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文档简介
PAGEPAGE15基本初等函数的导数素养目标学科素养1.能依据导数的定义推导常用函数的导数.2.驾驭基本初等函数的导数公式.(重点)3.利用基本初等函数的导数公式解决有关问题.(难点)1.数学抽象;2.逻辑推理;3.数学运算情境导学高铁是目前特别受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s=f(t),求它的瞬时速度,即f(t)的导数.依据导数的定义,运算比较困难,是否有更好的求导方法呢?1.几个常用函数的导数函数用定义法求导数y=f(x)=cy′=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx+Δx-fx,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(c-c,Δx)=0y=f(x)=xy′=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx+Δx-fx,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x+Δx-x,Δx)=1y=f(x)=x2y′=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx+Δx-fx,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x+Δx2-x2,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2x+Δx)=2xy=f(x)=x3y′=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx+Δx-fx,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x+Δx3-x3,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))[3x2+3x·Δx+(Δx)2]=3x2y=f(x)=eq\f(1,x)y′=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx+Δx-fx,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(\f(1,x+Δx)-\f(1,x),Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,x2+x·Δx)))=-eq\f(1,x2)y=f(x)=eq\r(x)y′=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx+Δx-fx,Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(\r(x+Δx)-\r(x),Δx)=eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(1,\r(x+Δx)+\r(x))=eq\f(1,2\r(x))推断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)若f(x)=2,则f′(x)=2.()×提示:f′(x)=0.(2)若f(x)=x2,则f′(x)=2x2.()×提示:f′(x)=2x.(3)若f(x)=x-1,则f′(x)=-eq\f(1,x2).(√)2.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)=c(c是常数),则f′(x)=0;(2)若f(x)=xα(α∈Q,且α≠0),则f′(x)=αxα-1;(3)若f(x)=sinx,则f′(x)=cosx;(4)若f(x)=cosx,则f′(x)=-sinx;(5)若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f′(x)=axln_a;特殊地,f(x)=ex,则f′(x)=ex;(6)若f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f′(x)=eq\f(1,xlna);特殊地,f(x)=lnx,则f′(x)=eq\f(1,x).推断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′=coseq\f(π,3).()×提示:∵sineq\f(π,3)=eq\f(\r(3),2)(常数),∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′=0.(2)(2x)′=x2x-1.()×提示:(2x)′=2xln2.(3)(lnx)′=eq\f(1,x).(√)1.函数f(x)=0的导数是(A)A.0 B.1C.不存在 D.不确定2.若函数f(x)=x,则f′(2)=()A.0 B.1C.2 D.不存在B解析:f′(x)=1,∴f′(2)=1.3.若函数f(x)=x2,则曲线y=f(x)在x=eq\f(1,2)处的切线斜率为()A.0 B.1C.eq\f(1,2) D.不存在B解析:∵f′(x)=2x,∴k=f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=2×eq\f(1,2)=1.4.若函数y=10x,则y′|x=1等于()A.eq\f(1,10) B.10C.10ln10 D.eq\f(1,10ln10)C解析:∵y′=10xln10,∴y′|x=1=10ln10.5.给出下列命题:①若y=ln2,则y′=eq\f(1,2);②若y=eq\f(1,x2),则y′|x=3=-eq\f(2,27);③若y=2x,则y′=2xln2;④若y=log2x,则y′=eq\f(1,xln2).其中正确命题的个数为()A.1 B.2C.3 D.4C解析:对于①,y′=0,故①错;对于②,∵y′=-eq\f(2,x3),∴y′|x=3=-eq\f(2,27),故②正确;明显③④正确,故选C.【例1】求下列函数的导数:(1)y=x12;(2)y=eq\f(1,x4);(3)y=eq\r(5,x3);(4)y=7x;(5)y=log5x.解:(1)y′=(x12)′=12x11.(2)y′=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′=(x-4)′=-4x-5=-eq\f(4,x5).(3)y′=(eq\r(5,x3))′=(xeq\f(3,5))′=eq\f(3,5)x-eq\f(2,5).