高中数学分章节知识点总结 相应习题

不等式学问总结

一、不等式的性质

1.两个实数a与b之间的大小关系

(l)a—b>0<^>a>b；

<(2)a—b=00a=b；

(3)a—b<0oa<b.

(4)—>1<=>a>b；

b

若a、beR+,则<(5)j=1=a=b；

b

(6)；VloaVb.

b

2.不等式的性质

(l)a>bob<a(对称性)

a>b]

(2)…na>c(传递性)

b>c

(3)a>boa+c>b+c(加法单调性)

a>b]

>=>ac>bc

c>0

(4)(乘法单调性)

a>b

»nac<bc

c<0

(5)a+b>c=a>c-b(移项法则)

a>bl_

(6)>na+c>b+d(同向不等式可加)

c>d

a>b]

(7)卜na—c>b-d(异向不等式可减)

c<d

a>b>0

(8)>=ac>bd(同向正数不等式可乘)

c>d>0

a>b>01ab

(9)八-异向正数不等式可除)

0<c<dJcd

a>b>01

n

(10)KT^=>a>b”(正数不等式可乘方)

nGN

a>b>0「「

（U）neN=>布>佩正数不等式可开方）

（⑵正数不等式两边取倒数）

3.肯定值不等式的性质

a(a20),

(l)a|》a；|a|=«

-a(a<0).

(2)假如a>0,那么

|x|<au>x2<a2o-a<x<a；

|x|>a<=>x2>a2<=>x>a或xV-a.

(3)|a•b|=|a|•|b|.

a|a|

(4)|-|=^(bW0)・

b|b|

⑸|a|一|b|W|a±b|W|a|+|b|.

(6)|ai+a2+.......+an||a,|+|a2|+........+Ia„|.

二、不等式的证明

1.不等式证明的依据

(1)实数的性质：a、b同号oab>0；a、b异号oabVO

a—b>0<=>a>b；a—b<0<=>a<b；a—b=0<=>a=b

(2)不等式的性质(略)

(3)重要不等式：①|a|20;a2^0;(a-b)2^0(a.beR)

②a?+b222ab(a、bGR,当且仅当a=b时取号)

Q-4-hr—

③2>Vab(a^beR*,当且仅当a=b时取"="号)

2.不等式的证明方法

(1)比较法：要证明a>b(aVb),只要证明a—b>0(a—bVO),这

种证明不等式的方法叫做比较法.

用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——推断符号.

(2)综合法：从已知条件动身，依据不等式的性质和已证明过的不等

式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.

(3)分析法：从欲证的不等式动身，逐步分析使这不等式成立的充分

条件，直到所需条件已推断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证

明不等式的方法叫做分析法.

证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.

三、解不等式

1.解不等式问题的分类

(1)解一元一次不等式.

(2)解一元二次不等式.

(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.

①解一'元高次不等式；

②解分式不等式；

③解无理不等式；

④解指数不等式；

⑤解对数不等式；

⑥解带肯定值的不等式；

⑦解不等式组.

2.解不等式时应特殊留意下列几点:

(1)正确应用不等式的基本性质.

(2)正确应用幕函数、指数函数和对数函数的增、减性.

(3)留意代数式中未知数的取值范围.

3.不等式的同解性

f(x)>0

(l)f(x).g(x)〉0与ny<同解.

Ig(x)>0〜Ig(x)<0

f(x)>0

⑵f(x)・g(x)VO与^-Jg(x)>0同解.

lg(x)<0

f(x)f(x)>0一f(x)<0

⑶>0与，ny■<同解.(g(x)WO)

g(x)g(x)>0〜g(x)V0

f(x)一f(x)>0f(x)<0

(4)<0与〈或。同解.®x)N。)

g(x)g(x)<0

(5)|f(x)|<g(x)与一g(x)<f(x)<g(x)同解.(g(x)>0)

(6)|f(x)|>g(x)①与f(x)>g(x)或f(x)V—g(x)(其中g(x)20)

同解；②与g(x)<0同解.

2

f(x)>[g(x)]f

⑺同〉g(x)与f(x)，。或,、…同解。

，、—lg(x)<0

(8)炳Vg(x)与长:詈)「同解.

f(x)30

(9)当a>1时，a"">a追与f(x)>g(x)同解,当0<a<1时,af(x)

>a®与f(x)Vg(x)同解.

心)>蛉)同解.

