广西桂林、崇左、贺州、河池、来宾市2022届高三联合高考模拟考试数学(理)试题(含答案解析)_第1页
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文档简介

广西桂林、崇左、贺州、河池、来宾市2022届高三联合高

考模拟考试数学(理)试题

学校:姓名:班级:考号:

一、单选题

1.已知集合4=卜|》之—2},B={x\-2<x<1},则下列关系正确的是()

A.A=BB.AcBC.B^AD.AQB=0

2.若复数z满足z(l-3i)=l-7i,则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知命题p:*«0,万),sinx()<0,命题q:Vx>l,log2x>0,则下列命题为真命

题的是()

A.。人9B.P7f

C.TP")D.

22

4.椭圆三+21=1的离心率为(

49

A.@B.-

C.叵D.必

3333

2x-y-l>0

5.若x,y满足,x+y-5>0,则x+2y的取值范围是()

y21

A.[6,+00)B.[8,+oo)

C.[3,8]D.[3,6]

6.2021年元旦期间,某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数

X;(/=l,2,3,4)(单位:辆)均服从正态分布N(600,b2),若

P(500<X,.<700)=1(/=1,2,3,4),假设四个收费口均能正常工作,则这四个收费口每

天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为()

A8816「65

A.-D.—C.-u.—

9272781

7.三棱锥P—ABC中,R4_L平面ABC,ACLBC,AC=BC=\,PA=#),则该

三棱锥外接球的表面积为

A.煞^B-岳SC.飘崛D.4®

8.中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌,其中雪上项目金牌为5枚,冰上

项目金牌为4枚.现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组,要求雪上项目和冰上项目都

至少有2人参加,则不同的报名方案有()

A.35B.50C.70D.100

9.若正数“、6满足l+log0a=2+log/6=log«S-〃),则的值为()

A.-3>/2B.-2拒C.2+D.3亚

10.已知函数〃x)=2cos+0,0<<p<的图象的相邻两条对称轴间的距离

为2万,"0)=1.则下列选项正确的是()

A.co=—

2

Ojr

B.的图象的对称轴方程为》=版■-子(fceZ)

jrjr

C./(x)的单调递减区间为k7T--,k7T+-(丘Z)

Arr

D./(x)21的解集为4br-5,4br(*eZ)

ii.平面直角坐标系中有两点a(-i,o)和Q(l,。),以为圆心,正整数i为半径的圆

记为A,,以。2为圆心,正整数/为半径的圆记为冬.对于正整数左(14ZV5),点匕是

圆儿与圆纥”的交点,且匕,P2,A,舄,A都位于第二象限,则这5个点都在同一

()

A.直线上B.椭圆上

C.抛物线上D.双曲线上

12.某一年是闰年,当且仅当年份数能被400整除(如公元2000年)或能被4整除而

不能被100整除(如公元2012年).闰年的2月有29天,全年366天,平年的2月有

28天,全年365天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日.狄更

斯的出生日是()

A.星期五B.星期六

C.星期天D.星期一

二、填空题

13.已知菱形ABCQ的边长为2,E是8c的中点,则通.而=.

14.二项式展开式中的常数项是.

15.已知锐角AABC的面积为9,AB=AC,点。在边AC上,且CZ)=2D4=Jid,

则8。的长为.

16.在三棱锥ABCZ)中,AB-CD=5/5,AD=BC=\[\3)AC=BD—ViO>当平

面a与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时,则三棱锥ABCD被平面«所截得的截面面

积最大值为.

三、解答题

17.某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价,从该校学生中选出100人

进行统计,其中对教师教学水平满意的学生人数为总数的60%,对教师管理水平满意

的学生人数为总数的75%,对教师教学水平和教师管理水平都满意的有40人.

(1)完成对教师教学水平和教师管理水平评价的2x2列联表,并判断是否有97.5%的把

握认为对教师教学水平满意与教师管理水平满意有关;

对教师管理水平满意对教师管理水平不满意合计

对教师教学水平满意

对教师教学水平不满意

合计

(2)若将频率视为概率,随机从学校中抽取3人参与此次评价,设对教师教学水平和教

师管理水平都满意的人数为随机变量X;求X的分布列和数学期望.

n^ad-bc)~

参考公式:K2=其中〃=a+/7+c+d.

