专题02 勾股定理实际应用的三种考法（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题02勾股定理实际应用的三种考法类型一、最短路径问题例1．固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，∵正方体的棱长为，∴，，在中，，在中，，∴；故选A.【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键，是将立体图像展开，根据两点之间线段最短，确定最短路径．例2．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（

）米．A． B． C． D．【答案】D【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过P作于G，连接，（米），（米），（米），（米），（米）这只蚂蚁的最短行程应该是米，故选：D．【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．【变式训练1】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25 B．20 C．24 D．10【答案】A【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB；把右侧面展开到正面上，连结AB，；把向上的面展开到正面上，连结AB；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．【详解】把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3∵∴∴需要爬行的最短距离为25cm故选：A．【点睛】本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．【变式训练2】如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是

米．【答案】【分析】解答此题要将木块表面展开，再构建直角三角形，然后根据两点之间线段最短，再利用勾股定理进行解答．【详解】解：如图，由题意可知，将木块展开，展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为18+2×2=22米；宽为7米．于是最短路径为：（米）．故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短的性质，勾股定理的应用，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．【变式训练3】棱长分别为两个正方体如图放置，点P在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是．【答案】cm．【分析】求出两种展开图的值，比较即可判断；【详解】解：如图，有两种展开方法：方法一∶，方法二∶．故需要爬行的最短距离是cm．故答案为：cm．【点睛】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【变式训练4】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．【答案】(1)见解析；(2)两点之间线段最短；(3)120cm，50cm；(4)130cm【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可；（2）根据题（1）即可求解；（3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽；（4）根据勾股定理计算的长即可求解．【详解】（1）如图所示即为所求：（2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）根据题意可得：展开图中的cm，cm．故答案为：120cm，50cm；（4）由题（1）可得：在Rt中，由勾股定理可得：cm，故答案为：130cm．【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．类型三、特殊将军饮马问题例．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少cm？【答案】15cm【分析】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC的长．【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示则DB=AD=4cm由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm∴DE=DH－EH=12－4=8(cm)∴BE=DE+DB=8+4=12(cm)在Rt△BEC中，由勾股定理得：即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm【点睛】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想．【变式训练1】如图，，两个工厂位于一段直线形河的异侧，厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂．(1)设，请用的代数式表示的长；(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂的位置应怎样来确定此时需要管道多长？(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？【答案】(1)(2)连接与的交点就是污水处理厂的位置，此时最少需要管道(3)的最小值为【分析】（1）在和中，根据勾股定理可得，的长，进而即可求解；（2）连接与的交点就是污水处理厂的位置，过点作⊥于，在△中，勾股定理即可求解；（3）当、、共线时，求出的值即为原式的最小值，在△中，勾股定理即可求解．【详解】（1）解：在和中，根据勾股定理可得，，∴，（2）根据两点之间线段最短可知，连接与的交点就是污水处理厂的位置．过点作⊥于，则有，．．在△中，，此时最少需要管道．（3）根据以上推理，可作出下图，设，，，，当、、共线时，求出的值即为原式的最小值．在△中，，，由勾股定理可得：，的最小值为．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．【变式训练2】如图，点、在直线的同一侧，于点，于点，，．点是直线上的一个动点，的最小值为，的最大值为，则的值为．

【答案】【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求点，过点作的延长线于点，则的长即为的最小值，利用勾股定理即可求出的长即的值，延长交于点，当移动到点时，值最大，过点作，利用勾股定理即可求出的长即的值，最后求出结果即可．【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，

则点即为所求点，过点作的延长线于点，则的长即为的最小值为，，，，，的最小值为，如图，延长交于点，

，，当移动到点时，值最大，，，过点作，则，，，，的最大值为，，故答案为：．【点睛】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键．类型二、台阶问题例．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【变式训练1】如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：将台阶展开，如图，因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=，故选：D．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．【变式训练2】如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．【答案】17【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：，解得．故答案为：17．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．课后训练1．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（

）cm．A．9 B．10 C．18 D．20【答案】C【分析】将容器侧面展开，建立A关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点，连接，则即为最短距离，根据题意：，，．所以底面圆的周长为9×2=18cm.故选：C．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．2．如图，在中，，，点E的边上，，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点，．当的值最小时，【答案】10/【分析】根据勾股定理即可求出；作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P，通过证明得出，，进而得出，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：在中，由勾股定理可得：，作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P．∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理可得：，即，解得：．故答案为：10，．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据题意做出辅助线构建全等三角形，根据勾股定理列出方程求解．3．在一张长，宽的长方形纸片上，如图放置一根直棱柱的木块，它的底面为正方形，它的侧棱平行且大于纸片的宽，一只蚂蚁从点A处到点C处走的最短路程是，则该四棱柱的底面边长是．【答案】1【分析】将直棱柱两侧面展开拼接在长方形纸片上，然后根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：如图所示，将直棱柱两侧面展开拼接在长方形纸片上，即为最短路径，设四棱柱的底面边长是，根据勾股定理得，则，解方程得或（舍去），故四棱柱的底面边长是1，故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理、最短路径问题、直棱柱侧面展开图等知识，根据勾股定理列方程是解题关键．4．棱长分别为的两个正方体如图放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是．【答案】【分析】分两种情况展开，求最短距离，情况一：将翻折至和共面，使得点A和点P在同一平面，连接两点即为最短距离；情况二，求出最短距离，然后进行比较即可得出。【详解】情况一:如下图，将翻折至和共面，过点P作AE的垂线交AE于点M，连接AP∵两个正方体的棱长分别为∴AB=8cm，BE=MP=6cm∵点P是的中点∴EM=3cm∴AM=8+6+3=17cm∴在Rt△AMP中，AP=情况二:如下图展开则AE=8+6=14cmEP=6+3=9cm∴在Rt△AEP中,AP=∵＜∴最短距离为