高中数学 4-5-2利用数量积计算长度和角度课后训练 湘教版必修2

4.5.2利用数量积计算长度和角双基达标(限时20分钟)1．下列命题正确的个数是 ()．①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0②0·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0③eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))④0·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0A．1 B．2 C．3 解析①④正确，②③错．答案B2．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，(a－b)⊥a，则a与b的夹角是 ()．A．30°B．45°C．60°D．90°解析(a－b)·a＝0，a2－a·b＝0，∴a·b＝|a|2＝1.∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.答案B3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()．A.eq\r(7) B.eq\r(10) C.eq\r(13) D．4解析|a＋3b|＝eq\r(a2＋6a·b＋9b2)＝eq\r(1＋6cos60°＋9)＝eq\r(13).答案C4．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为解析由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由(3a＋2b)·(ka－b)＝0⇒3ka2＋(2k－3)a·－2b2＝0，∴12k－18＝0，∴k＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)5．若两个向量a，b满足|a＋b|＝1，|a－b|＝eq\f(1,2)，则a·b＝________.解析(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝eq\f(1,4)，两式相减，得a·b＝eq\f(3,16).答案eq\f(3,16)6．已知|a|＝|b|＝1，且|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|，求|3a－2b|.解由已知|a＋b|2＝3|a－b|2，即(a＋b)2＝3(a－b)2.∴a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b∵|a|＝|b|＝1，∴a2＝b2＝1.从而有2＋2a·b＝3(2－2a·∴a·b＝eq\f(1,2).∴|3a－2b|2＝(3a－2b)2＝9a2－12a·b∴|3a－2b|＝eq\r(7).综合提高限时25分钟7．如图，非零向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且BC⊥OA，C为垂足，设向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa，则λ的值为 ()．A.eq\f(a·b,|a|2) B.eq\f(a·b,|a||b|)C.eq\f(a·b,|b|2) D.eq\f(|a||b|,a·b)解析eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λa－b.∵BC⊥OA，∴(λa－b)·a＝0，λ|a|2＝a·b，λ＝eq\f(a·b,|a|2).答案A8．已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，则|3a＋b|等于 A.eq\r(3) B．2 C．2eq\r(3) D．3解析由|3a－2b|＝3，得9|a|2－12a·b＋4|b|∴a·b＝eq\f(1,3)，∴|3a＋b|＝eq\r(（3a＋b）2)＝eq\r(9|a|2＋6a·b＋|b|2)＝2eq\r(3).答案C9．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．解析b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a|·|b|cosθ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ(θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，又|b|≥0，∴0≤|b|≤1.答案[0，1]10．在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝8，则这个三角形的形状是________．解析eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝4×4×cosA＝8，∴cosA＝eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3)，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC为等边三角形．答案等边三角形11．已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.求：(1)|2a－b(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a与a＋b的夹角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．解(1)因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4×16－4×4×2×(－eq\f(1,2))＋4＝84，所以|2a－b|＝2eq\r(21).(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2＝42－4×2×(－eq\f(1,2))－2×22＝12.(3)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×2×(－eq\f(1,2))＋4＝12，所以|a＋b|＝2eq\r(3).又a·(a＋b)＝a2＋a·b＝42＋4×2×(－eq\f(1,2))＝12，设a与a＋b的夹角为θ，则由cosθ＝eq\f(a·（a＋b）,|a|·|a＋b|)＝eq\f(12,4×2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，可得a与a＋b的夹角θ为eq\f(π,6).(4)因为(a－b)⊥(λa＋b)，所以(a－b)·(λa＋b)＝0，即λa2＋(1－λ)a·b－b2＝0，也就是16λ－4(1－λ)－4＝0，解得λ＝eq\f(2,5).12．(创新拓展)已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k、t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．解∵a⊥b，∴a·b＝0.又由已知，[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t