(“+6)(c+d)(“+c)e+d)'

参考数据:

2

P(K>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.已知数列{%}的各项均为正数,记5“为{〃,,}的前“项和,从下面①②③中选取两

个作为条件,证明另外一个成立.

①数列{%}是等比数列;②数列{、/iF}是等比数列;③%=4(1-4)

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分

19.如图,在四棱锥P-ABCO中,底面A8CO为正方形,外,底面ABC。,

PA^AB,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点.

(1)求证:平面AE/U.平面PBC;

(2)试确定点F的位置,使平面AEF与平面PCC所成的锐二面角为30°.

20.已知圆G:(x-l)2+(y+l)2=:和抛物线C2:/=4y,P®,%)是圆C上一点,过

P作抛物线C2的两条切线A,8分别为切点.

(1)当x0=g时,求切线/AP8的方程;

(2)求证:存在两个而,使得△R4B面积等于速.

2

21.已知函数/(x)=(x-l)e,-;or2(awR)

⑴讨论〃x)的单调性;

(2)若广(X)有两个零点,求实数。的取值范围.

22.在平面直角坐标系X。)中,直线/的参数方程为:2G为参数),以坐

y=2l

标原点。为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为

psin26-4cose=0.

(1)求直线/的普通方程和曲线c的直角坐标方程;

(2)己知1(3,0),直线/与曲线C交于6,C两点.求I已用一其闾|的值.

23.己知/(力=20―1|+卜+4|.

⑴解不等式〃x)W2+3x;

(2)若VxeR,关于x的不等式/(X)-3卜+4|W2病一”成立,求实数⑺的取值范围.

参考答案:

1.c

【解析】

【分析】

由子集的定义即可求解.

【详解】

解:因为集合4={》|*2—2},B={x|-2<x<l},

所以根据子集的定义可知B^A,

故选:C.

2.D

【解析】

【分析】

由z(l-3i)=l-7i,利用复数除法得到z,再利用复数的几何意义判断.

【详解】

解:因为z(l—3i)=l—7i,

l-7i(l-7i)(l+3i)H2.

所h=口F=(l-3i)(l+3i)=T-51>

所以则z在复平面内对应的点位于第四象限,

故选:D

3.D

【解析】

【分析】

判断命题。、q的真假,利用复合命题的真假可判断各选项中复合命题的真假,即可得出

合适的选项.

【详解】

因为对㈤,sinx>0,故P为假命题,

因为丫=log?x在(0,+8)上单调递增,所以当x>l时,log2X>log/=0,故夕为真命题,

所以〃入4、P~r、->(pv<7)为假命题,-PM为真命题.

答案第1页,共18页

故选:D.

4.C

【解析】

【分析】

根据椭圆方程求二,b2,c2,再求离心率.

【详解】

由椭圆方程可知=9,从=4,所以一后=5,

椭圆的离心率e=£=@.

a3

故选:C

5.A

【解析】

【分析】

作出不等式组表示的平面区域,令x+2y=z,即尸一畀+会利用直线截距的几何意义

即可求解.

【详解】

2x-y-l>0

解:不等式组,x+y-520表示的平面区域如图阴影所示,

”1

联立=解得交点4(4,1),

答案第2页,共18页

1z

令x+2y=z,gpy=--x+-,

由图可知,当直线x+2y=z经过点A(4,l)时在y轴上的截距|•最小,截距没有最大,

所以卜入m=4+2xl=6,z没有最大值,

所以x+2y的取值范围是[6,+o>),

故选:A.

6.D

【解析】

【分析】

根据正态曲线的对称性结合题意求出每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率,再利

用对立事件的概率公式可求得答案

【详解】

根据正态曲线的对称性,每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率

P(X;>700)=|[l-P(500<X;<700)]=^H-1j=1(i=l,2,3,4),

65

所以这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率P=1-

8?

