苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5-3-2极大值与极小值练习含答案

5.3.2极大值与极小值基础过关练题组一函数极值的概念及求解1.(多选题)(2022江苏盐城响水二中期中)下列关于函数极值的说法正确的是()A.导数值为0的点一定是函数的极值点B.函数的极小值可能大于它的极大值C.函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值D.若f(x)在区间(a,b)上有极值,则f(x)在区间(a,b)上不单调2.(2024湖北部分名校期中)函数f(x)=sin2xA.1个极大值点和1个极小值点B.1个极大值点和2个极小值点C.2个极大值点和1个极小值点D.2个极大值点和2个极小值点3.(2024天津红桥期中)已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数g(x)=xf'(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是()A.f(x)有两个极值点B.f(x)有两个极小值C.f(0)为f(x)的极小值D.f(-1)为f(x)的极小值4.(2022江苏南通海门中学期末)已知函数f(x)=3-2xA.155.(多选题)(2024江苏镇江期中)已知函数f(x)=-x3+x+1的导函数为f'(x),两个极值点为α,β,则下列结论正确的是()A.f(x)有三个不同的零点B.α+β=0C.f(α)+f(β)=1D.直线y=x+1是曲线y=f(x)的切线6.(2024重庆外国语学校月考)函数f(x)=(sinx+cosx)·sin2x的极小值为.

7.(2024黑龙江鸡西实验中学月考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是8x-y-2=0.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的极值.题组二含参函数的极值问题8.(2024四川宜宾第一中学模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8,则f(1)=()A.-4B.16C.-4或16D.16或189.(多选题)(2024河南南阳期中)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极小值点,则下列关系可能成立的是()A.a>0且a>bB.a>0且a<bC.a<0且a<bD.a<0且a>b10.(多选题)(2024江苏镇江丹阳期中)若函数f(x)=aex-12x2A.eB.2C.1D.011.(2024上海育才中学调研)若函数f(x)=alnx+bx+cx2①bc>0;②ab>0;③b2+8ac>0;④ac<0.12.(教材习题改编)若函数f(x)=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是.

13.函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a>0).(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)的极值.题组三函数极值的综合应用14.(2024山西吕梁阶段性测试)已知等比数列{an}的各项均为正数,a5,a6是函数f(x)=13x3−52x2+ex+1的极值点,则lnaA.5B.6C.10D.1515.(2022江苏南通基地学校联考)已知函数f(x)=cosωx+π6A.(0,5]B.(0,5)C.0,16.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则f'(1)f'(0)17.(2024四川兴文第二中学月考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)=2c有三个实数根,求实数c的取值范围.能力提升练题组函数极值的综合应用1.(2024江苏扬州宝应曹甸高级中学月考)已知函数f(x)=sinωx(ω>0)在-3A.32.(2024江苏启东质检)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),若不等式f(x)<0的解集为{x|x<m+1且x≠m},则f(x)的极小值是()A.-13.(2024四川成都第七中学期中)已知函数f(x)=kxlnx-x22-kx(k∈R)在(0,eA.[0,e)B.(-∞,0)∪e22C.(-∞,0)∪e224.(多选题)(2024江苏淮阴中学、姜堰中学等三校阶段性测试)已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)在[0,2π]上有且仅有4个零点,则下列各选项正确的是()A.f(x)在0,πB.ω的取值范围是23C.f(x)在(0,2π)上有2个极小值点D.f(x)在(0,2π)上有3个极大值点5.(多选题)(2024江苏苏大附中月考)已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex,则下列结论正确的是()A.若f(x)无极值点,则f(x)没有零点B.若f(x)无零点,则f(x)没有极值点C.若f(x)恰有一个零点,则f(x)可能恰有一个极值点D.若f(x)有两个零点,则f(x)一定有两个极值点6.(2024山东烟台期中)若过点(2,m)有三条直线与函数f(x)=(x-1)3-3x+1的图象相切,则实数m的取值范围为.

7.(2024辽宁大连金州高级中学期中)已知函数f(x)=cos2ωx-2sinωxcosωx-sin2ωx-22(ω>0)在区间0,π28.(2023江苏无锡期中)已知f'(x)为函数f(x)=x3-mx2+x+518m2(m∈R)的导函数,且函数f'(x)有两个不同的零点x1,x2,设g(m)=f(x1)+f(x2),则g(m)的极值为9.(2023江苏连云港期末)已知函数f(x)=2lnx-x2与g(x)=x+ax(1)求实数a的值;(2)若∀x1,x2∈1e,3,不等式f

