2022-2023学年人教版七年级下学期数学期末复习-不等式与不等式组（难题）

7下期末复习专题

一不等式与不等式组（难题）

⑥专题练习

选择题（共2小题）

1.若不等式x-aWO只有两个正整数解，则a的取值范围是（）

A.2WaW3B.2Wa<3C.2<aW3D.2<a<3

r、

2.（2019春•兰山区期末）若不等式组J'/a，有且只有三个正整数解，则a的取值范

,x-340

围为（）

A.OWaVlB.0<a<lC.0<aWlD.OWaWl

填空题（共12小题）

3.若不等式3x-aW0的所有正整数解的和是15,则a的取值范围是.

4.若不等式5x-a<0只有3个正整数解，则a的取值范围为.

5.（2021春•大余县期末）若关于x的不等式2x-aWO的正整数解是1、2、3,则a的取

值范围是.

6.（2019春•邓州市期中）不等式3x-2W5x+6的最大负整数解为.

7.（2018春•蓝田县期末）若关于x的不等式2x-3a+2N0的最小整数解为5,则实数a的

取值为________________

8.（2023春•鲤城区校级期中）不等式符上_540的非负整数解共有个.

9.（2023春•市南区校级期中）已知关于x的不等式x-a2-3的解集中有且仅有3个负整

数解，则a的取值范围为.

10.（2022秋•姑苏区校级期末）定义新运算：a®b=l-ab,则不等式x322-3的非负整

数解的个数为.

11.（2023春•西城区校级期中）若关于x的一元一次不等式x-2<n+3有且只有3个正整

数解，则n的取值范围是.

12.（2023春•东城区校级月考）若不等式3x-m<4的最大整数解是5,则m的取值范围

是•

13.（2022春•泉州期中）若不等式5x-kW0的正整数解是1、2、3,则k的取值范围

是•

14.（2022秋•龙泉驿区期末）已知关于x的不等式4x-a<0的正整数解是1,2,3,4.则

a的取值范围是.

三.解答题（共9小题）

15.（2021春•海安市期中）对x,y定义一种新运算T,规定：T（x,y）^ax+by（其中

x+2y

a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0,1）=aX0+bX1

0+2X1

=也_

~2

(1)已知T(2,1)=互，T(-1,1)=-1.

4

①求a,b的值；

②若关于m的不等式组［T&m，恰好有3个整数解，求p的取值范围；

T(4m,3-2m)>P

(2)若T(x,y)=T(y,x)对任意有理数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)

均有意义)，则a,b应满足怎样的关系式？

16.(2021春•江都区校级月考)对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=ax+2by-

1(其中a,b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1)=a-0+2b

•1-l=2b-1.

(1)已知T(1,1)=4,T(4,-2)=7.

①求a>b的值；

②若关于m的不等式组［T(2m，5-如)<5恰好有4个整数解，求实数p的取值范围;

T(m,3-2m)>p

(3)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x、y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)

均有意义)，则a、b应满足怎样的关系式？

17.对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=空"(其中a、b均为非零常数)，

3x+y

这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1)=aX°+bX1=是

3X0+1

(1)已知T(l,-1)=-工，T(4,2)=1.

2

①求a,b的值：

②若关于m的不等式组!1(2m，SVm)44恰好有5个整数解，求实数p的取值范围;

T(m,2-3m)>p

(2)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)

均有意义)，则a,b应满足怎样的关系式？

18.(2015春•重庆校级月考)对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=ax+by(其

3x+y

中a,b均为非零常数)这里等式右边是通常的四则运算.例如T(0,1)=aX°+bX1

3X0+1

=b.

(1)已知T(1,-1)=1,T(3,1)=-1；

①求a,b的值；

②求解关于x的方程T(x,x2)=T(x2,x)的解；

③若关于m的不等式组1T(2m只有两个整数解，求实数p的取值范围.

T(m,3-3m)

(3)若T(x,y)-T(y,x)=0,对任意实数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,

x)均有意义)，则a,b应满足怎样的关系式？

19.(2018春•方城县期末)对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)^ax-by(其中

x+3y

a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(I,1)=

-Xl~bX1_a~~b

1+3X1=4'

已知T(0,1)=-A,T(-2,1)=-3.

3

(1)求a、b的值.

(2)若关于m的不等式组1TB叫5-而)<1,恰好有3个整数解，求p的取值范围.

T(6m,3-2m)>p

20.（2022•岳麓区校级开学）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这

个不等式（组）为n阶不等式（组）.

我们规定：当n=0时、这个不等式（组）为0阶不等式（组）.

例如：不等式X+1V6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式.

