2024-2025学年新教材高考数学第5章一元函数的导数及其应用2.1基本初等函数的导数含解析选修2

PAGEPAGE15基本初等函数的导数素养目标学科素养1.能依据导数的定义推导常用函数的导数．2．驾驭基本初等函数的导数公式．(重点)3．利用基本初等函数的导数公式解决有关问题．(难点)1.数学抽象；2．逻辑推理；3．数学运算情境导学高铁是目前特别受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，即f(t)的导数．依据导数的定义，运算比较困难，是否有更好的求导方法呢？1．几个常用函数的导数函数用定义法求导数y＝f(x)＝cy′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(c－c,Δx)＝0y＝f(x)＝xy′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x＋Δx－x,Δx)＝1y＝f(x)＝x2y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2x＋Δx)＝2xy＝f(x)＝x3y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2y＝f(x)＝eq\f(1,x)y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2＋x·Δx)))＝－eq\f(1,x2)y＝f(x)＝eq\r(x)y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(\r(x＋Δx)－\r(x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))＝eq\f(1,2\r(x))推断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若f(x)＝2，则f′(x)＝2.()×提示：f′(x)＝0.(2)若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x2.()×提示：f′(x)＝2x.(3)若f(x)＝x－1，则f′(x)＝－eq\f(1,x2).(√)2．基本初等函数的导数公式(1)若f(x)＝c(c是常数)，则f′(x)＝0；(2)若f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，则f′(x)＝αxα－1；(3)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；(4)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；(5)若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a；特殊地，f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；(6)若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝eq\f(1,xlna)；特殊地，f(x)＝lnx，则f′(x)＝eq\f(1,x).推断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3).()×提示：∵sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)(常数)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝0.(2)(2x)′＝x2x－1.()×提示：(2x)′＝2xln2.(3)(lnx)′＝eq\f(1,x).(√)1．函数f(x)＝0的导数是(A)A．0 B．1C．不存在 D．不确定2．若函数f(x)＝x，则f′(2)＝()A．0 B．1C．2 D．不存在B解析：f′(x)＝1，∴f′(2)＝1.3．若函数f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)在x＝eq\f(1,2)处的切线斜率为()A．0 B．1C．eq\f(1,2) D．不存在B解析：∵f′(x)＝2x，∴k＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\f(1,2)＝1.4．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于()A．eq\f(1,10) B．10C．10ln10 D．eq\f(1,10ln10)C解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.5．给出下列命题：①若y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)；②若y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③若y＝2x，则y′＝2xln2；④若y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2).其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4C解析：对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－eq\f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq\f(2,27)，故②正确；明显③④正确，故选C．【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝eq\r(5,x3)；(4)y＝7x；(5)y＝log5x.解：(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)y′＝(eq\r(5,x3))′＝(xeq\f(3,5))′＝eq\f(3,5)x－eq\f(2,5).(4)y′＝(7x)′＝7xln7.(5)y′＝(log5x)′＝eq\f(1,xln5).1．若所求函数符合导数公式，则干脆利用公式求解，公式法最简捷．2．对于不能干脆利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避开不必要的运算失误．比如对带根号的函数，一般先将其转化为分数指数幂，再利用公式(xα)′＝αxα－1进行求导．3．要特殊留意“eq\f(1,x)与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区分．若g(x)＝log3x,则g′(x)＝eq\f(1,xln3).【例2】已知质点的运动方程是s＝sint.(1)求质点在t＝eq\f(π,3)时的速度；(2)求质点运动的加速度．解：(1)∵v(t)＝s′(t)＝cost，∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即质点在t＝eq\f(π,3)时的速度为eq\f(1,2).(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．1．求函数f(x)＝eq\f(1,\r(3,x))在(1,1)处的导数．解：∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))′＝(x－eq\f(1,3))′＝－eq\f(1,3)x－eq\f(4,3)＝－eq\f(1,3\r(3,x4))，∴f′(1)＝－eq\f(1,3\r(3,1))＝－eq\f(1,3).2．求函数f(x)＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))处的导数．解：∵f′(x)＝－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).探究题1求过曲线f(x)＝cosx上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．解：因为f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx.则曲线f(x)＝cosx在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))的切线斜率为f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以所求直线的斜率为eq\f(2\r(3),3)，所求直线方程为y－eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即y＝eq\f(2\r(3),3)x－eq\f(2\r(3),9)π＋eq\f(1,2).探究题2分别求双曲线y＝eq\f(1,x)与抛物线y＝x2的交点处的切线方程．解：易求得双曲线y＝eq\f(1,x)与抛物线y＝x2的交点为(1,1)．双曲线y＝eq\f(1,x)在交点处的切线的斜率为y′|x＝1＝－1，故切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.抛物线y＝x2在交点处的切线的斜率为y′|x＝1＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.求曲线方程或切线方程时，应留意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满意曲线方程也满意切线方程；(2)曲线在切点处的切线的斜率，即对应函数在该点处的导数．