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定理10.6设函数且其导数为可微,此时,

称为全导数.10.4多元复合函数的求导法则证令对任意的其中所以由(1)式,对任意的有令于是,对任意的

由(3)式,有又因

又因因此,当

有

且综上所述,有

所以,当

即

例1

设

求这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.yuvx解可用对数求导法计算.定理10.6可在两个方面进行推广.如则1.中间变量多于两个的情况.则复合函数偏导数存在,且有下列求导公式具有连续偏导数,的情形：2.中间变量可以是多元函数.

函数复合图uv类似地再推广,中间变量多于两个的情形复合函数在对应点的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:当时,有设函数具有连续偏导数,则全微分

称为一阶全微分的形式不变性

无论z是自变量u,v的函数或中间变量u,v的函数,它的全微分形式是一样的.

通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便.一阶全微分形式不变性的实质:解例2

设

而求全导数解例3

设

而求

例4设函数

f(u,v)可微分,而求函数的全微分与偏导数.解由一阶全微分的形式不变性,有故

对于抽象(即无具体表达式)的多元复合函数,我们通常用一种简便记号表示其偏导数,可以省却设中间变量的麻烦.

设

f是多元函数,用表示对其第k个变量的偏导数,是先对第k个变量再对第

j个变量的二阶偏导数,等等.例如,对函数z=f(u,v),有解例5设其中f

具有一阶连续偏导数,求解例6设其中f

具有二阶连续偏导数,求于是解例7设其中f(t)二阶可导,g(u,v)具有二阶偏导数,求而故例8设

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