不等式组1x+l>2只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组.

2x-3<7

请根据定义完成下列问题：

（1）x<工是______阶不等式；［x'l是_______阶不等式组：

2［x-3<0

’2x-4a<0

（2）若关于x的不等式组，23.x+9是4阶不等式组，求a的取值范围；

（3）关于x的不等式组［的正整数解有ai,a2,a3,a*…其中aiVa2〈a3Va4〈…

Ix<m

如果］是（m-3）阶不等式组，且关于x的方程2x-m=0的解是［X^P的正整

数解a3,请求出m的值以及p的取值范围.

21.(2022春•驿城区期中)如果一个一元一次方程的解是某个一元一次不等式的解，则称

该一元一次方程为该不等式的关联方程.

(1)在方程①2x+l=0；②X-(3x+l)=-5；③3x-1=0中，不等式,

332

的关联方程有：(填序号).

Qv~Q

(2)若不等式组］T+1的一个关联方程的解是正整数，则这个关联方程可以是

x+5>4x+l

(写出一个即可).

(3)不等式4x-m<0的所有关联方程的解中有且只有3个正整数，求m的取值范围.

22.(2022春•偃师市校级期中)已知不等式生萨一1<6的负整数解是方程2x-3=ax的

7(x-a)-3x>T1

解.求关于X的一元一次不等式组I1,的解集及其所有整数解的和.

2x+2<a

D

23.(2022春•新郑市期末)对于任意实数x,y定义一种新运算"#"：x#y=xy+x-y.例

如，3#5=3X5+3-5=13.

(1)解不等式:3#x<4；

(2)若m<2#x<9,且该不等式组的解集中恰有两个整数解，请直接写出m的取值范

围.

⑥知识集结

1.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；

③当a是零时，a的绝对值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(a<0)

2.有理数的混合运算

(1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右

的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

(2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通

常将小数转化为分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的

两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

3.平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方._

一个正数a的正的平方根表示为“通”，负的平方根表示为“-4”.

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作4.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

4.立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,

如果x3=a,那么x叫做a的立方根.记作：如.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号我中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、

负数都有唯一一个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

5.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、帚的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

6.因式分解的应用

1、利用因式分解解决求值问题.

2、利用因式分解解决证明问题.

3、利用因式分解简化计算问题.

【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用

1.因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用

解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代

入.

2.用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是

其中的一部分.

7.分式有意义的条件

（1）分式有意义的条件是分母不等于零.

（2）分式无意义的条件是分母等于零.

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号.

（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号.

8.一元一次方程的解

定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右两边相等.

9.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针

对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化.

（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号.

（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）

x=c.使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想.将2*=1）系数化为1时，要准确

计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b,尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、

b同号x为正，a、b异号x为负.

10.二元一次方程的解

（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程

的解.

（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确

定的值，所以二元一次方程有无数解.

（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出

其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值.

II.二元一次方程组的解

（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的.数学概念是数学的基础与出发点，当遇到

有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程

组，这种方法主要用在求方程中的字母系数.

12.解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，

将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式代

入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求出X

（或y）的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数

的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相

等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一

次方程.③解这个一元一次方程，求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程组的

任意一个方程中，求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到

原方程组的解，用fx=a的形式表示.

Iy=b

13.解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

14.不等式的定义

（1）不等式的概念：用“〉”或号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“¥”号

表示不等关系的式子也是不等式.

（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式.常用的不等号有“<”、">"、“W”、

“》”、“W”.另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数.

15.解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；

④合并同类项；⑤化系数为1.

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向，其他都

不会改变不等号方向.

注意：符号和分别比和“V”各多了一层相等的含义，它们是不等号与

等号合写形式.

16.一元一次不等式的整数解

解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下

一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解.可以借助数轴进行数形结

合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题.

17.解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

18.一元一次不等式组的整数解

（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）.

解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的

限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.

（2）已知解集（整数解）求字母的取值.

一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根

据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案.

19.一元一次不等式组的应用

对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解.

一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：

（1）分析题意，找出不等关系；

（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；

（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答.

参考答案与试题解析

选择题（共2小题）

1.若不等式x-aWO只有两个正整数解，则a的取值范围是（）

A.2WaW3B.2Wa<3C.2<aW3D.2<a<3

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】解不等式x-a〈O得xWa,并且xWa只能包括1、2,两个正整数，利用数轴易

得2Wa<3.

【解答】解：Vx-a^O,

xWa,

而不等式x-a<0只有两个正整数解，

不等式x-aWO的两个正整数解只能为1、2,

，2Wa<3.

故选B.