(4)y′=(7x)′=7xln7.(5)y′=(log5x)′=eq\f(1,xln5).1.若所求函数符合导数公式,则干脆利用公式求解,公式法最简捷.2.对于不能干脆利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避开不必要的运算失误.比如对带根号的函数,一般先将其转化为分数指数幂,再利用公式(xα)′=αxα-1进行求导.3.要特殊留意“eq\f(1,x)与lnx”,“ax与logax”,“sinx与cosx”的导数区分.若g(x)=log3x,则g′(x)=eq\f(1,xln3).【例2】已知质点的运动方程是s=sint.(1)求质点在t=eq\f(π,3)时的速度;(2)求质点运动的加速度.解:(1)∵v(t)=s′(t)=cost,∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))=coseq\f(π,3)=eq\f(1,2),即质点在t=eq\f(π,3)时的速度为eq\f(1,2).(2)∵v(t)=cost,∴加速度a(t)=v′(t)=(cost)′=-sint.1.速度是路程对时间的导数,加速度是速度对时间的导数.2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤:(1)先求函数的导函数;(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.1.求函数f(x)=eq\f(1,\r(3,x))在(1,1)处的导数.解:∵f′(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))′=(x-eq\f(1,3))′=-eq\f(1,3)x-eq\f(4,3)=-eq\f(1,3\r(3,x4)),∴f′(1)=-eq\f(1,3\r(3,1))=-eq\f(1,3).2.求函数f(x)=cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(\r(2),2)))处的导数.解:∵f′(x)=-sinx,∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))=-sineq\f(π,4)=-eq\f(\r(2),2).探究题1求过曲线f(x)=cosx上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),\f(1,2)))且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.解:因为f(x)=cosx,所以f′(x)=-sinx.则曲线f(x)=cosx在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),\f(1,2)))的切线斜率为f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))=-sineq\f(π,3)=-eq\f(\r(3),2),所以所求直线的斜率为eq\f(2\r(3),3),所求直线方程为y-eq\f(1,2)=eq\f(2\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,3))),即y=eq\f(2\r(3),3)x-eq\f(2\r(3),9)π+eq\f(1,2).探究题2分别求双曲线y=eq\f(1,x)与抛物线y=x2的交点处的切线方程.解:易求得双曲线y=eq\f(1,x)与抛物线y=x2的交点为(1,1).双曲线y=eq\f(1,x)在交点处的切线的斜率为y′|x=1=-1,故切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.抛物线y=x2在交点处的切线的斜率为y′|x=1=2,故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.求曲线方程或切线方程时,应留意:(1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满意曲线方程也满意切线方程;(2)曲线在切点处的切线的斜率,即对应函数在该点处的导数.(3)必需明确已知点是不是切点,假如不是,应先设出切点.已知函数y=kx是曲线y=lnx的一条切线,则k=________.eq\f(1,e)解析:设切点为(x0,y0),∵y′=eq\f(1,x),∴k=eq\f(1,x0),∴y=eq\f(1,x0)·x.又点(x0,y0)在曲线y=lnx上,∴y0=lnx0,∴lnx0=eq\f(x0,x0),∴x0=e,∴k=eq\f(1,e).1.函数y=x2在x=1处的导数是()A.0 B.1C.2 D.3C解析:易得y′=2x,故函数y=x2在x=1处的导数是2×1=2.故选C.2.已知f(x)=lnx,则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))的值为()A.1 B.-1C.e D.eq\f(1,e)C解析:由f(x)=lnx,则f′(x)=eq\f(1,x).所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))=eq\f(1,\f(1,e))=e.故选C.3.函数f(x)=x3,f′(x0)=6,则x0=()A.eq\r(2) B.-eq\r(2)C.±1 D.±eq\r(2)D解析:∵f′(x)=3x2,∴3xeq\o\al(2,0)=6,∴x0=±eq\r(2).故选D.4.(多选)下列结论正确的是()A.若f(x)=0,则f′(x)=0B.若f(x)=cosx,则f′(x)=sinxC.若f(x)=eq\f(1,x),则f′(x)=-eq\f(1,x2)D.若f(x)=lnx,则f′(x)=eq\f(1,x)ACD解析:对A,f(x)为常数,明显成立;对B,f′(x)=-sinx,故B错误;对C,D,明显都成立.故选ACD.5.求下列函数的导数:(1)y=eq\r(x3);(2)y=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-x));(3)y=(eq\r(3))x.解:(1)y′=(xeq\f(3,2))′=eq\f(3,2)x.(2)∵y=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-x))=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx.(3)y′=[(eq\r(3))x]′=(eq\r(3))xlneq\r(3)=eq\f(1,2)(eq\r(3))xln3.