(10)当a>l时，10gaf(X)>10gag(X^<

f(x)>0

f(x)<g(x)

当0<a<l时，logaf(x)>log,g(x)与<f(x)>0同解.

g(x)>0

平面解析几何学问总结

一、坐标法

1.点和坐标

建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数（x,y）

建立了一一对应的关系.

2.两点间的距离公式

设两点的坐标为巴区，yO,P2（x2,y2）,则两点间的距离

xx22

|P|P2l=7（2-i）+（y2-y））

特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的肯定值表示：

（1）当Xi=x2时（两点在y轴上或两点连线平行于V轴），则

|PiP2)=|y2—yiI

⑵当yFyz时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则

|PIP2|=|X2—Xi|

3.线段的定比分点

(1)定义：设P点把有向线段时分成时和阿两部分，那么有向

线段晒和电的数量的比，就是P点分而所成的比，通常用人表示，

即入=警，点P叫做分线段而为定比人的定比分点.

2

PP2

当P点内分丽时，X>0；当P点外分质■时，X<0.

(2)公式：分PMx“yj和P2(X2,yD连线所成的比为人的分点坐标是

X1+A,x2

特殊情况，当P是它的中点时，入=1,得线段时的中点坐标

公式

X,+x2

x二2一

y,+y2

二、直i一线

1.直线的倾斜角和斜率

(1)当直线和X轴相交时，把X轴围着交点按逆时针方向旋转到和直

线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角.

当直线和X轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0.

所以直线的倾斜角a£[0,n).

(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜

JI

率，直线的斜率常用k表示，即卜=12!^(£1工彳).

.,.当k'O时，a=arctank.(锐角)

当kVO时，a=n—arctank.（钝角）

⑶斜率公式：经过两点P（xi,y。、P2（x2,y?）的直线的斜率为

2.直线的方程

（1）点斜式已知直线过点（Xo,y0）,斜率为k,则其方程为：y—y（）=k（x

—

x0）

（2）斜截式已知直线在y轴上的截距为b,斜率为k,则其方程为：

y=kx+b

（3）两点式已知直线过两点（xi,y）和（X2,y2）,则其方程为：

（4）截距式已知直线在x,y轴上截距分别为a、b,则其方程为：

7=1

ab

（5）参数式已知直线过点P（x。，y0）,它的一个方向向量是（a,b）,

x=x+at

则其参数式方程为彳nj（t为参数），特别地，当方向向量为

[y=y（）+田

v（cosa,sina）（a为倾斜角）时，则其参数式方程为

x=x0+tcosa

（t为参数）

y=y0+tsina

这时，t的几何意义是tV=PoP，|t|=|p（）p|=|poPl

（6）一般式Ax+By+C=O（A、B不同时为0）.

⑺特殊的直线方程

①垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a,y轴的方程是x=0.

②垂直于v轴且截距为b的直线方程是y=b,x轴的方程是y=0.

3.两条直线的位置关系

⑴平行：当直线，和。有斜截式方程时，k=k2且bi彳bz.

当L和4是一般式方程时，六A二R黄C片/

⑵重合：当4和4有斜截式方程时，kEkz且匕q2,当4和。是

一般方程时，富A=R察C="

A2B2C2

（3）相交：当/、,人是斜截式方程时，k,*k2

AR

当小是一般式方程时,

AjX+Bjy+C10_

交占.<八的解

AX+By+C-u

①222

斜，到角：乙到乙的角tanea+KbW。）

交

k-k

夹角公式：4和4夹角tan。H|（l+k,k^O）

Jkk'2

当4和。有叙截式方程时，k,k=-1

②垂直2

当4和4是一般式方程时,A,A2+B,B2=0

4.点P（x。，y。）与直线/:Ax+By+C=0的位置关系：

Axo+Byo+C=O<=>P在直线/上（点的坐标满足直线方程）

Axo+Byo+C/OoP在直线/外.

点P（x0,y。）到直线/的距离为：d=.

5.两条平行直线/,:Ax+By+G=0,/2：Ax+By+C2=0间

的距离为:d=^4

7A2+B-

6.直线系方程

具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点

是除含坐标变量x,y以外，还含有特定的系数（也称参变量）.

确定一条直线须要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先

依据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再依据另一个条件

来确定其中的参变量.

(1)共点直线系方程：

经过两直线A：AlX+Biy+Ci=O,/2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系

方程为：Aix+B"+G+入(A2x+B2y+C2)=0,其中人是待定的系数.

在这个方程中，无论入取什么实数，都得不到Azx+Bzy+CzR,因此

它不表示当人=0时，即得Aix+B"+G=0,此时表示4.