【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解：先通过去括号、移项、合并和系数化为1

得到一元一次不等式的解集，然后在解集内找出所有整数，即为一元一次不等式的整数

解.

2.（2019春•兰山区期末）若不等式组1'/a，有且只有三个正整数解，则a的取值范

x-340

围为（）

A.0<a<lB.0<a<lC.0<aWlD.OWaWl

【考点】一元一次不等式组的整数解.

【分析】先确定不等式组的整数解，再求出a的范围即可.

【解答］解」

Ix-340（2）

•••解不等式①得：xW3,

又•.•不等式组有且只有三个正整数解，

,x-340

故选：A.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，能根据已知不等式组的解集和

整数解确定a的取值范围是解此题的关键.

二.填空题（共12小题）

3.若不等式3x-aW0的所有正整数解的和是15,则a的取值范围是15WaV18.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【分析】解不等式3x-aW0,即可求得不等式的解集是xW且，则最小的正整数解是1,

3

它的正整数解是几个连续的正整数，根据所有正整数解的和是15,即可确定最大的正整

数解，即可得到一个关于a的不等式组，从而求解.

【解答】解：不等式3x-aW0,

得xW包，

3

又15=1+2+3+4+5,

.-.5^A<6,

3

即15WaV18.

【点评】本题主要考查了不等式的求解方法，根据不等式3x-a<0的整数解，确定关于

a的不等式组是解题的关键.

4.若不等式5x-a<0只有3个正整数解，则a的取值范围为15<aW20.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】一元一次不等式（组）及应用.

【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正

整数即可.

【解答】解：5x-a<0的解集为x<旦；

5

其正整数解为1,2,3,

则3<3W4,

5

所以a的取值范围15VaW20,

故答案为15<aW20.

【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的

关键.解不等式应根据不等式的基本性质.

5.（2021春•大余县期末）若关于x的不等式2x-aW0的正整数解是1、2、3,则a的取

值范围是6WaV8.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用.

【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以

确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围.

【解答】解：解不等式2x-aW0,得：xW旦，

2

•••其正整数解是1、2、3,

所以3W2V4,

2

解得6Wa<8,

故答案为：6Wa<8

【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定包的

2

范围是解决本题的关键.解不等式时要用到不等式的基本性质.

6.（2019春•邓州市期中）不等式3x-2W5x+6的最大负整数解为x=-1.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用.

【分析】解不等式求出x的范围即可得.

【解答】解：；3x-2W5x+6,

3x-5xW6+2,

-2xW8,

则x2-4,

•••不等式的最大负整数解为x=-1,

故答案为：X--1.

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是

关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

7.（2018春•蓝田县期末）若关于x的不等式2x-3a+2N0的最小整数解为5,则实数a的

取值为独<aW4

-3

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】计算题.

【分析】先将a看作常数解不等式，根据最小整数解为5,得4〈包2W5,解出即可.

2

【解答】解：解不等式2x-3a+220得X2跄2,

2

•••不等式的最小整数解为5,

...4〈跄2W5,

2

.•.12_VaW4,

3

故答案为：」g<aW4.

3

【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的

关键.解不等式应根据不等式的基本性质.

8.（2023春•鲤城区校级期中）不等式符的非负整数解共有个.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】不等式去分母.合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解

即可.

【解答】解：纥L-5W0,

2

2x-1-10^0,

2xWll,

xWll

2

二非负整数有0，1，2,3,4,5共6个，

故答案为：6.

【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

9.（2023春•市南区校级期中）已知关于x的不等式x-a2-3的解集中有且仅有3个负整

数解，则a的取值范围为7<aW0.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】解不等式得x2a-3,根据3个负整数解只能是-3、-2、-1,求出a的取值

范围即可.

【解答】解：：关于x的一元一次不等式x-a2-3的解集中有且仅有3个负整数解，

，关于x的一元一次不等式x》a-3的3个负整数解只能是-3、-2、-1,

-4<a-3W-3,

-l<a^0.

，a的取值范围是-IVaWO.

故答案为：-lVa<0.

【点评】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键

在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条

件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解.

10.（2022秋•姑苏区校级期末）定义新运算：a®b=l-ab,则不等式x922-3的非负整

数解的个数为3.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】根据新定义的运算得出1-2x2-3,求出1-2x2-3的非负整数解即可.

【解答】解：根据新定义的运算方法可得，x®2>-3,即1-2x2-3,

解得xW2,

而xW2的非负整数为2、1、0,共3个，

故答案为：3.

【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，理解新定义的运算是正确解答的关键，求

出一元一次不等式的解集是得出正确答案的前提.