1.由定义求出的常用函数的导数可作为公式干脆运用.2.熟记基本初等函数的导数公式.3.留意区分f(x)=ax(a>0,且a≠1)及f(x)=logax(a>0,且a≠1)的导数:(ax)′=axlna,(logax)′=eq\f(1,xlna).课时分层作业(十四)基本初等函数的导数(60分钟100分)eq\f(基础对点练,基础考点分组训练)学问点1几个常用函数的导数公式的应用1.(5分)已知f(x)=xα(α∈Q*),若f′(1)=eq\f(1,4),则α等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,4)D解析:∵f(x)=xα,∴f′(x)=αxα-1,∴f′(1)=α=eq\f(1,4).2.(5分)给出下列结论:①若f(x)=eq\f(1,x3),则f′(x)=-eq\f(3,x4);②若f(x)=eq\r(3,x),则f′(x)=eq\f(1,3)eq\r(3,x);③若f(x)=3,则f′(1)=0.其中正确的个数是()A.1 B.2C.3 D.03.(5分)(多选)在曲线f(x)=eq\f(1,x)上切线的倾斜角为eq\f(3,4)π的点的坐标为()A.(1,1) B.(-1,-1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,-\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),-2))AB解析:切线的斜率k=taneq\f(3,4)π=-1,设切点为(x0,y0),则f′(x0)=-1,又f′(x)=-eq\f(1,x2),∴-eq\f(1,x\o\al(2,0))=-1,∴x0=1或-1,∴切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选AB.4.(5分)已知抛物线C:y=x2,过第一象限的点(a,a2)作抛物线C的切线l,则直线l与y轴的交点的坐标为________.(0,-a2)解析:明显点(a,a2)为抛物线C:y=x2上的点,∵y′=2x,∴直线l的方程为y-a2=2a(x-a).令x=0,得y=-a2,∴直线l与y轴的交点的坐标为(0,-a2).学问点2基本初等函数的导数5.(5分)若函数f(x)=cosx,则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=()A.0 B.1C.-1 D.eq\f(π,2)C解析:∵f′(x)=-sinx,∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=-sineq\f(π,2)=-1.6.(5分)已知函数f(x)=2-x,则f′(x)=()A.-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlog2eD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xeq\f(1,ln2)A解析:∵f(x)=2-x=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,∴f′(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2.7.(5分)给出下列结论:①(cosx)′=sinx;②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′=coseq\f(π,3);③若y=eq\f(1,x2),则y′=-eq\f(1,x);④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,\r(x))))′=eq\f(1,2x\r(x)).其中正确的个数是()A.0 B.1C.2 D.3B解析:因为(cosx)′=-sinx,所以①错误.sineq\f(π,3)=eq\f(\r(3),2),而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))′=0,所以②错误.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′=(x-2)′=eq\f(-2,x3),所以③错误.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(-1,\r(x))))′==eq\f(1,2x\r(x)),所以④正确.8.(5分)已知直线y=kx是曲线y=3x的切线,则k的值为________.eln3解析:设切点为(x0,y0).因为y′=3xln3,①所以k=3x0ln3,所以y=3x0ln3·x.又因为(x0,y0)在曲线y=3x上,所以3x0ln3·x0=3x0,②所以x0=eq\f(1,ln3)=log3e.所以k=eln3.9.(5分)已知f(x)=x2,g(x)=lnx,若f′(x)-g′(x)=1,则x=________.1解析:因为f(x)=x2,g(x)=lnx,所以f′(x)=2x,g′(x)=eq\f(1,x)且x>0,f′(x)-g′(x)=2x-eq\f(1,x)=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=-eq\f(1,2)(舍去).故x=1.10.(5分)直线y=eq\f(1,2)x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b=________.ln2-1解析:设切点坐标为(x0,y0),则y0=lnx0.∵y′=(lnx)′=eq\f(1,x),∴eq\f(1,x0)=eq\f(1,2),∴x0=2,y0=ln2.由ln2=eq\f(1,2)×2+b,得b=ln2-1.eq\f(实力提升练,实力考点适度提升)11.(5分)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2020(x)=()A.sinx B.-sinxC.cosx D.-cosxC解析:f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=f′1(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=f′2(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=f′3(x)=(-cosx)′=sinx,所以4为最小正周期,故f2020(x)=f4(x)=cosx.A.64 B.32C.16 D.813.(5分)点P是f(x)=x2上随意一点,则点P到直线y=x-1的最短距离是________.eq\f(3\r(2),8)解析:与直线y=x-1平行的f(x)=x2的切线的切点到直线y=x-1的距离最小.设切点为(x0,y0),则f′(x0)=2x0=1,∴x0=eq\f(1,2),y0=eq\f(1,4).即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,4)))到直线y=x-1的距离最短.∴d=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-\f(1,4)-1)),\r(12+12))=eq\f(3\r(2),8).14.(5分)下列结论正确的有________.①若f(x)=x4,则f′(2)=32;②若f(x)=eq\f(1,\r(x)),则f′(2)=-eq\f(\r(2),2);③若f(x)=eq\f(1,x2·\r(x)),则f′(1)=-eq\
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