(2)平行直线系方程：直线y=kx+b中当斜率k肯定而b变动时，表

示平行直线系方程.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By

+入=0(入手C),人是参变量.

(3)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0(A右0,B手0)垂直的直线

系方程是：Bx—Ay+入=。.

假如在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，

可选用直线系方程来求解.

7.简洁的线性规划

⑴二元一次不等式Ax+By+C>0(或V0)表示直线Ax+By+C=0某

一侧全部点组成的平面区域.

二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点

集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值

的问题，称为线性规划问题，

例如，z=ax+by,其中x,y满意下列条件:

A|X+B|y+C|2O(或WO)

A2x+B,y+C,2O(或WO)

,'(*)

AnX+Bnx+Cn»O(或WO)

求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组

对变量x、y的线性约束条件，z=ax+by叫做线性目标函数.满意线性

约束条件的解(x,y)叫做可行解，由全部可行解组成的集合叫做可行域，

使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解.

三、曲线和方程

1.定义

在选定的直角坐标系下，假如某曲线C上的点与一个二元方程f(x,

y)=0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解(一点不杂)；

(2)以方程f(x,y)=O的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏).

这时称方程f(x,y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程千(x,y)=0

的曲线(图形).

设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点),Q={(x,y)|f(x,

y)=0),若设点M的坐标为(x。，y0),则用集合的观点，上述定义中的两

条可以表述为：

(l)MGPn(Xo,y°)GQ,即P=Q；

(2)(x0,y0)eQz=>MGP,即Q=P.

以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：

(1)(X()，y0)把QnM比P；

(2)MePn(Xo，y。)史Q.

显然，当且仅当PqQ且QqP,即P=Q时，才能称方程f(x,y)=0

为曲线C的方程；曲线C为方程f(x,y)=0的曲线(图形).

2.曲线方程的两个基本问题

(1)由曲线(图形)求方程的步骤：

①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x,y)表示曲线上随

意一点M的坐标；

②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M));

③代换：用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;

④化简：化方程f(x,y)=0为最简形式；

⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程;

或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为

此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程.

(2)由方程画曲线(图形)的步骤：

①探讨曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；

②求截距：

方程组，"；/)=°的解是曲线与*轴交点的坐标；

方程组0V)=°的解是曲线与y轴交点的坐标；

③探讨曲线的范围；

④列表、描点、画线.

3.交点

求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组.

4.曲线系方程

过两曲线3(x,y)=o和f2(x,y)=0的交点的曲线系方程是。(x,y)

+Xf2(x,y)=O(XER).

四、圆

1.圆的定义

平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.

2.圆的方程

(1)标准方程(x—a)?+(y—b)三产.(a,b)为圆心，r为半径.

特殊地：当圆心为(0,0)时，方程为x?+y2=产

(2)一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

D,ED2+E2-4F

配方(x+—)2+(y+~)2=---------------

DE

当D?+E?—4F>0时，方程表示以(——,—5)为圆心，以

|g+E?—4F为半径的圆；

DF

当D’+E?—4F=0时，方程表示点(——,——)

当D2+E2-4F<0时，方程无实数解，无轨迹.

(3)参数方程以(a,b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

x=a+rcos。

(0为参数)

y=b+rsin。

特殊地，以(0,0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

x=rcos()

,(0为参数)

y=rsin0

3.点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d,圆的半径为r.

⑴点在圆外od>r；

(2)点在圆上od=r；

(3)点在圆内=d<r.

4.直线与圆的位置关系

设直线/：Ax+By+C=0和圆C:(x—a)2+(y—b)2=r2,则

|Aa+Bb+C|

d=­/=~・

VA2+B2

(1)相交。直线与圆的方程组成的方程组有两解，△>()或d<r；

(2)相切o直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△=0或d=r；

(3)相离。直线与圆的方程组成的方程组无解，△<()或d>r.

5.求圆的切线方法

(1)已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0.

①若已知切点(x。，y。)在圆上，则切线只有一条，其方程是

D(x+x0)E(y+y0)广八

x<>x=y()y+-------------+---+F=0.

当(X。，y。)在圆外时，Xox+yoy+D(")+E()+F=。表示

过两个切点的切点弦方程.

②若已知切线过圆外一点(x(),y(>),则设切线方程为y—y0=k(x—x0),

再利用相切条件求k,这时必有两条切线，留意不要漏掉平行于y轴的

切线.

③若已知切线斜率为k,则设切线方程为y=kx+b,再利用相切条件

求b,这时必有两条切线.

⑵已知圆x2+y2=r2.