故选:D.

7.A

【解析】

【详解】

试题分析:分析可知球心在尸8的中点.因为ACLBC,AC=BC=1,所以AB=&.

所以尸8=也.球的半径/?=4.所以此球的表面积为S=4万斤=5万.故A

正确.

考点:三棱锥的外接球.

8.B

【解析】

【分析】

根据要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加,可将6名同学分为2+4和3+3两类,通

过分步乘法计数原理,分别求出每一类组合有多少种,再由分类加法计数原理可得答案.

答案第3页,共18页

【详解】

由题干可知,要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加,则组合为:2+4和3+3两类,

(1)若为“2+4”组合,将6名同学分为两组,一组2人,另一组4人,有种分组方

式;将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有A;种,由分步乘法计数原理,则该

组合有C:C-&=30种;

(2)若为“3+3”组合将6名同学分为两组,一组3人,另一组也为3人,有种分组

8

方式,将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有用种,由分步乘法计数原理,则

攵*=20种;

该组合有

由分类加法计数原理,则不同的报名方式有30+20=50种;

故选:B.

9.A

【解析】

【分析】

令1+log应a=2+loga6=logn(a-。)=%,将对数式转化为指数式,利用指数塞的运算法

则即可求解.

【详解】

解:1+log^a=2+log^b=log^(a-b)^k,

则a=(后t,h=(5『a-b=(V6)*,

所以_L=U=T府=-(⑸x(后=/-

1a~b~ab~(&产x(石产-(血尸百尸一

故选:A.

10.D

【解析】

【分析】

由题意,求出函数/(x)的解析式,然后根据余弦型函数的图象与性质即可求解.

答案第4页,共18页

【详解】

解:对A:因为函数〃x)=2cos(0x+e)(0>O,O<e<])的图象的相邻两条对称轴间的距

离为2%,所以。=M=g,故选项A错误;

4万2

对B:因为/(0)=1,所以cose=;,因为0<。<],所以9=(,

所以/(x)=28S+令,x+2=%乃(ZcZ)得x=2攵万一包(AreZ),

123y/233

即f(x)的图象的对称轴方程为X=2Z乃-胃(keZ),故选项B错误;

ITn27r47r

对C:2kjr<—x+—<2k7t+7i(ZcZ)得---<x<^k7i+—(攵wZ),

2444

即〃X)的单调递减区间为4k7r--,4k7r+—(ZwZ),故选项C错误;

对D:令2cos(gx+(41,得cos(gx+?4g,

jr\TT7t47r

所以2k兀一巴4-x+巴42k加+2(JteZ),解得4%万——<x<4k^(keZ),

32333

44

所以f(x)Wl的解集为必万-7,4&4(AeZ),故选项D正确.

故选:D.

11.D

【解析】

【分析】

分别求得A和%的方程/+V+1=公-2x和V+丁+1=(%+1)2+2x,联立方程组求得

》=-翠,代入4,求得丁=变士丝化简得到3f-y2=1,即可求解

4-164

【详解】

由题意,圆儿的方程为(x+l>+)2=公,B|]x2+y2+l=k2-2x,

圆4+1的方程为(x-I)2+y2=(k+1)2,B|Jx2+y2+l=(k+1)2+2x,

联立可得公一2X=(Z+1)2+2X,即4X=/-(%+1)2=-(2Z+l),

.,2R+1

解nZ得FX=----.

4

yb_L1

代入A的方程得(一」^+1)2+y2=k2,即(―^)2+V=公,

44

答案第5页,共18页

解得y_(U)02_972%+^12左2+12%-9

41616

又由/=(一竺±1)2=4X+4A+1

416

4r+4Z+l12/+12女-93

所以3X2-/=3X-------------——,

16164

21

即入v上%所以这5个点都在同一个双曲线上

故选:D.

12.A

【解析】

【分析】

由题意,这210年有52个闰年,158个平年,从而计算出总天数,再根据一周有7天,利

用周期性即可求解.