(3)必需明确已知点是不是切点，假如不是，应先设出切点．已知函数y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝________.eq\f(1,e)解析：设切点为(x0，y0)，∵y′＝eq\f(1,x)，∴k＝eq\f(1,x0)，∴y＝eq\f(1,x0)·x.又点(x0，y0)在曲线y＝lnx上，∴y0＝lnx0，∴lnx0＝eq\f(x0,x0)，∴x0＝e，∴k＝eq\f(1,e).1．函数y＝x2在x＝1处的导数是()A．0 B．1C．2 D．3C解析：易得y′＝2x，故函数y＝x2在x＝1处的导数是2×1＝2.故选C．2．已知f(x)＝lnx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))的值为()A．1 B．－1C．e D．eq\f(1,e)C解析：由f(x)＝lnx，则f′(x)＝eq\f(1,x).所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,\f(1,e))＝e.故选C．3．函数f(x)＝x3，f′(x0)＝6，则x0＝()A．eq\r(2) B．－eq\r(2)C．±1 D．±eq\r(2)D解析：∵f′(x)＝3x2，∴3xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝±eq\r(2).故选D．4．(多选)下列结论正确的是()A．若f(x)＝0，则f′(x)＝0B．若f(x)＝cosx，则f′(x)＝sinxC．若f(x)＝eq\f(1,x)，则f′(x)＝－eq\f(1,x2)D．若f(x)＝lnx，则f′(x)＝eq\f(1,x)ACD解析：对A，f(x)为常数，明显成立；对B，f′(x)＝－sinx，故B错误；对C，D，明显都成立．故选ACD．5．求下列函数的导数：(1)y＝eq\r(x3)；(2)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))；(3)y＝(eq\r(3))x.解：(1)y′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)x.(2)∵y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(3)y′＝[(eq\r(3))x]′＝(eq\r(3))xlneq\r(3)＝eq\f(1,2)(eq\r(3))xln3.

1．由定义求出的常用函数的导数可作为公式干脆运用．2．熟记基本初等函数的导数公式．3．留意区分f(x)＝ax(a>0，且a≠1)及f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的导数：(ax)′＝axlna，(logax)′＝eq\f(1,xlna).课时分层作业(十四)基本初等函数的导数(60分钟100分)eq\f(基础对点练,基础考点分组训练)学问点1几个常用函数的导数公式的应用1．(5分)已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，则α等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,4)D解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝eq\f(1,4).2．(5分)给出下列结论：①若f(x)＝eq\f(1,x3)，则f′(x)＝－eq\f(3,x4)；②若f(x)＝eq\r(3,x)，则f′(x)＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若f(x)＝3，则f′(1)＝0.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．03．(5分)(多选)在曲线f(x)＝eq\f(1,x)上切线的倾斜角为eq\f(3,4)π的点的坐标为()A．(1,1) B．(－1，－1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))AB解析：切线的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,x\o\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选AB．4.(5分)已知抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点的坐标为________．(0，－a2)解析：明显点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．学问点2基本初等函数的导数5．(5分)若函数f(x)＝cosx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝()A．0 B．1C．－1 D．eq\f(π,2)C解析：∵f′(x)＝－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－sineq\f(π,2)＝－1.6．(5分)已知函数f(x)＝2－x，则f′(x)＝()A．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlog2eD．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xeq\f(1,ln2)A解析：∵f(x)＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，∴f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2.7．(5分)给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3)；③若y＝eq\f(1,x2)，则y′＝－eq\f(1,x)；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝eq\f(1,2x\r(x)).其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3B解析：因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误．sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))′＝0，所以②错误.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝(x－2)′＝eq\f(－2,x3)，所以③错误.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,\r(x))))′＝＝eq\f(1,2x\r(x))，所以④正确.8.(5分)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．eln3解析：设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln3，①所以k＝3x0ln3，所以y＝3x0ln3·x.又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，②所以x0＝eq\f(1,ln3)＝log3e.所以k＝eln3.9.(5分)已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.1解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去)．故x＝1.10.(5分)直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.ln2－1解析：设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，∴x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.eq\f(实力提升练,实力考点适度提升)11．(5分)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2020(x)＝()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosxC解析：f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f′3(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4为最小正周期，故f2020(x)＝f4(x)＝cosx.A．64 B．32C．16 D．813.(5分)点P是f(x)＝x2上随意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________．eq\f(3\r(2),8)解析：与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4).即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(12＋12))＝eq\f(3\r(2),8).14.(5分)下列结论正确的有________．①若f(x)＝x4，则f′(2)＝32；②若f(x)＝eq\f(1,\r(x))，则f′(2)＝－eq\f(\r(2),2)；③若f(x)＝eq\f(1,x2·\r(x))，则f′(1)＝－eq\