高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题七 专题检测（七） 理

专题检测卷(七)概率与统计(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·江苏新海模拟)某校高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为1500、1200、1000，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，知高一年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查的人数为A．185 B．135C．125 D．110【解析】由题意得，抽取比例为eq\f(75,1500)＝eq\f(1,20)，所以三个年级共抽查的人数为eq\f(1,20)×3700＝185.故选A.【答案】A2．(·广东湛江模拟)已知相关变量x、y的关系如下表所示：x12468y0122.53.1要表示两者的关系，以下四个函数中拟合效果最好的是A．y＝x－1B．y＝x2－2x＋1C．y＝log2xD．y＝2－eq\f(2,x)【解析】将各数据代入，得到y值最相近的函数是y＝log2x.故选C.【答案】C3．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关【解析】夹在带状区域内的点，总体呈上升趋势的属于正相关；反之，总体呈下降趋势的属于负相关．显然选C.【答案】C4．(·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为A.eq\r(\f(6,5)) B.eq\f(6,5)C.eq\r(2) D．2【解析】∵a＋0＋1＋2＋3＝1×5，∴a＝－1.∴方差为eq\f(1,5)(4＋1＋0＋1＋4)＝2.【答案】D5．(改编)某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间[4,5)上的数据的频数为A．15 B．20C．25 D．30【解析】在区间[4,5)的频率/组距的数值为0.3，而样本容量为100，所以频数为30.故选D.【答案】D6．(·辽宁丹东模拟)甲、乙两名同学在五次测试中的成绩用茎叶图表示如图，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙，则下列结论正确的是A．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定D．x甲＜x乙；乙比甲成绩稳定【解析】由题意得，x甲＝eq\f(1,5)×(68＋69＋70＋71＋72)＝eq\f(1,5)×350＝70，x乙＝eq\f(1,5)×(63＋68＋69＋69＋71)＝eq\f(1,5)×340＝68，所以x甲＞x乙．又seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×(22＋12＋0＋12＋22)＝eq\f(1,5)×10＝2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×(52＋0＋12＋12＋32)＝eq\f(1,5)×36＝7.2，所以甲比乙成绩稳定．故选B.【答案】B7．(改编)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为A．12 B．20C．24 D．36【解析】设图中阴影部分的面积为S.由几何概型的概率计算公式知，eq\f(S,12×5)＝eq\f(600,1000)，解之得S＝36.故选D.【答案】D8．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦，已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20,0.10,0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为A．1000,0.50 B．800,0.50C．1000,0.60 D．800,0.60【解析】由已知可得第二组的频率为1－(0.25＋0.2＋0.1＋0.05)＝0.4，由于其相应的频数为400，故总体容量为eq\f(400,0.4)＝1000，体重正常的频率即为第二小组和第三小组频率之和，即：0.4＋0.2＝0.6.【答案】C9．(改编)设b和c表示先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为A.eq\f(17,36) B.eq\f(19,36)C.eq\f(21,36) D.eq\f(25,36)【解析】基本事件总数为6×6＝36，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2eq\r(c).当c＝1时，b＝2,3,4,5,6；当c＝2时，b＝3,4,5,6；当c＝3时，b＝4,5,6；当c＝4时，b＝4,5,6；当c＝5时，b＝5,6；当c＝6时，b＝5,6.所以目标事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为eq\f(19,36).故选B.【答案】B10．(改编)用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是A．5 B．6C．7 D．8【解析】设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15＋x＝126，∴x＝6.故选B.【答案】B11．(2010·山东临沂模拟)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,10)C.eq\f(3,25) D.eq\f(12,125)【解析】由题意知，小正方体两面涂有油漆的块数为96.由古典概型的概率得，任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是eq\f(96,1000)＝eq\f(12,125).故选D.【答案】D12．(·山东临沂模拟)下列四个命题：①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；④在推断H：“X与Y有关系”的论述中，用三维柱形图，只要主对角线上两个柱形高度的比值与副对角线上的两个柱形高度的比值相差越大，H成立的可能性就越大．其中真命题的个数是A．1 B．2C．3 D．4【解析】①r有正负，应为|r|越大，相关性越强．②正确．③R2越大，拟合效果越好．④应为高度积的差的绝对值越大，H成立的可能性就越大．故选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上)13．(·福建)某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是________.【解析】若x≤4，∵平均分为91，∴总分应为637，∴637＝89＋89＋92＋93＋92＋91＋90＋x，∴x＝1.若x>4,637≠89＋89＋92＋93＋92＋91＋94＝640，不合题意．【答案】114．(·辽宁)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020h,1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.【解析】第一、二、三分厂抽取的产品件数分别为25、50、25，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为eq\f(980×25＋1020×50＋1032×25,100)＝1013.【答案】101315．(·广东湛江模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率为________．【解析】如图所示，给出的可行域即为正方形及其内部．而所求事件所在区域为一个圆，两面积相比即得概率为eq\f(π,4).【答案】eq\f(π,4)16．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向调查者提出了两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口时你是否闯红灯？要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答问题(1)；否则就回答问题(2)．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实作了回答．结果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可估计这600人中闯红灯的人数是________．【解析】由于抛掷硬币出现正面和反面的概率都是eq\f(1,2)，因此我们可认为这600人通过抛掷硬币，其中有300人回答了问题(1)，另外300人回答了问题(2)；对于问题(1),600人中每个人学号为奇数的概率都是eq\f(1,2)，因此回答问题(1)的300人中，答“是”的约有150人，故回答问题(2)的300人中，答“是”的人数为180－150＝30(人)，即300人中约有30人闯红灯，由此可估计600人中闯红灯的人数为60.【答案】60三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)(·银川模拟)某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．【解析】(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为eq\f(24,50)＝eq\f(12,25)；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为eq\f(19,50).(2)K2＝eq\f(50×(18×19－6×7)2,25×25×24×26)＝eq\f(150,13)≈11.5，∵K2＞6.635，∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．【答案】(1)eq\f(12,25)eq\f(19,50)(2)略18．(12分)(·广东东莞二模)某班有学生56名，其中男生32名，女生24名．现决定从该班学生中抽取7名学生的研究性学习综合评价等级得分(成绩分为1～5分的五个档次)作为样本．(1)如果按性别比例分层抽样，则男、女生分别抽取多少人？(2)若这7位同学的研究性学习综合评价等级得分如下表：等级得分12345人数01123①求样本的平均数及方差；②用简单随机抽样方法从这7名学生中抽取2名，他们的得分分别为x，y，求|y－x|＝2的概率．【解析】(1)男生人数∶女生人数＝32∶24＝4∶3.则抽取男生人数为7×eq\f(4,7)＝4(人)，则抽取女生人数为7×eq\f(3,7)＝3(人)．(2)①样本的平均数＝eq\f(0×1＋1×2＋1×3＋2×4＋3×5,7)＝4；样本的方差＝eq\f(1,7)[(2－4)2＋(3－4)2＋2×(4－4)2＋3×(5－4)2]＝eq\f(8,7).②由于样本中有2个4分，3个5分．不妨将2个4分编号为41,42，将3个5分编号为51,52,53，则基本事件有(2,3)，(2,41)，(2,42)，(2,51)，(2,52)，(2,53)，(3,41)，(3,42)，(3,51)，(3,52)，(3,53)，(41,42)，(41,51)，(41,52)，(41,53)，(42,51)，(42,52)，(42,53)，(51,52)，(51,53)，(52,53)，共21个，满足条件|y－x|＝2的基本事件有(2,41)，(2,42)，(3,51)，(3,52)，(3,53)，共5个．故满足条件的概率为eq\f(5,21).(若基本事件写为42个，满足条件|y－x|＝2的基本事件写为10个，则解答也正确)【答案】(1)男生4人女生3人(2)①4eq\f(8,7)②eq\f(5,21)19．(12分)(·广东揭阳调研)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．【解析】(1)基本事件个数与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应．因为S中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数为n＝25.事件A包含的基本事件数共5个：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．所以P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知为偶数的基本事件数为13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲赢的概率为eq\f(13,25)，乙赢的概率为eq\f(12,25).所以这种游戏规则不公平．【答案】(1)eq\f(1,5)(2)不是，理由略(3)不公平，理由略20．(12分)(·江苏四市联考)甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹．(1)求空弹出现在第一枪的概率；(2)求空弹出现在前三枪的概率；(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3,4,5的弹孔P，Q，R，第四枪瞄准了三角形PQR射击，第四个弹孔落在三角形PQR内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小)．【解析】设四发子弹编号为0(空弹),1,2,3，(1)设第一枪出现“空弹”的事件为A，有4个基本事件，则：P(A)＝eq\f(1,4).(2)解法一前三枪出现“空弹”的事件为B，则第四枪出现“空弹”的事件为eq\o(B,\s\up6(－))，由(1)知P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,4)，P(B)＝1－P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).解法二前三枪共有4个基本事件{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，满足条件的有三个，则P(B)＝eq\f(3,4).(3)Rt△PQR的面积为6.分别以P，Q，R为圆心、1为半径的三个扇形的面积和eq\f(π,2)，设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C，P(C)＝eq\f(6－\f(1,2)π,6)＝1－eq\f(π,12).【答案】(1)eq\f(1,4)(2)eq\f(3,4)(3)1－eq\f(π,12)21．(12分)(·福州模拟)甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏．(1)求在前3次抛掷中甲得2分，乙得1分的概率；(2)若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率．【解析】(1)掷一枚硬币三次，列出所有可能情况共8种：(上上上)，(上上下)，(上下上)，(上下下)，(下上上)，(下上下)，(下下上)，(下下下)；其中甲得2分、乙得1分的有3种，故所求概率p＝eq\f(3,8).(2)在题设条件下，至多还要2局，情形一：在第四局，硬币正面朝上，则甲积3分、乙积1分，甲获胜，概率为eq\f(1,2)；情形二：在第四局，硬币正面朝下，第五局硬币正面朝上，则甲积3分、乙积2分，甲获胜，概率为eq\f(1,4).由加法公式，甲获胜的概率为eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).【答案】(1)eq\f(3,8)(2)eq\f(3,4)22．(14分)(·江苏南通调研)某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成