2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版第五章第1讲含答案

2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版第五章第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[课程标准]1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念(1)任意角①一条射线绕其端点按eq\x(\s\up1(01))逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按eq\x(\s\up1(02))顺时针方向旋转形成的角叫做负角．②如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个eq\x(\s\up1(03))零角．(2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的eq\x(\s\up1(04))终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合eq\x(\s\up1(05))S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于eq\x(\s\up1(06))半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位记作rad.(2)弧度与角度的换算：360°＝eq\x(\s\up1(07))2π弧度；(3)公式①弧长公式：l＝eq\x(\s\up1(11))|α|r．②扇形面积公式：S扇形＝eq\x(\s\up1(12))eq\f(1,2)lr＝eq\x(\s\up1(13))eq\f(1,2)|α|r2．说明：公式中的α必须为弧度制！3．任意角的三角函数(1)定义设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．象限角2．轴线角3．重要结论若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则tanα>α>sinα.1．67°30′化为弧度是()A.eq\f(3π,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(673π,1800) D.eq\f(673,1800)答案A解析67°30′＝67.5×eq\f(π,180)＝eq\f(3π,8).故选A.2．(人教A必修第一册习题5.1T7(2)改编)若角α的终边与240°角的终边相同，则eq\f(α,2)的终边所在象限是()A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限答案A解析由已知得α＝k·360°＋240°，k∈Z.所以eq\f(α,2)＝k·180°＋120°，k∈Z.所以eq\f(α,2)的终边所在象限是第二或第四象限．3．(人教A必修第一册习题5.2T10改编)若sinθcosθ<0，则角θ是()A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角答案D解析因为sinθcosθ<0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ>0，,cosθ<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ<0，,cosθ>0.))所以角θ是第二或第四象限角．故选D.4．(人教A必修第一册5.2.1练习T3改编)若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1，2)，则sinα－cosα＋tanα＝________．答案eq\f(3\r(5)－10,5)解析由已知得r＝eq\r(（－1）2＋22)＝eq\r(5)，所以sinα－cosα＋tanα＝eq\f(y,r)－eq\f(x,r)＋eq\f(y,x)＝eq\f(2,\r(5))－eq\f(－1,\r(5))＋eq\f(2,－1)＝eq\f(3,\r(5))－2＝eq\f(3\r(5)－10,5).5．(2024·福州摸底)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．答案eq\r(2)解析由圆的几何性质可知，圆内接正方形的边长为eq\r(2)r，故弧长为eq\r(2)r的弧所对的圆心角的弧度数为eq\r(2).考向一角的概念及表示例1(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则()A．－α是第一象限角B.eq\f(α,2)是第三象限角C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上的角答案D解析因为α是第二象限角，所以eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.对于A，可得－π－2kπ<－α<－eq\f(π,2)－2kπ，k∈Z，所以－α是第三象限角，所以A错误；对于B，可得eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角，当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角，所以B错误；对于C，可得2π＋2kπ<eq\f(3π,2)＋α<eq\f(5π,2)＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<eq\f(3π,2)＋α<eq\f(π,2)＋2(k＋1)π，k∈Z，所以eq\f(3π,2)＋α是第一象限角，所以C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上的角，所以D正确．(2)终边在直线y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，－\f(2π,3)，\f(π,3)，\f(4π,3)))解析如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝eq\r(3)x，可以发现它的倾斜角是eq\f(π,3)，在[0，2π)内，终边在直线y＝eq\r(3)x上的角有两个，分别为eq\f(π,3)，eq\f(4π,3)；在[－2π，0)内满足条件的角有两个，分别为－eq\f(2π,3)，－eq\f(5π,3).故满足条件的角α构成的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，－\f(2π,3)，\f(π,3)，\f(4π,3))).1．终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．2．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为2kπ＋α(α∈[0，2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．3．求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)终边所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k，k∈Z)表示．(2)两边同除以n或乘n.(3)对k进行讨论，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)终边所在的象限．提醒：注意用旋转的观点理解角的加减运算．例如：k·180°＋60°(k∈Z)表示的角的终边可理解为60°角的终边逆时针(k>0)或顺时针(k<0)旋转180°的倍数而得到的．1.集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此时α表示的范围与eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此时α表示的范围与eq\f(5π,4)≤α≤eq\f(3π,2)表示的范围一样．故选C.2．与－2023°终边相同的最小正角是________．答案137°解析因为－2023°＝(－6)×360°＋137°，所以137°与－2023°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有137°与－2023°终边相同，故与－2023°终边相同的最小正角是137°.考向二扇形的弧长、面积公式例2已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)∵α＝60°＝eq\f(π,3)rad，R＝10cm，∴扇形的弧长l＝αR＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)由题意，得l＋2R＝20，∴l＝20－2R.