得圆心C(0,3),半径r=2.设点P(x0,y0),则x02=4yPC2=x02+(y0−3)2=在Rt△PAC中,cos2∠PCA=CA易知∠ACB=2∠PCA,则cos∠ACB=2cos2∠PCA-1=8(则CA·CB=|CA||因为y0≥0,所以当y0=1时,CA·CB取得最大值,为328-4=0,又32所以CA·7.解析(1)由题可知Fp2,0,准线方程为x=-因为直线l的斜率存在且不为0,所以设l的方程为x=my-p2联立y2=2px,x因为l与E相切,所以Δ=4p2(m2-1)=0,所以m=1或m=-1,因为直线l与y轴正半轴交于点P,所以m=1,因此y2-2py+p2=0,所以y=p,所以Ap2故AF⊥KF,所以S△AKF=12p2=2,所以p=2(负值舍去),所以抛物