高中数学必修2-第2课时 平面与平面垂直

第2课时平面与平面垂直

h预习导学:挑战自我，点点落实

［学习目标］

1.掌握平面与平面垂直的定义.

2.掌握平面与平面垂直的判定与性质定理.

3.理解线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系.

［知识链接］

1.直线与平面垂直的判定定理

定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么这条直线就与这个

平面垂直.

推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面;

2.直线与平面垂直的性质定理

定理：垂直于同一个平面的两条直线壬任.

aX.a

符号表示：}=〃〃〃.

［预习导引］

1.两个平面垂直的判定定理

(1)定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直.

(2)图形表述：如图所示.

(3)符号语言：bl.a,buB08工a,

2.面面垂直的性质定理

一两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平

文字语言

面垂直

a邛、

aC/3=l

符号语言

aua

4-L/>

丁

图形语言4i_/

①面面垂直=>线面垂直

作用

②作面的垂线

h课堂讲义j重点难点，个个击破___________________________________________________________

要点一平面与平面垂直判定定理的应用

例1如图，A3是。。的直径，抬垂直于。。所在的平面，C是圆周上异于A,

B的任意一点，求证：平面附C_L平面P8C

证明连结AC,BC,贝!]BCLAC,

又必，平面ABC,

J.PALBC,而必IAAC=A,.,.BUL平面出C,

又BCu平面PBC,：.平面PAC1平面PBC.

规律方法面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，

只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.

跟踪演练1如图，四棱锥P-ABC。的底面是正方形，PO_L底面ABCD,点

E在棱PB上.求证：平面AEC_L平面

证明•.•P。，平面ABC。，ACu平面ABC。，

：.PDLAC.

•..四边形ABC。为正方形，

：.BD±AC.

又，：PD,8。为平面PO8内两条相交直线，

.•.AC_L平面PDB.

又「ACu平面AEC,

二平面AECJ_平面PDB.

要点二面面垂直性质定理的应用

例2如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平

面.

解已知a_L%aC£=l.

求证：Z±y.

证明法一在y内取一点尸，作R1垂直a与y的交线于A,尸8垂直”与了的

交线于8,则孙，a,PB邛.

•：l=aC}：.ILPA,IA.PB.

又出AP3=P,且PBuy,

;.Z±/.

法二在a内作直线m垂直于a与7的交线，在夕内作直线n垂直于4与y的交

线，

Va±y,/3-Ly,.".m.Ly,.'.m//n.

又〃u£,mQ8,:.mHJ3.

又mua,aQ=/,.,.m//1,

规律方法面面垂直的性质是作平面的垂线的重栗方法，因此，在有面面垂直的

条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质.

跟踪演练2如图所示，在三棱锥P—ABC中，出，平面A3C,平面出8_L平面

PBC.

求证：BC.LAB.

证明在平面RU?内，作AD±PB于D.

•.・平面以B_L平面PBC,

且平面必平面PBC=PB,

，AO_L平面PBC.又BCu平面PBC,：.AD1BC.

又：以，平面ABC,BCu平面ABC,

：.PA±BC,

又•.,RinAD=A,

.•.BC_L平面PAB.

又ABu平面PAB,：.BCLAB.

要点三线线、线面、面面垂直的综合应用

例3如图所示，在四棱锥P-ABCO中，底面ABC0是边长为a的菱形，且ND4B

=60。，侧面以。为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD

(1)若G为AO边的中点，求证：BG_L平面融。；

(2)求证：

证明(I)'.•在菱形ABCD中,

G为A。的中点，ZDAB=60°,

：.BG±AD.

又平面以。，平面ABCD,

平面B4OA平面ABCD=AD,BGu平面ABCD,

，BG_L平面PAD.

(2)连结PG,如图，

VAMD为正三角形，

G为A。的中点，：.PG±AD.

由（1）知BG_LAO,又PGABG=G,

平面PGB.；PBu平面PGB,：.ADLPB.

规律方法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是

利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利

用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：（1）两个平

面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线.

跟踪演练3如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，NABC=NBCD

=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面底面ABCD

%与8。是否相互垂直？请证明你的结论.

解出与8。相互垂直.证明如下：

如图，取BC的中点O,连结PO,AO.t：PB=PC,：.PO1BC,

又侧面底面ABCD,

平面PBCC平面ABCD=BC,POu平面PBC,

，「。，底面ABC。，

.•.P0L8D在直角梯形A8CO中，

易证△ABOg△BCD,

ZBAO=ZCBD,ZCBD+ZABD=90°,

：.ZBAO+ZABD=90°,：.AO1BD,

又PonAO=o,

.•.80,平面B4O,又必u平面B40,J.BDLPA,

即出与BO相互垂直.

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1.若平面。，平面6平面£_L平面一则（）

A.a//yB.a±y

C.a与7相交但不垂直D.以上都有可能

答案D

解析以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；

一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.

2.已知LLa,则过/与a垂直的平面（）

A.有1个B.有2个

C.有无数个D.不存在

答案C

解析由面面垂直的判定定理知，凡过/的平面都垂直于平面a,这样的平面有

无数个.

3.已知长方体ABCD-ABGOi,在平面ABi上任取一点M,作MELAB于E,

贝女）

A.ME_L平面ACB.MEu平面AC

C.ME〃平面ACD.以上都有可能

答案A

解析由于MEu平面AB,平面ABiD平面AC=AB,且平面ABi_L平面AC,

ME±AB,则ME_L平面AC.

4.如图，设P是正方形ABCD外一点，且附，平面ABCD,则平面PAB与平

面P8C、平面外。的位置关系是（)

A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

B.它们两两垂直

C.平面附B与平面P8C垂直，与平面外。不垂直

D.平面%8与平面P8C、平面玄0都不垂直

答案A

解析,.•朋，平面48。。，：.PALBC.

XBCLAB,R\DAB=A,

.•.8。_1_平面PAB.

,.'BCu平面PBC,

二平面平面PAB.

由4"以，ADLAB,PAHAB^A,

得AOJ_平面PAB.

•.•A£>u平面PAD,

，平面附。，平面PAB.

由已知易得平面PBC与平面玄。不垂直，故选A.

5.下列四个命题中，正确的序号有.

①a〃夕，尸_Ly,则a_Ly；②a〃下,《〃%则a〃了；③a_L£,yJL/3,则a_L>；④a_L£,

川,则a//y.

答案①②

解析③④不正确，借助于长方体，易知若a，/?,川,则a,y可平行，可垂

直，也可相交且不垂直.

课堂小结

1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联

系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：

面面垂直的定义

I线♦垂直增簧割线面垂直翟鬻面面嚏h

2.运用面面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，基本作法是过其中一个平

面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.

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一、基础达标

1.空间四边形A8CD中，若AOL3C,BDLAD,那么有（）

A.平面ABCJ_平面AOC

B.平面ABC,平面AO3

C.平面ABC,平面。BC

D.平面ADC1.平面

答案D

AD±BC〕、

IA。，平面BC。

解析AD±BD;=TH,-"=平面AOC_L平面08c.

又AOu平面AOCj

BCCBD=BJ

2.已知必，矩形ABC。所在的平面（如图）.图中互相垂直的平面有（)

A.1对

C.3对D.5对

答案D

角星析'：DA1AB,DALPA,ABCyPA=A,

平面布氏.•.8。，平面PAB.

又易知A3,平面PAD,

...OC,平面PAD.

，平面雨。，平面ABCD,平面阴。_L平面PAB,平面P8C_L平面PAB,平面

出8,平面A3C。，平面PDCU平面出。，共5对.

3.设平面a,平面小在平面a内的一条直线。垂直于平面尸内的一条直线儿

则（）

A.直线。必垂直于平面尸

B.直线匕必垂直于平面a

C.直线a不一定垂直于平面夕

D.过a的平面与过Z?的平面垂直

答案C

解析当人=6（门夕时，必有a，夕，当人不是a与£的交线时，直线a不一定垂

直于平面民

4.三个平面两两垂直，它们的交线交于一点。，点P到三个面的距离分别是3,

4,5,则0P的长为（）

A.5小B.5y[2

C.3小D.24

答案B

解析•.•三个平面两两垂直，

,可以将P与各面的垂足连结并补成一个长方体，

：.0P即为对角线，

/.OP=^32+42+52=V50=5V2.

5.平面。_1_平面尸，aC§=l,〃uB,〃_!_/,直线〃z_La,则直线相与"的位置关

系是.

答案平行

解析,:a邛,aC\/3=l,nu8,〃_!_/,.'.nA.a.

又〃2_La,.'.m//n.

6.a,4是两个不同的平面，加，〃是平面a,4外的两条不同直线，给出四个结

论：①机_1_〃；②a_LQ；③〃_L夕；④

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题

答案①③④今②或②③④二①

解析当〃?_!_〃时，有〃〃a或〃ua....当尸时，a_L尸，即①③④今②.

或当时，有机〃尸或〃?u.,.当“_L尸时〃?_!_〃，即②③④0①.

7.如图，四棱锥P—A3C。中，抬，平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB_LA£>,

CDYAD,求证：平面PDC,平面BAD

证明平面ABC。，COu平面ABC。，

AMlCD,

又COLA。，R\HAD=A,

.♦.C。，平面PAD.

又COu平面PDC,

二平面PQC,平面PAD.

二'能力提升

8.已知平面a_L平面夕，aC夕=/,点AGot,AH，直线AB〃/,直线AC_U,直

线〃z〃a,m//p,则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）

A.AB//mB.AC^-m

C.AB//(iD.AC±J3

答案D

解析如图，AB//l//m,

AC±l,m//l=^ACLm,A3〃/oA8〃£.故选D.

9.如图，A,B,C,。为空间四点，在△ABC中，AB=2,AC=BC=yf2,等边

三角形ADB以AB为轴运动，当平面平面ABC时，则CD=.

答案2

解析取的中点E,连结DE,CE,因为△AO8是等边三角形，所以DE1AB.

当平面AD8,平面ABC时，

因为平面AO8A平面ABC=A8,

所以。及L平面ABC.

又CEu平面ABC,可知OE_LCE.

由已知可得。£=/，EC=\,

在RtADEC中，CD=y]DE2+CE2=2.

10.如图所示，已知两个正方形ABCO和。CEF不在同一平面内，M,N分别为

AB,DF的中点.若CD=2,平面ABC。平面DCEF,则线段MN的长等于

答案V6

解析取CO的中点G,连结MG,NG.

因为四边形ABC。，DCEF为正方形,且边长为2,

所以MGLCO,MG=2,NG=也

因为平面ABCD1.平面DCEF,

所以MG,平面DCEF,可得MGLNG,

所以MN=\)MG2+NG2=V6.

11.如图，△ABC为正三角形，平面ABC,BD//CE,且CE=C4=23D,

M是EA的中点，求证：

(1)DE=DA；

(2)平面BOM，平面ECA；

(3)平面£>EA_L平面ECA.

证明(1)如图，取EC的中点R，连结OF.

•.,EC_L平面ABC,BCu平面ABC,

易知DF//BC,

J.DFLEC.

在RtAEFD和Rt/XOBA中，

；EF=；EC,EC=2BD,

：.EF=BD,又FD=BC=AB,

/.RtAEFD^RtAD5A,故

⑵取CA的中点N,连结MN,BN,

则MN//EC,且MN=*C.

'：EC//BD,

J.MN//BD,

，N点在平面BDM内.

•.•EC_L平面ABC,

:.ECLBN,

又CALBN,ECQCA=C,.•.BN,平面ECA.

「BN在平面MNBD内，

平面MNBO_L平面ECA,即平面BDML平面ECA.

(3)由(2)知四边形MNBD为平行四边形，

ADM//BN,8NL平面CAE,

DM1,平面ECA,又OMu平面DEA,

二平面OE4,平面ECA.

三'探究与创新

12.已知：如图，平面巩8,平面ABC,平面平面ABC,AE±¥ffiPBC,

E为垂足.

(1)求证：抬，平面ABC；

(2)当E为△P3C的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.

证明(1)在平面ABC内取一点。，作。/UAC于凡

•.•平面%C,平面ABC,且交线为AC,

二。尸，平面PAC.

又•.•附u平面