∴S扇＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.∴当R＝5cm时，S扇有最大值25cm2.此时l＝20－2×5＝10(cm)，α＝eq\f(l,R)＝eq\f(10,5)＝2rad.∴当α＝2rad时，扇形的面积最大．弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，记住下列公式①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是扇形的半径)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．1.(多选)(2023·青岛模拟)已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，下列说法正确的是()A．扇形的半径可能为2 B．扇形的半径可能为1C．圆心角的弧度数可能是1 D．圆心角的弧度数可能是2答案ABC解析设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,α＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1，))可得扇形的半径可能为1或2，圆心角的弧度数是4或1.2．(2023·海淀区校级模拟)我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为eq\f(π,3)，则角θ的余弦值为()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案B解析设角θ所在的扇形的半径为r，则由题意，可得eq\f(\f(1,2)θr2,r2)＝eq\f(π,3)，解得θ＝eq\f(2π,3)，可得cosθ＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2).故选B.多角度探究突破考向三三角函数的定义及其应用角度三角函数定义的正用和逆用例3(1)(2023·遂宁一模)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(2π,3)))，则sinαtanα＝()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(3,2)答案A解析Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(2π,3)))，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则sinα＝eq\f(y,\r(x2＋y2))＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\r(3)，故sinαtanα＝－eq\f(3,2).故选A.(2)点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达点Q，则点Q的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))答案A解析由三角函数的定义可知点Q的坐标(x，y)满足x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，所以点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(3)若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值．解设α终边上任一点为P(－4a，3a)，a≠0，当a>0时，r＝5a，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；当a<0时，r＝－5a，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).1．正用三角函数定义的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r(r≠0)，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．三角函数定义的逆用已知角α和角α终边上一点P到原点的距离r(r≠0)，可依据xP＝rcosα，yP＝rsinα求出点P的坐标．(2023·成都模拟)如图，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))的值为()A.eq\f(\r(5),10) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(2\r(5),5)答案B解析设∠xOP＝α，则sinα＝eq\f(1,\r(22＋1))＝eq\f(\r(5),5)，因为Q(2，2)，则∠yOQ＝eq\f(π,4)，故θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)－α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα＝eq\f(\r(5),5).故选B.角度利用三角函数的定义求参数例4(2024·泰安高三月考)已知角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，则cosα＝________，tanα＝________．答案－eq\f(\r(6),4)eq\f(\r(15),3)或－eq\f(\r(15),3)解析设P(x，y)，由题设知x＝－eq\r(3)，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－eq\r(3))2＋m2(O为原点)，即r＝eq\r(3＋m2)，所以sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，所以r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5).当m＝eq\r(5)时，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝eq\r(5)，所以cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；当m＝－eq\r(5)时，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝－eq\r(5)，所以cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．(2023·开封模拟)设α是第二象限角，P(x，1)为其终边上一点，且cosα＝eq\f(1,3)x，则tanα＝()A．－eq\f(\r(2),2) B．－eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),4)答案B解析由三角函数定义可知，cosα＝eq\f(x,\r(x2＋1))＝eq\f(1,3)x，又α是第二象限角，故x＝－2eq\r(2)，所以tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(\r(2),4).故选B.角度判断三角函数值的符号例5(1)sin2cos3tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析∵eq\f(π,2)＜2＜3＜π＜4＜eq\f(3π,2)，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2cos3tan4＜0.故选A.(2)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是________．答案(－2，3]解析∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的非负半轴上．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))∴－2<a≤3.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析因为点P在第三象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα＜0，,cosα＜0，))所以角α的终边在第二象限．课时作业一、单项选择题1．将－1845°改写成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()A．－10π＋eq\f(7π,4) B．－10π－eq\f(π,4)C．