湘教版高中数学必修第一册第5章5-1-1角的概念的推广课件

5.1.1角的概念的推广第5章三角函数5.1任意角与弧度制学习任务核心素养1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(重点)2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(重点、难点)通过正角和负角理解角的大小、旋转方向，通过角的终边所在的象限的讨论，培养数学抽象与逻辑推理核心素养．如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时：(1)摩天轮所转过的角度大小是否会超360°？(2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？必备知识·情境导学探新知知识点1任意角(1)角的旋转定义自然语言角可以看作是平面内一条射线绕着其____从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形符号语言O为顶点，射线OA为始边，OB为终边，α＝∠AOB图形语言

端点类型定义图示正角按______方向旋转形成的角

负角按______方向旋转形成的角

零角射线OA没有作任何旋转，终边OB与OA重合

(2)角的推广与分类——正角、负角和零角逆时针顺时针思考1．终边和始边重合的角一定是零角吗？[提示]

不一定，还有可能是±360°，±720°，…．体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大于90°的角都是钝角． (

)(2)零角的终边与始边重合． (

)(3)从13：00到13：10，分针转过的角度为60°． (

)(4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大． (

)×××√体验2．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．图(1)图(2)390°－150°60°知识点2象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点为________，角的始边为x轴的非负半轴，角的____落在第几象限，就说这个角是第几______；如果角的终边在______上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．坐标原点终边象限角坐标轴思考2．“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？[提示]

锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．体验3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角． (

)(2)第二象限角是钝角． (

)(3)225°是第三象限角． (

)√√×知识点3终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝___________，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[提示]

终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．α＋k·360°思考3．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？体验4．与610°角终边相同的角可以表示为(其中k∈Z)(

)A．k·360°＋230°

B．k·360°＋250°C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°B

[610°＝360°＋250°，故选B.]√类型1任意角的概念【例1】

(1)下列结论：①始边相同而终边不同的角一定不相等；②小于90°的角是第一象限角；③钝角比第三象限角小；④角α与－α的终边关于x轴对称．其中正确的结论为________(填序号)．关键能力·合作探究释疑难①④(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝__________．－40°(1)①④

(2)－40°

[(1)①正确；②错误；如α＝－30°是第四象限角；③错误，如α＝－110°；④正确．(2)由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°．]反思领悟

理解角的概念的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．[跟进训练]1．(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(

)A．150°

B．－150°

C．390°

D．－390°(2)若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(

)A．120° B．－120°C．－60° D．60°√√

类型2终边相同的角的表示及应用【例2】

(1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来；(2)写出终边落在直线y＝－x上的角β的集合S，S中适合不等式－360°<β<360°的元素有哪些？

反思领悟

1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[跟进训练]2．已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．[解]

因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．(1)最小的正角为315°．(2)最大的负角为－45°．(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°．

(2)如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．√以终边相同的角为切入点，思考如何表示某个区域内的角？

(2)[解]

①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[母题探究]若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(实线为包括边界，虚线为不包含边界)的角的集合如何表示？[解]

在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．反思领悟

1．表示区域角的3个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°．第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．

提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．

√(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．

(2)[解]

在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是(

)A．45° B．90°C．180° D．270°学习效果·课堂评估夯基础√23题号415B

[根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．]2．下列各个角中与角2024°终边相同的角的度数是(

)A．－149° B．679°C．321° D．224°23题号415√D

[因为2024°＝360°×5＋224°，所以与2024°终边相同的角是224°．]3．角－870°的终边所在的象限是(

)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限23题号45√1C

[∵－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C．]4．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．23题号451－670°

[由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°．]－670°5．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是______________________________________________．23题号451{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}回顾本节知识，自我完成以下问题：1．任意角的分类有哪几种？[提示]

按旋转方向分为：正角、负角和零角；按角