北京市丰台区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市丰台区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知向量，.若，则实数（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗向量，，若，则有，则.故选：C.2.若为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.3.在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点，故.故选：B.4.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，则.故选：A.5.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，在该书的第五卷“三斜求积”中，提出了由三角形的三边直接求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”把以上这段文字写成公式，就是（其中为三角形面积，为小斜，为中斜，为大斜）.在中，若，，，则的面积等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，若，，，则的面积．故选：B．6.已知是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A.若∥，∥，则∥B.若，∥，则C.若，，，则D.若，，，则∥〖答案〗D〖解析〗对于A，如图在长方体中，∥，∥，此时，所以A错误；对于B，如图在长方体中，，∥，此时∥，所以B错误；对于C，如图在长方体中，，，，此时∥，所以C错误；对于D，如图，设，在平面作直线于点，因为，所以，因为，所以∥，因为，，所以∥，所以D正确.故选：D.7.将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为 B.，的最小值为C.，的最小值为 D.，的最小值为〖答案〗A〖解析〗点在函数上，所以，则，，将，代入中可得，，可得或，由于，所以的最小值为．故选：A.8.如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，，，设，其中，则，，，当时，有最大值6．故选：C．9.如图，在正方形中，分别为边，的中点.现沿线段，及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为.在该四面体中，作平面，垂足为，则是的（）A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心〖答案〗A〖解析〗如下图所示，在四面体中，连接，由题意知，，，又因为平面，，所以平面，因为平面，所以，因为平面，平面，所以，又因为平面，，所以平面，因为平面，所以，同理，，，则是的垂心.故选：A.10.如图，已知直线，为之间一定点，并且点到的距离为2，到的距离为1.为直线上一动点，作，且使与直线交于点，则△面积的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解法一：不妨将图形顺时针旋转，然后以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，直线的斜率存在，设方程为：，，则直线的方程为：，，，的面积，当且仅当时取等号，的面积最小值为2．解法二：设角则，故所以的面积由于，所以，故当时，面积取最小值2.故选：C.二、填空题.共5小题，每小题5分，共25分.11.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________.〖答案〗〖解析〗由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为.故〖答案〗为：.12.某运动员射击一次，命中环的概率为，命中环的概率为，则他射击一次命中的环数不超过的概率为___________.〖答案〗〖解析〗由题意，射击一次命中的环数不超过8的概率为．故〖答案〗为：0.4.13.在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是.若，则___________.〖答案〗〖解析〗因为向量对应的复数是，向量对应的复数是，所以，，因为，所以，得.故〖答案〗为：.14.若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为___________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由函数的图象与性质，可得函数在区间上单调递增，当时，可得，此时函数满足在区间上单调递增，当时，，所以常数的一个取值可以为.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论：①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为；②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值；③存在点，，使得平面；④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为.其中所有正确结论的序号是___________.〖答案〗②③〖解析〗对于①，当为线段的中点时，连接，如图所示，则为线段的中点，是边长为的正三角形，两点之间距离的最小值为到的垂线段长度，此时，故①错误；对于②，当为线段的中点时，连接，如图所示，显然，到平面的距离为定值，面积为定值，结合三棱锥体积公式可知，三棱锥的体积为定值，故②正确；对于③，当与重合，与重合时，如图所示，由正方体可知平面，，因为平面，所以，又因为平面，，所以平面，因为平面，所以，同理，，又因为平面，，所以平面，即平面，所以存在点，，使得平面，故③正确；对于④，当为靠近点的三等分点时，延长交于点，取中点，连接，如图所示，由得四边形是平行四边形，所以，由可知，即，所以是中点，又因为是中点，所以，，所以平面截该正方体所得截面为等腰梯形，在直角中，，同理，所以截面的周长为，即当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为，故④错误.故〖答案〗为：②③.三、解答题.共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在△中，.（1）求；（2）若，且△的面积为，求的值.解：（1）因为，所以由正弦定理得，因为、，所以，所以，即，即，所以.（2）由（1）知，，因为，的面积为，所以由，解得，由余弦定理，所以.17.如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：平面平面.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.解：（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是平行四边形，因为分别为棱的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，于是，又平面平面，所以平面.（2）选①：由（1）知，，且，所以，因为直三棱柱，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.选②：因为，且为棱的中点，所以，因为直三棱柱，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的〖解析〗式；（2）设函数，求在区间上的最大值以及取得最大值时的值.解：（1）由图可得，且，所以，即，所以，又，所以，即，所以，又，所以，故.（2）因为，所以，因为，所以，所以当，即时，有最大值为2.19.在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：物理+化学物理+生物物理+思想政治物理+历史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；（3）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”人数发生了变化？说明理由.解：（1）依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有人，即该随机试验的样本空间有78个样本点，设事件“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，则事件包含个样本点，所以.（2）依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为；高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为，该随机试验的样本空间可以表示为：{}，即，设事件“这2人均来自高一（2）班”，则，所以，故.（3）设事件“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”，假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，则由模拟选科数据可知，，所以，〖答案〗示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.〖答案〗示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化，理由如下：事件是随机事件，虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，平面与棱交于点.（1）求证：为棱的中点；（2）若平面平面，，△为等边三角形，求四棱锥的体积.解：（1）因为四边形是矩形，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，即，又为棱的中点，所以为棱的中点.（2）因为四边形是矩形，所以，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，平面，所以，因为为等边三角形，为