【详解】

解:因为2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日,

所以小说家狄更斯出生于1812年2月7日,其中1812年为闰年,1900不是闰年,又

210=52x4+2,

所以这210年有52个闰年,158个平年,

所以共有52*366+158x365=76702天,

因为76702=10957x7+3,

所以狄更斯的出生日是星期五,

故选:A.

13.-3

【解析】

【分析】

利用平面向量的线性运算,将危,后>转化为6,品>,进而求得答案.

【详解】

->1—>—>|—>->—>T1—>—>—>1->

依题意AE=A3+58C=AB+5A。,ED=EC+CD=-BC+BA=-AB+-ADf因为菱形

—1—-1

ABC。的边长为2.所以AE.ED=—ADAB=-x22-22=-3.

44

答案第6页,共18页

DC

A

故答案为:-3.

14.540

【解析】

【分析】

首先写出二项式展开式的通项,再令6-2厂=0求出,再代入计算即可;

【详解】

解:二项式展开式的通项为令

6-2r=0,解得,=3,所以展开式的常数项为=54。-

故答案为:540

15.4

【解析】

【分析】

先求出A8=AC=±E3,利用面积为9求出sinA=0,在△•£>中,由余弦定理求出

25

BD.

【详解】

因为CD=2D4=9,所以A£)=®,所以4C=CO+D4=2叵,则

22

AB=AC=等,所以{率)-sinA=9,所以sinA=g,0<A<y,所以

3

cosA=—.

5

在△AB£>中,由余弦定理得萼)+(粤)-2x萼x率x|=16,解得

BD=4.

故答案为:4

16.3

答案第7页,共18页

【解析】

【分析】

每组对棱棱长相等,所以可以把三棱锥ABCO放入长方体中,设长宽高分别为x,y,z,

求出x,N,z,由线面平行得线线平行,证明当E,F,G,"是所在棱中点时面积最大,按截面

与哪对棱平行分类讨论求得截面面积的最大值.

【详解】

因为每组对棱棱长相等,所以可以把三棱锥ABCO放入长方体中,设长宽高分别为x,y,

z,则+y?=BJx2+z?=+z?=9,则x=l,y=2,z=3.

当平面a与三棱锥A8CO的对棱A8,均平行时,截而为四边形EFGH,

AB/IFGIIEH,CD//EF//HG,

A17PC'Af

设等=f(O<f<l),则芸=等=bEF=tCD,同理E”=(l一/HEF(或其补

ACCDAC

角)是异面直线AB,CO所成的角,

SEFCH=EF-EHsinNHEF=t(i-t)ABCDsinNHEF,其中ABOsinZHEF为定值,

r(l-/)=-r2+/=-G-1)2+^/=g时,"1—r)取得最大值,即截面EFG”面积最大,此

时及F,G,"是所在棱中点,

由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半g孙=1,

13

同样地,当平面。与三棱锥A3C。的对棱AC,3。均平行时,截面最大面积为]立=5;

当平面a与三棱锥A8CZ)的对棱A。,8c均平行时,截面最大面积为;yz=3.

故答案为:3.

17.(1)表格见解析,有;

答案第8页,共18页

(2)分布列见解析,1.

【解析】

【分析】

(1)根据题意,对教师教学水平满意有60人,对教师管理水平满意有75人,从而可完成

2'2列联表,根据参考公式求出K?的值,再根据参考数据即可作出判断;

(2)由题意,对教师教学水平和教师管理水平都满意的概率为|,且乂~813,|),

从而可得X的分布列,根据期望公式即可求解X的数学期望.