11.（2023春•西城区校级期中）若关于x的一元一次不等式x-2<n+3有且只有3个正整

数解，则n的取值范围是-2<nW-l.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】先解不等式x-2<n+3,从而可得x<5+n,然后根据题意可得3<n+5W4,从

而进行计算即可解答.

【解答】解:Vx-2<n+3,

；.x<2+n+3,

.*.x<5+n,

•••关于x的一元一次不等式x-2<n+3有且只有3个正整数解，

.,.3<n+5W4,

-2<nW-1,

故答案为：-2VnW-l.

【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解

题的关键.

12.（2023春•东城区校级月考）若不等式3x-mW4的最大整数解是5,则m的取值范围

是UWm<14.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】首先解关于x的不等式，根据不等式3x-mW4的最大整数解是5,即可求解.

【解答】解：3x-mW4,

解得：<4+m

x3

•.•不等式3x-mW4的最大整数解是5,

4+m

,•54<6,

3

解得：

故答案为：

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定k的

范围，是解答本题的关键.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取

较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

13.（2022春•泉州期中）若不等式5x-kW0的正整数解是1、2、3,则k的取值范围是15

WkV20.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】首先解关于x的不等式，根据正整数解即可确定k的范围.

【解答】解：由不等式5x-kW0,得：xWK,

5

..•不等式的正整数解是1、2、3,

.•.3<K<4,

5

解得：15Wk<20.

故答案为：15WkV20.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定k的

范围，是解答本题的关键.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取

较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

14.(2022秋•龙泉驿区期末)已知关于x的不等式4x-aW0的正整数解是1,2,3,4.则

a的取值范围是16Wa<20.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力.

【分析】解不等式9x-aW0得xW且，其中，最大的正整数为4,故4W更<5,从而求

99

解.

【解答】解：解不等式4x-aW0,得xW电，

4

•••不等式的正整数解是1,2,3,4,

；.4W曳<5,

4

解得16Wa<20.

故答案为：16Wa<20.

【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，关键是先解含字母系数的不等式，再根据

正整数解的情况确定字母的取值范围.

三.解答题(共46小题)

15.(2021春•海安市期中)对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=ax+by(其中

x+2y

a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1)=aX°+bX1

0+2X1

=_b

~2

(1)已知T(2,1)=立，T(-1,1)=-1.

4

①求a,b的值；

②若关于m的不等式组@皿，5rn)4l恰好有3个整数解，求p的取值范围；

T(4m,3-2m)>P

(2)若T(x,y)=T(y,x)对任意有理数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)

均有意义)，则a,b应满足怎样的关系式？

【考点】解分式方程；一元一次不等式组的整数解；有理数的混合运算；分式有意义的

条件；解二元一次方程组.

【专题】计算题；一次方程(组)及应用；分式方程及应用；一元一次不等式(组)及

应用；运算能力.

【分析】(1)①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；

②根据题中新定义化简己知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即

可；

(2)由T(x,y)=T(y,x)列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式.

【解答】解：(1)根据题意得：2a+b=/,-a+b_],

2+2X14-1+2X1

整理得：[2a+b=5,

[a_b=1

2X2m+5-m

41①

2m+2(5-m)

②根据题意得：《

2X4m+32m、

4m+2(3-2m)

由①得：

3

由②得：m＞p--,

2

不等式组的解集为p-工＜mW9,

23

•..不等式组恰好有3个整数解，即m=-l,0,1,

-2Wp-A<-1,

2

解得：-3wp<-上;

22

(2)由T(x,y)=T(y,x)，得到ax+by=ay+bx,

x+2yy+2x

整理得：(x2-y2)(2a-b)=0,

VT(x,y)=T(y,x)对任意有理数x,y都成立，

.\2a-b=0,即b=2a.

【点评】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整

数解，弄清题中的新定义是解本题的关键.

16.(2021春•江都区校级月考)对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=ax+2by-

1(其中a,b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1)=a・

0+2b«1-1=2b-1.

(1)已知T(1,1)=4,T(4,-2)=7.

①求a、b的值；

②若关于m的不等式组(T(2m5-筑：＜5恰好有4个整数解，求实数p的取值范围；

T(m,3-2m)

(2)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x、y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)

均有意义)，则a、b应满足怎样的关系式？

【考点】一元一次不等式组的整数解；实数的运算；解二元一次方程组.

【专题】一次方程(组)及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力.

【分析】。)①根据定义的新运算T,列出二元一次方程组，解方程组求出a,b的值;

②根据(1)求出的a,b的值和新运算列出方程组求出m的取值范围，根据题意列出不

等式，解不等式求出实数p的取值范围；

(2)根据新运算列出等式，整理可求出a,b应满足的关系式.