答案与分层梯度式解析5.3.2极大值与极小值基础过关练1.BD2.C由正弦函数的性质可知,当f(x)取极大值时,2x+π6=π2+2kπ,k∈Z,即极大值点为x=kπ+π又x∈(0,5),∴x=π6或x=7当f(x)取极小值时,2x+π6=3π2+2kπ,k∈Z,即极小值点为x=kπ+2π3,k∈Z故f(x)在区间(0,5)上有2个极大值点和1个极小值点.故选C.3.B由题图可得当x∈(-∞,-2)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-2,0)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=-2时,f(x)有极小值;当x=0时,f(x)有极大值;当x=1时,f(x)有极小值,故B正确.故选B.方法总结由图象判断函数y=f(x)的极值时,要抓住两点:(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性,两者结合可得极值点.4.Bf'(x)=-2(x2+a)-2x(3-2x)(x2+a)25.BDf'(x)=-3x2+1,令f'(x)=0,解得x=±33当x∈-∞,-3当x∈-3当x∈33所以当x=-33时,函数f(x)有极小值,为f-当x=33时,函数f(x)有极大值,为f33=1+2当x→+∞时,f(x)→-∞,所以f(x)在R上有且仅有一个零点,A错误;f(α)+f(β)=1-23当x=0时,f'(0)=1,f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,D正确.故选BD.6.答案-2解析设t=sinx+cosx=2sinx+π4由t2=(sinx+cosx)2=1+sin2x,得sin2x=t2-1.令g(t)=t(t2-1)=t3-t,t∈[-2,2],则g'(t)=3t当t∈-33,3所以g(t)在-2,-33上单调递增,在-33,7.解析(1)f'(x)=3x2+2ax+b,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f'(1)=3+2a+b,又f(1)=a+b+3,所以f'(1)=3+2(2)由(1)知f(x)=x3+2x2+x+2,f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1),令f'(x)=0,得x=-13当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈-1,-1当x∈-1所以f(x)极大值=f(-1)=2,f(x)极小值=f-18.Af'(x)=3x2+2ax+b,若函数f(x)在x=-1处有极值8,则f(-1)=8且f'(-1)=0,即-1+当a=3,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,此时x=-1不是极值点,故舍去,当a=-2,b=-7时,f'(x)=3x2-4x-7=(3x-7)(x+1),当x>73或x<-1时,f'(x)>0,当-1<x<7故f(x)=x3-2x2-7x+4,故f(1)=-4,故选A.解题模板已知函数极值,确定解析式中的参数时,可根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组求解,求解后要注意代入检验.9.AC由已知得f'(x)=3a(x-a)x-令f'(x)=0,得x=a或x=a+2要使x=a为函数f(x)的极小值点,则当a>0时,满足a+2b3<a,解得a>b,当a<0时,满足a+2b3>a,解得a<b,故选AC.10.BCf'(x)=aex-x-2,由f(x)有两个不相等的极值点,知f'(x)=0有两个不相等的实数根,即a=x+2记g(x)=x+2ex故当x>-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x<-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)的极大值为g(-1)=e,又当x>-2时,g(x)>0恒成立,故0<a<e,故选BC.11.答案②③④解析由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax∵f(x)既有极大值又有极小值,∴f'(x)在(0,+∞)上有两个变号零点,又a≠0,∴方程ax2-bx-2c=0有两个不相等的正实数根,设为x1,x2,于是Δ=b2+8ac12.答案(-∞,-1)解析由已知得f'(x)=ex+a.当a≥0时,f'(x)>0,f(x)在R上单调递增,无极值.当a<0时,令f'(x)=0,得x=ln(-a),当x>ln(-a)时,f'(x)>0,当x<ln(-a)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减,在(ln(-a),+∞)上单调递增,所以函数f(x)存在极小值点x=ln(-a),由题意得ln(-a)>0,解得a<-1,所以实数a的取值范围是(-∞,-1).13.解析(1)当a=1时,f(x)=lnx+x2-3x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=1x令f'(x)>0,得0<x<12或x>1;令f'(x)<0,得12<x<1,所以函数f(x)的单调递增区间为0,1(2)函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=1x令f'(x)=0,得x=1或x=12①当a>12时,0<12a<1,易得函数f(x)在0,所以函数f(x)在x=12a处取得极大值,为f②当0<a<12时,1<12a,易得函数f(x)在(0,1),1所以函数f(x)在x=1处取得极大值,为f(1)=-a-1,在x=12a处取得极小值,为f③当a=12时,12a=1,则f'(x)=综上,当a>12时,f(x)的极大值为-ln(2a)-4a+14a,极小值为-a-1;当0<a<114.A由已知得f'(x)=x2-5x+e,因为a5,a6是函数f(x)的极值点,所以a5,a6是f'(x)=0的两根,所以a5a6=e,又{an}是等比数列,所以a1a10=a2a9=…=a5a6=e,则lna1+lna2+…+lna10=ln(a1a2…a10)=lne5=5,故选A.15.A由已知得f'(x)=-ωsinωx+由函数f(x)在区间0,π6上无极值,知f(x)在区间∴-ωsinωx+π6≥0或-ωsinωx+当-ωsinωx+π6≥0时,sin∵0<x<π6,∴π当-ωsinωx+π6≤0时,sin∵0<x<π6,∴π6<ωx+π616.