－12π＋eq\f(7π,4) D．－12π＋eq\f(π,4)答案C解析因为－1845°＝－6×360°＋315°，所以－1845°转化成弧度为－12π＋eq\f(7π,4).2．设θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，则eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案B解析由θ是第三象限角知，eq\f(θ,2)为第二或第四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)<0.综上可知，eq\f(θ,2)为第二象限角．故选B.3．已知集合A＝{x|x＝k·180°＋(－1)k·90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}，则A，B的关系为()A．BA B．ABC．A＝B D．A≠B答案C解析集合A中，当k为奇数时，x＝k·180°－90°，k∈Z，终边落在y轴的非负半轴上；当k为偶数时，x＝k·180°＋90°，k∈Z，终边落在y轴的非负半轴上．集合B表示的角的终边也落在y轴的非负半轴上，故A＝B.故选C.4.掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是eq\f(5π,6)米，“弓”所在圆的半径为1.25米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为()A.eq\f(5\r(2),6)米 B.eq\f(5\r(2),4)米C.eq\f(5\r(3),4)米 D.eq\f(5\r(3),6)米答案C解析根据题意作出右图，eq\o(AC,\s\up8(︵))的长为eq\f(5π,12)，∠AOC＝eq\f(\f(5π,12),1.25)＝eq\f(π,3)，所以AB＝2AD＝2×1.25sineq\f(π,3)＝eq\f(5\r(3),4).故选C.5．(2023·威海模拟)已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(11π,6) D.eq\f(5π,3)答案C解析因为点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tanθ＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3)，又θ∈[0，2π)，所以θ＝eq\f(11π,6).6．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)答案B解析因为r＝eq\r(64m2＋9)，所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，所以m>0，且eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，因此m＝eq\f(1,2).7．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0，2π)，则角α的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(3π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))答案B解析因为点P在第一象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα－cosα>0，,tanα>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα>cosα，,tanα>0.))由tanα＞0，可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sinα＞cosα，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4))).8．(2024·毕节市模拟)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁，扇面形状较为美观．从半径为R的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为eq\f(\r(5)－1,2)，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB面积的比值为eq\f(\r(5)－1,2).则一个按上述方法制作的扇环形装饰品(如图)的面积与圆面积的比值为()A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(5)－1,4)C.eq\f(3－\r(5),2) D.eq\r(5)－2答案D解析设扇形OAB的圆心角为α，由题意可得eq\f(（2π－α）R,2πR)＝eq\f(\r(5)－1,2)，解得α＝(3－eq\r(5))π，所以扇形OAB的面积为eq\f(1,2)αR2＝eq\f(（3－\r(5)）π,2)R2.则一个按题中方法制作的扇环形装饰品(如题图)的面积与圆面积的比值为eq\f(\f(\r(5)－1,2)·\f(（3－\r(5)）π,2)R2,πR2)＝eq\r(5)－2.故选D.二、多项选择题9．(2023·泰安模拟)已知x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)，k∈Z))))，则函数y＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)－eq\f(tanx,|tanx|)的值可能为()A．3 B．－3C．1 D．－1答案BC解析x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)，k∈Z))))，当x在第一象限时，y＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)－eq\f(tanx,|tanx|)＝1＋1－1＝1；当x在第二象限时，y＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)－eq\f(tanx,|tanx|)＝1－1＋1＝1；当x在第三象限时，y＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)－eq\f(tanx,|tanx|)＝－1－1－1＝－3；当x在第四象限时，y＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)－eq\f(tanx,|tanx|)＝－1＋1＋1＝1.故选BC.10．已知角θ的终边经过点(－2，－eq\r(3))，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列结论正确的是()A．sinθ＝－eq\f(\r(21),7) B．α为钝角C．cosα＝－eq\f(2\r(7),7) D．点(tanθ，sinα)在第一象限答案ACD解析角θ的终边经过点(－2，－eq\r(3))，sinθ＝－eq\f(\r(21),7)，A正确；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，eq\r(3))，则α为第二象限角，不一定为钝角，cosα＝－eq\f(2\r(7),7)，B错误，C正确；因为tanθ＝eq\f(\r(3),2)>0，sinα＝eq\f(\r(21),7)>0，所以点(tanθ，sinα)在第一象限，D正确．11．