【解答】解：⑴①由题意得，［a+2b-l=4,

I4a_4b-l=7

解得卜=3；

Ib=l

②由①得，T(x,y)=3x+2y-1,

所以16m+2(5-4m)-l<5

131n+2(3-2m)-l》p

解得2VmW5-p,

因为原不等式组有4个整数解，

所以6W5-pV7,

解得-2VpW-1；

(2)T(x,y)=ax+2by-1,T(y,x)=ay+2bx-1,

所以ax+2by-1=ay+2bx-1,

所以(a-2b)(x-y)=0,

所以a=2b.

【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法和一元一次不

等式组的整数解的确定，掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题

的关键.

17.对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=竺也七(其中a、b均为非零常数)，

3x+y

这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1)=aX°+bX1=是

3X0+1

(1)已知T(l,-1)=-2，T(4,2)=1.

2

①求a,b的值；

②若关于m的不等式组!1(2m5-6m：44恰好有5个整数解，求实数p的取值范围；

T(m,2-3m)>p

(2)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)

均有意义)，则a,b应满足怎样的关系式？

【考点】一元一次不等式组的应用；解二元一次方程组.

【专题】新定义.

【分析】(1)①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；

②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有5个整数解，求出p的范围即

可；

(2)由T(x,y)=T(y,x)列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式.

【解答】解：(1)①根据题意得：T(1,-1)=皂二旦=，即a-b=-1,①

3-12

T=(4,2)=4a+2b=1,即2a+b=7,②

12+2

联立①②，解得：a=2,b=3；

'4m+3(5-6m)

<4

6m+5-6m

②根据题意得:

2m+3(2-3m)

>p

3m+2-3m

由①得：m2-旦;

14

由②得：m<6-2p,

7

...不等式组的解集为-巨<m〈生生，

147

•..不等式组恰好有5个整数解，即m=0,1,2,3,4.

A4<6£2p_^5)

7

解得：

2

(2)由T(x,y)=T(y,x)，得到ax+by=ay+bx,

3x+y3y+x

整理得：(x2-y2)(a-3b)=0,

VT(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立，

/.a-3b=0,即a=3b.

【点评】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整

数解，弄清题中的新定义是解本题的关键.

18.(2015春•重庆校级月考)对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=丝也上(其

3x+y

中a,b均为非零常数)这里等式右边是通常的四则运算.例如T(0,1)=aXQ+bX1

3X0+1

=b.

(1)已知T(1,-1)=1,T(3,1)=-1；

①求a,b的值；

②求解关于x的方程T(x,x2)=T(x2,x)的解；

③若关于m的不等式组1T(2m，5-6m)<4只有两个整数解，求实数p的取值范围.

T(m,3-3m)>p

(2)若T(x,y)-T(y,x)=0,对任意实数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,

x)均有意义)，则a,b应满足怎样的关系式？

【考点】一元一次不等式组的应用；因式分解的应用；解分式方程.

【专题】新定义.

【分析】(1)①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；

②利用已知得出关于m的等式求出答案；

③根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出p的范围即

可；

(2)由T(x,y)=T(y,x)列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式.

【解答】解：(1)①YT(1,-1)=1,T(3,1)=-1,

.[a-b=2

I3a+b=-10

••-2,b=-4.

2

②：T(x,y)=ax+by,T(x,x2)=T(X,X),

3x+y

--2x-4x2--2x2-4x

••--------------------------,

3x+x23X2+X

：xWO,

•l+2x=x+2

,3+x3x+l'

x2=1,x=+1,

经检验x=±l是原方程的解.

fl(2m,5-6m)<4

T(m,3-3m)》p

f20m-20

.~r-<4

"10m-12、，

----3----

\<2

H、12+3p，

,10

•••只有两个整数解，

....]<12+3pwo,

10

-驾VpW-4.

3

(2),?(2)由T(x,y)-T(y,x)=0,

・ax+by_ay+bx_n

•♦而一市’

整理得：(x2-y2)(a-3b)=0,

VT(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立，

；.a-3b,即a=3b.

【点评】此题考查了不等式组的实际运用，分式的混合运算，解二元一次方程组，以及

一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键.

19.(2018春•方城县期末)对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=ax~by(其中

x+3y

a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(1,1)=

aXl~bX1a-b

1+3X1=4-

已知T(0,1)=-▲,T(-2,1)=-3.

3

(1)求a、b的值.

（2）若关于m的不等式组［T（3m，恰好有3