(1)

解:由题意可得关于对教师教学水平和教师管理水平评价的2x2列联表:

对教师管理水平满意对教师管理水平不满意合计

对教师教学水平满意402060

对教师教学水平不满意35540

合计7525100

100x(40x5-20x35/_50

K-a5.556>5.024,

60x40x75x259

所以有97.5%的把握认为教师教学水平满意与教师管理水平满意有关;

(2)

解:对教师教学水平和教师管理水平都满意的概率为且随机变量X的所有可能取值为

0,1,2,3,

其中P(x=o)=g)P(x=l)=c;

P(X=3)=斗=3

5J125

所以随机变量X的分布列为:

X0123

答案第9页,共18页

2754368

P

125125125125

则E(X)=Ox*+lx'+2x至+3><f-=6

1251251251255

18.答案见解析

【解析】

【分析】

选①②作条件证明③时,设6区=的",结合%和5”的关系,求出/=1,进而求证

生=4。-4);

选①③作条件证明②时,根据等比数列求和公式,歹U出s="'卜(1')

进而求证数列{、/TS?}是等比数列;

选②③作条件证明①时,设JF="",结合%和S”的关系,求出“2=1,然后可证数列

{%}是等比数列.

【详解】

解:选①②作条件证明③:

设V^=aq"(a>°,q>。),则1-S,,=a2q2",S“=l-a";

当"=1时,4=S[=1-〃

222

当〃22时,«n=S„-5n.1=(l-aV")-(l-aV--)=aV--(l-9);

因为{q}也是等比数列,所以4=1-泡2也满足上式

22

l-«V=«(l-9).解得〃=1.

22

所以4=/"2(l-q2),则4=|_g2,a2=q(l-q).

所以外=4。一4).

选①③作条件证明②:

因为%=4。一%),{%}是等比数歹!],

答案第10页,共18页

所以公比q="=i-q,

q

所叱-(一)[

即Jl-S,=,Jl-S“+I="(l-aj'"

M+l

因F-g=Ji-q.

所以{、A二S?}是等比数列.

选②③作条件证明①:

设>/^=的"(。>°,4>°),则Sn=l-«V".

当〃=1时,4=S[=1-a1q2

当“22时,4=S“-Si=(1-0_a2q2,.-2)="2/”一2。一炉)

因为生=0(1一4),所以a,20-q2)=(i_a24:!)/q2,

解得/=1.

所以。“=/-2(1一步,心]

所以{4}为等比数列.

19.(1)证明见解析;

(2)点尸为BC中点.

【解析】

【分析】

(1)证明PA_LBC.ABLBC,推出8CJ_平面P4B.得到AE_LBC.证明AE_LP8,得

到4£,平面P8C.然后证明平面诋,平面P8C.

(2)分别以而,而,而的方向为x轴,>轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐

标系A-孙z,设正方形A8CZ)的边长为2,求出为平面的'的法向量,平面PC。的法向

量,利用空间向量的数量积求解即可.

答案第11页,共18页

(1)

•.•附,平面ABC。,BCu平面ABC。,

:.PA±BC,

•••ABC。为正方形,

J.ABA.BC,

又PAQAB=A,PA,ABu平面勿B,

.,.8C_L平面PAB,

,AEu平面PAB,

:.AELBC,

':PA=AB,E为线段PB的中点,

J.AEVPB,

又PBCBC=B,PB,8Cu平面PBC,

.•.AE_L平面P8C,又AEu平面AEF,

所以平面AE/」平面PBC;

以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-DZ

设正方形A8CO的边长为2,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,

0)P(0,0,2)E(1,0,1),

__________ULK1

/.A£=(1,0,1),PC=(2,2,-2),P£>=(0,2,—2),

设尸(2,2,0)(0<;.<2),

.,.祈=(2,2,0),

答案第12页,共18页

设平面AEF的一个法向量为〃;师如马),

n-AE=O

则<

n-AF=O

.卜+4=0

[2%)+4y=0,

[x,=-A,

令y/=2,则{,

••n=(—4,2,兄),

设平面尸CO的一个法向量为a=(々,%,22),

rlI\mPC=0

"[痴而=0,

邛+必-厂。,令则尸:,

[%-2=0[z2=\

.•.而=(0,1,1),

•平面AEF与平面PCO所成的锐二面角为30°,

irr

..”八〃|2+2|73

,cos300=的工=—p—/=—,

,??|卜\f2x42A2+42

解得公1,

・•・当点尸为8C中点时,平面AE尸与平面PCD所成的锐二面角为30°.