(2023·四省高考适应性测试)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，1为半径的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad/s，起点为射线y＝－eq\r(3)x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,9)，sin\f(2π,9))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(5π,9)，－sin\f(5π,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,9)，－sin\f(π,9))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,9)，sin\f(π,9)))答案ABD解析由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，锐角∠Q1OP＝eq\f(π,3)，设t时刻Q与P重合，则5t－2t＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈N)，即t＝eq\f(π,9)＋eq\f(2kπ,3)(k∈N)，此时点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋5t))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋5t))))，即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)＋\f(10kπ,3)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)＋\f(10kπ,3)))))(k∈N)，当k＝0时，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,9)，sin\f(2π,9)))，故A正确；当k＝1时，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(32π,9)，sin\f(32π,9)))，即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(5π,9)，－sin\f(5π,9)))，故B正确；当k＝2时，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(62π,9)，sin\f(62π,9)))，即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,9)，sin\f(π,9)))，故D正确．由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合．故选ABD.三、填空题12.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))解析∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，∴所求角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)))).13．(2024·肇庆质检)给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们都与扇形的半径的大小无关；③若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；④若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的序号是________．答案②解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错误；②正确；由于sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)，但eq\f(π,6)与eq\f(5π,6)的终边不相同，故③错误；当θ＝π时，cosθ＝－1<0，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故④错误．综上可知，只有②正确．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置为(0，1)，此时圆上一点P的位置为(0，0)，该圆沿x轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，点P的坐标为________．答案(2－sin2，1－cos2)解析如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．根据题意得劣弧eq\o(DP,\s\up8(︵))＝2，则∠DCP＝2，于是在△PCQ中，∠PCQ＝2－eq\f(π,2)，|CQ|＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝sin2，|PQ|＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝－cos2，可得点P的横坐标为2－|CQ|＝2－sin2，点P的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos2，所以点P的坐标为(2－sin2，1－cos2)．四、解答题15．设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(7π,3).(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．解(1)α1＝－350°＝－eq\f(350π,180)＝－eq\f(35π,18)＝－2π＋eq\f(π,18)，α2＝860°＝eq\f(860π,180)＝eq\f(43π,9)＝4π＋eq\f(7π,9).∴α1的终边在第一象限，α2的终边在第二象限．(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°，设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)，∵－720°<θ＜0°，∴－720°<k·360°＋108°＜0°(k∈Z)，∴k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°之间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理β2＝－420°，且在－720°～0°之间与β2有相同终边的角是－60°.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆交于点A，它的终边与单位圆交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－eq\f(4,5)，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．解(1)由题意可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，根据三角函数的定义得tanα＝－eq\f(3,4).(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝eq\f(π,3)，故与角α终边相同的角β的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))).(3)若α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，则S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)α，而S△AOB＝eq\f(1,2)×1×1×sinα＝eq\f(1,2)sinα，故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝eq\f(1,2)α－eq\f(1,2)sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))).第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式[课程标准]1.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,2)，α±π的正弦、余弦、正切)).2.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα.1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：eq\x(\s\up1(01))sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：eq\x(\s\up1(02))eq\f(sinα,cosα)＝tanα．2．六组诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα；sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).1．(人教B必修第三册7.2.3练习AT1(2)改编)若cosα＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tanα＝()A．－eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),4)C．－2eq\r(2) D．2eq\r(2)答案C解析由已知得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(1,9))＝－eq\f(2\r(2),3)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2).