答案1解析由题意得m≠0,且f'(x)=3mx2+2nx+p,由题图可知,函数f(x)的极大值点是x=2,极小值点是x=-1,即2,-1是f'(x)=0的两个根,则f∴f'(0)=p=-6m,f'(1)=-6m,∴f'(1)17.解析(1)f'(x)=3x2+2ax+b,由题意得f此时f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),当x<-23或x>1时,f'(x)>0,当-23<x<1时,f'(x)<0,即x=-所以a=-12(2)由(1)知f(x)=x3-12x2-2x+c,且f(x)在-∞,-23当x=-23时,f(x)取得极大值,为f-23因为方程f(x)=2c有三个实数根,所以-32+c<2c<所以实数c的取值范围是-3能力提升练1.D因为f(x)在-3所以-3π4ω又因为f(x)在[0,4π]上只有一个极大值点,所以π2≤4πω<5π2,解得18综上,ω的取值范围为18,582.C因为不等式f(x)<0的解集为{x|x<m+1且x≠m},所以f(m)=f(m+1)=0,且x=m为f(x)=0的二重根,所以f(x)=(x-m)2[x-(m+1)],则f'(x)=2(x-m)[x-(m+1)]+(x-m)2=(x-m)·(3x-3m-2),则当x>3m+23所以f(x)在3m+23所以f(x)在x=3m+23处取得极小值,为f3m3.Cf'(x)=klnx+k-x-k=klnx-x,由题意知f'(x)在(0,e2)上只有一个变号零点,设g(x)=f'(x)=klnx-x,则g'(x)=kx若k=0,则f(x)=-x22,此时f(x)在(0,e若k<0,则g'(x)<0在(0,e2)上恒成立,g(x)单调递减,当x→0+时,g(x)>0,因此g(e2)=2k-e2<0,即k<e2若k≥e2,则g'(x)>0在(0,e2)上恒成立,g(x)单调递增,当x→0+时,g(x)<0,因此g(e2)=2k-e2>0,即k>e22,所以k≥e若0<k<e2,则当0<x<k时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当k<x<e2时,g'(x)<0,g(x)单调递减,画图可知g(x)max=g(k)=klnk-k,当x→0+时,g(x)<0,因为g(x)在(0,e2)上只有一个变号零点,所以g(k)>0且g(e2)≥0,所以klnk-k>0,2k综上,k的取值范围是(-∞,0)∪e22,+∞.4.BC当x∈[0,2π]时,ωx+π6因为f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点,所以π6+2πω即ω的取值范围是2312,2912设t=ωx+π6,当x∈(0,2π)时,t∈π6,π6+2πω,由正弦函数的性质知y=sint在π由B选项分析可知ω∈2312,2912,不妨取ω=而y=sint在π6,π2上单调递增,在π5.AD由已知得f'(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex,令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+a+b=0,若f(x)无极值点,则Δ=(a+2)2-4(a+b)=a2-4b+4≤0,即a2-4b≤-4,对于y=x2+ax+b,Δ=a2-4b≤-4<0,则y=x2+ax+b>0,所以f(x)=(x2+ax+b)ex>0,没有零点,故A正确;若f(x)无零点,则a2-4b<0,此时a2-4b+4<4,当a2-4b+4>0时,f'(x)先正后负再正,f(x)先增后减再增,故有极值点,故B错误;若f(x)恰有一个零点,则a2-4b=0,此时a2-4b+4=4>0,f'(x)先正后负再正,f(x)先增后减再增,有两个极值点,故C错误;若f(x)有两个零点,则a2-4b>0,此时a2-4b+4>4>0,f'(x)先正后负再正,函数f(x)先增后减再增,有两个极值点,故D正确.故选AD.6.答案(-5,-4)解析由已知得f(x)=x3-3x2,f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-6x,设切点坐标为(x0,x0则切线方程为y-(x03−3x0因为切线过点(2,m),所以m-(x03−3x02)=(3x02-6x依题意知直线y=m与曲线y=-2x3+9x2-12x有三个交点.设g(x)=-2x3+9x2-12x,则g'(x)=-6x2+18x-12=-6(x-1)(x-2).令g'(x)<0,得x<1或x>2;令g'(x)>0,得1<x<2,所以g(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上单调递减,在(1,2)上单调递增,当x=1时,g(x)取得极小值,为g(1)=-5;当x=2时,g(x)取得极大值,为g(2)=-4,故实数m的取值范围为(-5,-4).7.答案25解析f(x)=cos2ωx-2sinωxcosωx-sin2ωx-2=cos2ωx-sin2ωx-22令2ωx-π4=t,因为ω>0,且x∈0,π2,所以-π4<所以原题可转化为g(t)在-π4,解得2512<ω≤114,故ω的取值范围为8.答案3解析由题意可知f'(x)=3x2-2mx+1=0有两个不同的根x1,x2,所以x1+x2=2m3,x1x则g(m)=x13=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-m[(x1+x2)2-2x1x2]+x1+x2+59m=2m3=827m=-427m3