①若已知切点Po(xo,yj在圆上，则该圆过Po点的切线方程为x()x+

y°y二产.

②已知圆的切线的斜率为k,圆的切线方程为丫=匕±「后工.

6.圆与圆的位置关系

已知两圆圆心分别为。、。2,半径分别为口、r2,则

(1)两圆外切。|0］。2|=「+「2；

(2)两圆内切olO.OJ^r.-rJ；

(3)两圆相交0匕一切〈|0。2|〈」+0.

圆锥曲线学问总结

一、圆锥曲线

1.椭圆

(1)定义

定义1：平面内一个动点到两个定点E、F2的距离之和等于常数(大

于|FE|),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点).

定义2：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常

c

数e=—(0<eVl)时，这个点的轨迹是椭圆.

a

(2)图形和标准方程

图8-1图8-2

X2,V2

图8—1的标准方程为:+TT=l(a>b>0)

ab

x2y2

图8—2的标准方程为:+^=1(3>6>0)

a

(3)几何性质

条彳牛{M|MF1|+|MF2|=2a,2a〉『犬2口

IMFJ|MF2|

(Ml点M到1,的距离一点M到1.的距离Y，°、e<1)

击』>b>62v2

乖腌斤麓t+2=l(a>b>0

a~阴小b，2a"/

2

准线方程心时二至；0年研三0M：y=玉叩；」孙丫元诃，a)

|M1:，陛小+菽W叼u,bIMFJ与"eD,U)，030)

焦点半用

|MI针蟒辄ex・轴，丫轴•dW釉茁唯Fa三驾h短轴长IB］明=2b

焦,点F](—c,期F2(C,0)外F[(0,-c),F2(0,c)

和椭标E2|可租=2(:9>0),J比2—b2

点入XC

—十记=Io(Xo，yojix俏

6勺关系

<内

(k为切线斜率)，(k为切线斜率)，

y=kx±Va2k2+b2y=kx±Vb2k2+a2

切线方程注十”=l三十纱=1

a2b2b2a2

(xo,y°)为切点(xofy())为切点

(x0,y0)在椭圆外(x0,y。)在椭圆外

切点弦.+.=12+辿=1

方程a2b2b2a2

氏一*||/1+1<2或|丫］一丫2|3+3

弦长公式

其中(x-y)),(x2,丫2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直

线的斜率

2.双曲线

(1)定义

定义1:平面内与两个定点E、F2的距离的差的肯定值等于常数GJ、

于|FE|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点).

定义2：动点到肯定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数

e(e>1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点).

(2)图形和标准方程

图8-3的标准方程为：

x-y-

▼-2=l(a>0,b>0)

aT

图8-4的标准方程为：

(3)几何性质

M(xo>7o)

M(x0,y0)

图8-4

P={M|MF1|-|MF2|=2a,a>0,2a<|F1F2|).

条件_|MFJ_晔|_

P{Ml点M到L的距离点M到％的距离e'e>1}，

2222

标准方程—z-一^y=l(a>0,b>0)冬一二=l(a>0,b>0)

ab"a2b2

顶点A(—a,0),A2(a,0)A1(0,—a),A2(0,a)

轴对称轴：x轴，y轴，实轴长AjA91=2a,虚轴长旧1%|=2b

焦点F](—c,0),F2(C,0)F](0,—c),F2(0,c)

222

焦距|F|F2|=2C(C>0),c=a+b

离心率e=-(e>l)

a

._a2_a2._a_a

==

/]：X------；(2：X=-------4：y——；/2：y~—

准线方程CCcc

.2222

渐近线y=±-x(或J-5=0)丫=±，(或5-5=0)

方程aabba-b

共渐近线2?2?

5=k(kN0)5-J=k(kW0)

的双曲线

ab-ab-

系方程

|MF||=ex0+a,IMF]尸ey0+a,

焦点半径

|MF2|=ex()—a|MF2|=ey0-a

jA八—vais.uyiv八vUR*4

(k为切线斜率)（k为切线斜率）

k>B或k<—Bk>色或k<-色

aabb

‘"T''，1，J1J”J__U-j

1

切线方程―丁t7

a2b2b-

((xg,y0)为切点((xg,y0)为切点

xy=a?的切线方程：HZ产=a2（（x0,y°）为切点

(x,y0)在双曲线外(x,y0)在双曲线外

切点弦00

xox_yoy_yoy_xox_

方程~~«21

a-b~a2b2

%_*|函+k?或Iy「y2ljl+*

弦长公式

其中（X[,y1），（x2