故选C.2．已知cos31°＝a，则sin239°tan149°的值为()A.eq\f(1－a2,a) B.eq\r(1－a2)C.eq\f(a2－1,a) D．－eq\r(1－a2)答案B解析sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－a2).3．(人教B必修第三册第七章复习题A组T6改编)已知tanθ＝2，则eq\f(3sinα＋2cosα,4sinα－3cosα)＝________．答案eq\f(8,5)解析∵tanθ＝2，∴原式＝eq\f(3tanα＋2,4tanα－3)＝eq\f(3×2＋2,4×2－3)＝eq\f(8,5).4．(人教A必修第一册习题5.2T12改编)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝2，则cosα＝________．答案eq\f(\r(5),5)解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα＞0，cosα＞0，∵tanα＝2＝eq\f(sinα,cosα)，sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝eq\f(\r(5),5).5．(人教A必修第一册5.3例4改编)化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)cos(2π－α)的结果为________．答案－sin2α解析原式＝eq\f(sinα,cosα)(－sinα)cosα＝－sin2α.多角度探究突破考向一同角三角函数的基本关系角度常规问题例1(1)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)(sinα≠0)，则cosα＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)答案A解析由三角函数定义，得tanα＝eq\f(3,2sinα)，所以eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,2sinα)，则2(1－cos2α)＝3cosα，所以(2cosα－1)(cosα＋2)＝0，则cosα＝eq\f(1,2).(2)(2023·全国乙卷)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanθ＝eq\f(1,2)，则sinθ－cosθ＝________．答案－eq\f(\r(5),5)解析因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(1,2)，则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝eq\f(\r(5),5)或sinθ＝－eq\f(\r(5),5)(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－eq\f(\r(5),5).利用同角三角函数的基本关系式求值的三个基本题型1.(2023·长郡十八校联盟联考)已知第二象限角α的终边上有两点A(－1，a)，B(b，2)，且cosα＋3sinα＝0，则b－3a＝()A．－7 B．－5C．5 D．7答案A解析因为cosα＋3sinα＝0，所以3sinα＝－cosα，所以tanα＝－eq\f(1,3)，又因为tanα＝eq\f(a,－1)＝eq\f(2,b)，所以a＝eq\f(1,3)，b＝－6，所以b－3a＝－7.故选A.2．(2024·东莞模拟)已知2sin2θ－3sinθ－2＝0，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则cosθ的值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)答案B解析因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则sinθ∈(－1，1)，cosθ>0，因为2sin2θ－3sinθ－2＝(2sinθ＋1)·(sinθ－2)＝0，则sinθ＝－eq\f(1,2)，因此cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(\r(3),2).故选B.角度“1”的变换例2(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝()A．－eq\f(6,5) B．－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(6,5)答案C解析解法一：因为tanθ＝－2，所以eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθ（sinθ＋cosθ）2,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(4－2,1＋4)＝eq\f(2,5).故选C.解法二：eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθ（sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ）,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝cos2θ(tan2θ＋tanθ)．由tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－2，sin2θ＋cos2θ＝1，解得cos2θ＝eq\f(1,5).所以eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝cos2θ(tan2θ＋tanθ)＝eq\f(1,5)×(4－2)＝eq\f(2,5).故选C.对于含有sin2α，cos2α，sinαcosα的三角函数求值问题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin2α＋cos2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tanα的式子，从而求解．(2023·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1，2)，则eq\f(sin2α,1－3sinαcosα)＝________．答案－4解析因为角α的终边上有一点P(1，2)，所以tanα＝2.所以eq\f(sin2α,1－3sinαcosα)＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α－3sinαcosα)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1－3tanα)＝eq\f(22,22＋1－3×2)＝－4.角度sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系例3(2023·济南模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)，则tanα的值为________．答案－eq\f(1,2)解析∵sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(1,5)，∴sinαcosα＝－eq\f(2,5)＜0，∴sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝eq\f(9,5)＝(sinα－cosα)2，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴sinα＜0，cosα＞0，∴cosα－sinα＝eq\f(3\r(5),5)，∴sinα＝－eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝－eq\f(1,2).(1)已知asinx＋bcosx＝c可与sin2x＋cos2x＝1联立，求得sinx，cosx.(2)sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx，(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．(2024·青岛调研)若sinθ＋cosθ＝eq\f(2\r(3),3)，则sin4θ＋cos4θ＝()A.eq\f(5,6) B.eq\f(17,18)C.eq\f(8,9) D.eq\f(2,3)答案B解析由sinθ＋cosθ＝eq\f(2\r(3),3)，平方得1＋2sinθcosθ＝eq\f(4,3)，∴sinθcosθ＝eq\f(1,6)，∴sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(2)＝eq\f(17,18).