20.(l)y+]J±产(x—g)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(I)当时,可得%=-1,设切线方程为y+l=&(x-g),联立方程组,结合△=(),

求得&的值,即可求解;

(2)设直线9:丁-%=占(》一为),联立方程组,由△=(),得到月-尢%+%=0,同理得

到片-&%+%=0,得出尢,网时方程公-5+%=()的两个实数根,求得&1+&,柩2,进

答案第13页,共18页

而求得A(2K,公)和8(2右,后),得到&械=勺手,求得AB的方程,求得

y=^-x-y„,进而求得S,“3,再由片-4%=3与(%-1)2+(%+1)2=;,结

/(%)=片+x:+19x0-13,和零点的存在定理,即可求解.

(1)

解:由题意,圆。1:*-1)2+(),+1)2=(和抛物线6:丁=4丫,

当Xo=g时,可得%=T,

设切线方程为y+l=%(x-;),代人/=4y,可得X?-4—+4=0,

贝IJ△=16公--16=0,解得&=二~,

4

所以切线PAPB的方程为尸1=坦普*-;).

解:因为P(%,%)是圆G上一点,所以G:(x—1)2+(尸1尸=;,

设直线R4方程为y—%=K(x—%),代入d=4y,

整理得x?—4%x—4(%—用与)=0,则A=16Q+16(%-勺/)=0,

即6-4为+为=0,

同理,直线PB方程为丫一%=内(》一天),则有片-&%+%=。,

2

可得&,h时方程k-kxo+yo=O的两个实数根,

所以匕+&=%,桃2=%

因为R4与抛物线相切,则1-4A-4(%-3o)=O中,xA+xA=4^,

则4=2人,所以A(2K,6),同理8(2%,后),所以原尸,一与二勺磬

2々1—2k22

直线A8方程为>一形=^!^。一2匕),即y-k;=^lx-k/2,

所以丫吟》-%,

则IAB|=^1+^12k「2k2\=-J(K+&)2-4k#2=.&+4为,

答案第14页,共18页

.|焉一4%|

又由P*o,为)到直线AB的距离d=^—―y,

所以S®=;IA例d=g病-4%)3=乎,

所以x:-4%=3,与(%-1尸+(%+1)2=:,

联立得(X。一l)(x;+xj+19%-13)=0,所以与=1或片+耘+19x0—13=0,

设f(x0)=片+x:+19%-13,显然/(;)<0,/(1)>0,/(1)>0,

设8⑴—+犬+必-闭可得/(力=3/+2%+19

当可得g'(x)>0,所以g(x)单调递增,

即/(X。)在g,1]上递增,所以/(不)=%+片+19%-13在§,1)上有唯一零点

所以存在两个号,使得aPAB面积等于也.

2

21.(1)答案见解析

(2)a<0

【解析】

【分析】

(1)求出导函数尸(x)=x(e*-a),对。分aVO、0<a<l>a=\,。>1四种情况讨论即可

求解;

(2)由(1)问结论,对。分"0、4=0、。=1、0<a<K”>1讨论即可得答案.

(1)

解:f\x)=ev+(x-l)ev-ax=x(ex-a),

若“VO,则当xe(-<»,0)时,f\x)<0,当xw(0,y)时/"(x)>0,

所以/(x)在(7,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增;

若。>0,由/''(x)=0得x=0或x=lw,

①若4=1,则/'(x)=x(e'-l)20,所以/(X)在(Y»,4W)上单调递增;

②若0<a<l,则lna<0,当x€(-<»,lna)50,”)时,/'(x)>0;当xe(lna,0)时,

答案第15页,共18页

尸(力<0,

所以/(x)在(f/na)和(0,+oo)上单调递增,在(In«,0)上单调递减;

③若。>1,贝iJln”>0,当xe(-<»,0)51na,+8)时,f,(x)>0;当xe(O,ln“)时,

faxo,

所以fM在(7,0)和(Ina,”)上单调递增,在(0,ln«)上单调递减;

综上,当“W0时,/(x)在(-8,0

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