天津市西青区张窝中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

天津市西青区张窝中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共15小题）1．下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．设，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．已知，则和同向的单位向量是（

）A． B． C． D．4．在中，已知，则等于（

）A．1 B． C．2 D．45．设，向量且，则（

）A． B． C． D．106．在中，内角所对应的边分别是，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知向量且向量方向相反，则可以是（

）A． B． C． D．8．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．9．如图，在一条河上有两座桥和，已知，又测得，则河宽为（

）A． B． C． D．10．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．11．已知向量不共线，，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（

）A．8 B．4 C．2 D．113．若点E是的中线上的一点（不含端点），且，则的最小值为（

）A．4 B．8 C．6 D．1214．已知在中，，则的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形15．在中，，，，点满足，则（

）A．0 B．2 C． D．4二、填空题（本大题共6小题）16．已知在上的投影向量为，则的值为.17．已知的内角为所对应的边分别为，且．则角的大小为.18．设向量，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sinB=，c=．20．在中，若，则角等于．21．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为.三、解答题（本大题共4小题）22．已知，（1）求；（2）设与的夹角为，求的值；（3）若向量与互相垂直，求k的值.23．已知中是直角，，点是的中点，为上一点.(1)设，，当，请用，来表示，.(2)当时，求证：.24．在中,内角所对的边分别为,已知,,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积为,求的周长25．已知在中，的对边分别为，满足．(1)若，求的面积；(2)已知向量，且，求的值．

参考答案1．【答案】A【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；时，只说明向的长度相等，无法确定方向，所以B，C均错；时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D错.故选A.2．【答案】B【详解】依题意，，不共线，A选项，不存在，使得，所以和可以作为基底.B选项，由，得，解得，所以和共线，不能作为基底.C选项，由，得，方程组无解，所以和可以作为基底.D选项，不存在，，所以和可以作为基底.故选B.3．【答案】A【详解】因为，所以和同向的单位向量是.故选A.4．【答案】C【解析】根据余弦定理化角为边即可求解.【详解】由余弦定理可得：故选C.5．【答案】C【详解】由于，所以，解得，所以，所以.故选C.6．【答案】D【详解】由余弦定理可知，即，整理得，解得或（舍去）.故选D.7．【答案】D【详解】因为向量且向量方向相反，当时，，不满足题意，当时，，解得，且，所以，，且，经检验只有满足题意，故选D.8．【答案】A【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，又因为，所以.所以与的夹角为.故选A.9．【答案】C【详解】设，根据海伦公式有,解得.故选C.10．【答案】A【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.11．【答案】B【详解】对于A，令，即，则有，无解，因此不存在t，使得，即三点不共线，A错误；对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N，因此，，三点共线，B正确；对于C，，令，即，则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误；对于D，令，即，则有，无解，因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误.故选B.12．【答案】C【详解】因为，所以，又因为，所以,又因为是的中点，所以,故选C.13．【答案】B【详解】解：因为为三角形的中线，所以，所以，又，，三点共线，所以且，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．故选B．14．【答案】D【详解】由正弦定理有，因为，故，故，即，又，故或，即或，故的形状为等腰三角形或直角三角形故选D.15．【答案】A【详解】由题可得：，，所以由于，，，则，，所以，故选A.16．【答案】【详解】设与的夹角为，.17．【答案】【详解】由正弦定理得，，因为，所以，所以，因为，所以，所以.18．【答案】且【详解】因为的夹角为锐角，所以解得，又当时，不符合题意，所以且.19．【答案】3【详解】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.详解：由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.20．【答案】【详解】因为，所以，所以.由余弦定理可得：，又为三角形内角，所以.21．【答案】【详解】因为，所以向量与的夹角和向量与的夹角相等，设向量与的夹角为，因为，所以，即，整理得，解得，，如图，过点作垂线，垂足为，建立如图所示的直角坐标系，易知，，，，则，，，，，，，因为，所以当时，取最小值，最小值为.22．【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】解：；故；因为向量与互相垂直，所以，即，因为，，所以23．【答案】(1)，(2)证明见解析【详解】（1）∵，，点是的中点，∴，∴，∵.（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，设，∴点坐标为，另设点坐标为，∵点是的中点，∴点坐标为，又∵，∴，∴，，所以，，所以，∴.24．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；（2）根