故选B.考向二诱导公式的应用例4(1)(2023·北京市八一中学模拟)若角α的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是()A．sin(π＋α) B．cos(π－α)C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))答案D解析因为角α的终边在第三象限，所以sinα<0，cosα<0.对于A，sin(π＋α)＝－sinα>0；对于B，cos(π－α)＝－cosα>0；对于C，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα>0；对于D，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα<0.故选D.(2)化简：eq\f(tan（π＋α）cos（2π＋α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2))),cos（－α－3π）sin（－3π－α）)＝________．答案－1解析原式＝eq\f(tanαcosαsin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))),cos（3π＋α）[－sin（3π＋α）])＝eq\f(tanαcosαsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),－cosαsinα)＝eq\f(tanαcosαcosα,－cosαsinα)＝－eq\f(tanαcosα,sinα)＝－eq\f(sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝－1.(3)已知cos(75°＋α)＝eq\f(5,13)，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．答案－eq\f(17,13)解析因为cos(75°＋α)＝eq\f(5,13)>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，sin(75°＋α)＝－eq\r(1－cos2（75°＋α）)＝－eq\f(12,13).所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－eq\f(5,13)－eq\f(12,13)＝－eq\f(17,13).利用诱导公式化简求值的基本步骤提醒：用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等，常见的互补关系有eq\f(π,6)－θ与eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等．1.(2024·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))的值为()A.eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(2),6) D.eq\f(5\r(2),6)答案A解析∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝eq\f(2\r(2),3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(2\r(2),3).故选A.2．(2023·咸阳模拟)已知角α终边上一点P(sin1180°，cos1180°)，那么cos(3α＋60°)＝()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(\r(3),2)答案D解析∵|OP|＝eq\r(sin21180°＋cos21180°)＝1，∴sinα＝cos1180°＝cos(100°＋3×360°)＝cos100°＝－sin10°＝sin(－10°)，cosα＝sin1180°＝sin(100°＋3×360°)＝sin100°＝cos10°＝cos(－10°)，∴α＝－10°＋k·360°(k∈Z)，cos(3α＋60°)＝cos(－30°＋3k·360°＋60°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).故选D.考向三诱导公式与同角三角函数基本关系式的综合应用例5(1)(2023·南京二模)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．如表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留两位有效数字)()α10°20°30°40°sinα0.17360.34200.50000.6428α50°60°70°80°sinα0.76600.86600.93970.9848A.－0.42 B．－0.36C．0.36 D．0.42答案B解析tan1600°＝tan(4×360°＋160°)＝tan160°＝－tan20°＝－eq\f(sin20°,cos20°)＝－eq\f(sin20°,sin70°)＝－eq\f(0.3420,0.9397)≈－0.36.故选B.(2)(2023·聊城模拟)已知角α为锐角，且2tan(π－α)－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα＝()A.eq\f(3\r(5),5) B.eq\f(3\r(7),7)C.eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(1,3)答案C解析由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3sinβ－2tanα＋5＝0，,tanα－6sinβ－1＝0，))消去sinβ，得tanα＝3，所以sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝eq\f(9,10)，因为α为锐角，所以sinα＝eq\f(3\r(10),10).(1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．1.(2023·吉安模拟)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－eq\f(3,5)，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)的值为()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．±eq\f(4,5) D.eq\f(3,5)答案B解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－eq\f(3,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5).∵α是第四象限角，∴cos(－3π＋α)＝－cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5).故选B.2．(2023·黄山模拟)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝eq\f(1,cosx)，则sinx＝()A.eq\f(\r(3)－1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1－\r(5),2) D.eq\f(－1±\r(5),2)答案B解析由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝eq\f(1,cosx)，可得eq\f(cosx,sinx)＝eq\f(1,cosx)，即cos2x－sinx＝0，即sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝eq\f(－1＋\r(5),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(5),2)舍去)).故选B.课时作业一、单项选择题1．(2024·衡阳月考)若角α的终边在第三象限，则eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))的值为()A．3 B．－3C．1 D．－1答案B解析因为角α的终边在第三象限，所以sinα<0，cosα<0，所以原式＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－3.2．设sin25°＝a，则sin65°cos115°tan205°＝()A.eq\f(a2,\r(1－a2)) B．－eq\f(a2,\r(1－a2))C．－a2 D．a2答案C解析因为sin65°＝cos25°，cos115°＝cos(90°＋25°)＝－sin25°，tan205°＝tan(180°＋25°)＝tan25°＝eq\f(sin25°,cos25°)，所以sin65°cos115°tan205°＝－sin225°＝－a2.3．(2023·湖北四校联考)已知角α是第二象限角，且满足sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3) D．－1答案B解析由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＋3cos(α－π)＝1，得cosα－3cosα＝1，∴cosα＝－eq\f(1,2)，∵角α是第二象限角，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，∴tan(π＋α)＝tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\r(3).4．(2024·泰安质检)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(17π,12)))的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2\r(2),3)答案A解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(17π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)＋\f(3π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(1,3).5．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(3)＝3，则f(2024)的值为()A．－1 B．1C．3 D．－3答案D解析∵函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，∴f(3)＝asin(3π＋α)＋bcos(3π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝3，∴asinα＋bcosβ＝－3.∴f(2024)＝asin(2024π＋α)＋bcos(2024π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－3.故选D.6．(2023·辽宁校考一模)已知角α的终边上一点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,5)，cos\f(4π,5)))，则α的最小正值为()A.eq\f(π,5) B.eq\f(3π,10)C.eq\f(4π,5) D.eq\f(17π,10)答案D解析因为eq\f(4π,5)＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,10)))，所以sineq\f(4π,5)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,10)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,10)))，而coseq\f(4π,5)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,10)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,10)))，所以角α终边上的点的坐标可写为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,10)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,10)))))，所以α＝－eq\f(3π,10)＋2kπ，k∈Z，因此α的最小正值为－eq\f(3π,10)＋2π＝eq\f(17π,10).故选D.7．(2023·益阳模拟)若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则sin2α－sinαcosα－3cos2α＝()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(9,10) D．－eq\f(3,2)答案C解析由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，得eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(1,2)，即tanα＝－3，∴sin2α－sinαcosα－3cos2α＝eq\f(sin2α－sinαcosα－3cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα－3,tan2α＋1)＝eq\f(9,10).故选C.8．(2024·青岛模拟)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想运用的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜，从而获胜．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝cosθ，b＝sinθ＋cosθ，c＝cosθ－sinθ，对方的三个数以及排序如表：第一局第二局第三局2tanθsinθ若0<θ<eq\f(π,4)，则我方必胜的排序是()A．a，b，c B．b，c，aC．c，a，b D．c，b，a答案D解析因为当0<θ<eq\f(π,4)时，sinθ>0，cosθ>0，tanθ>0，sinθ－tanθ＝eq\f(sinθ（cosθ－1）,cosθ)<0，所以sinθ<tanθ<2，cosθ－sinθ<cosθ<sinθ＋cosθ，即c<a<b.又b2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ>1，所以b＝sinθ＋cosθ>1>tanθ，a＝cosθ>sinθ，c＝cosθ－sinθ<2，故类比“田忌赛马”，我方必胜的排序是c，b，a.故选D.二、多项选择题9．在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sinC B．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2))) D．cos(A＋B)＝cosC答案ABC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2)；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC.10．(2024·淄博调研)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，则下列结论正确的是()A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．cosθ＝－eq\f(3,5)C．tanθ＝－eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)答案ABD解析因为sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，所以1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，所以2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)<0，又θ∈(0，π)，所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，A正确；进而可得sinθ>cosθ，因为(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25)，所以sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)，D正确；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(1,5)，,sinθ－cosθ＝\f(7,5)，))解得sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝－eq\f(3,5)，进而得tanθ＝－eq\f(4,3)，故B正确，C错误．故选ABD.11．(2023·宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝eq\f(π