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文档简介
江苏省苏州高新区2024届中考联考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E、F是AD边上的两个动点,且AE=FD,连接BE、CF、BD,CF与BD交于点H,连接DH,下列结论正确的是()①△ABG∽△FDG②HD平分∠EHG③AG⊥BE④S△HDG:S△HBG=tan∠DAG⑤线段DH的最小值是2﹣2A.①②⑤ B.①③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④2.下列图形是轴对称图形的有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.如图,在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°,热气球C的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是()A.200米 B.200米 C.220米 D.100米4.已知反比例函数,下列结论不正确的是()A.图象经过点(﹣2,1) B.图象在第二、四象限C.当x<0时,y随着x的增大而增大 D.当x>﹣1时,y>25.如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE=140°,则∠C=()A.50° B.40° C.30° D.20°6.下列实数中,为无理数的是()A. B. C.﹣5 D.0.31567.如图,点E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点,则下列条件中不能判定AD∥BE的是()A. B. C. D.8.若代数式有意义,则实数x的取值范围是()A.x>0 B.x≥0 C.x≠0 D.任意实数9.下列计算正确的是A. B. C. D.10.如图,一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间,已知量得平行线间的距离为12cm,三角尺最短边和平行线成45°角,则三角尺斜边的长度为()A.12cm B.12cm C.24cm D.24cm二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,点A的坐标为(3,),点B的坐标为(6,0),将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定的角度后得到△A′O′B,点A的对应点A′在x轴上,则点O′的坐标为_____.12.如图,直线y=kx与双曲线y=(x>0)交于点A(1,a),则k=_____.13.北京奥运会国家体育场“鸟巢”的建筑面积为258000平方米,那么258000用科学记数法可表示为.14.一个盒子内装有大小、形状相同的四个球,其中红球1个、绿球1个、白球2个,小明摸出一个球不放回,再摸出一个球,则两次都摸到白球的概率是_______.15.如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为_______米(结果保留根号).16.计算(2+1)(2-1)的结果为_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,3),点B(,0),连接AB,若对于平面内一点C,当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时,称点C是线段AB的“等长点”.(1)在点C1(﹣2,3+2),点C2(0,﹣2),点C3(3+,﹣)中,线段AB的“等长点”是点________;(2)若点D(m,n)是线段AB的“等长点”,且∠DAB=60°,求点D的坐标;(3)若直线y=kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”,求k的取值范围.18.(8分)今年深圳“读书月”期间,某书店将每本成本为30元的一批图书,以40元的单价出售时,每天的销售量是300本.已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下,若每本涨价1元,则每天就会少售出10本,设每本书上涨了x元.请解答以下问题:(1)填空:每天可售出书本(用含x的代数式表示);(2)若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润,应涨价多少元?19.(8分)解不等式,并把它的解集表示在数轴上.20.(8分)如图,已知△ABC中,AB=AC=5,cosA=.求底边BC的长.21.(8分)小昆和小明玩摸牌游戏,游戏规则如下:有3张背面完全相同,牌面标有数字1、2、3的纸牌,将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上,随机抽出一张,记下牌面数字,放回后洗匀再随机抽出一张.请用画树形图或列表的方法(只选其中一种),表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果;若规定:两次抽出的纸牌数字之和为奇数,则小昆获胜,两次抽出的纸牌数字之和为偶数,则小明获胜,这个游戏公平吗?为什么?22.(10分)甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地,如图,线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系;折线OBCDA表示轿车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题:当轿车刚到乙地时,此时货车距离乙地千米;当轿车与货车相遇时,求此时x的值;在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,求x的值.23.(12分)如图,某校准备给长12米,宽8米的矩形室内场地进行地面装饰,现将其划分为区域Ⅰ(菱形),区域Ⅱ(4个全等的直角三角形),剩余空白部分记为区域Ⅲ;点为矩形和菱形的对称中心,,,,为了美观,要求区域Ⅱ的面积不超过矩形面积的,若设米.甲乙丙单价(元/米2)(1)当时,求区域Ⅱ的面积.计划在区域Ⅰ,Ⅱ分别铺设甲,乙两款不同的深色瓷砖,区域Ⅲ铺设丙款白色瓷砖,①在相同光照条件下,当场地内白色区域的面积越大,室内光线亮度越好.当为多少时,室内光线亮度最好,并求此时白色区域的面积.②三种瓷砖的单价列表如下,均为正整数,若当米时,购买三款瓷砖的总费用最少,且最少费用为7200元,此时__________,__________.24.如图,在中,点是的中点,点是线段的延长线上的一动点,连接,过点作的平行线,与线段的延长线交于点,连接、.求证:四边形是平行四边形.若,,则在点的运动过程中:①当______时,四边形是矩形;②当______时,四边形是菱形.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、B【解析】
首先证明△ABE≌△DCF,△ADG≌△CDG(SAS),△AGB≌△CGB,利用全等三角形的性质,等高模型、三边关系一一判断即可.【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∠BAD=∠ADC=90°,∠ADB=∠CDB=45°.∵在△ABE和△DCF中,AB=CD,∠BAD=∠ADC,AE=DF,∴△ABE≌△DCF,∴∠ABE=∠DCF.∵在△ADG和△CDG中,AD=CD,∠ADB=∠CDB,DG=DG,∴△ADG≌△CDG,∴∠DAG=∠DCF,∴∠ABE=∠DAG.∵∠DAG+∠BAH=90°,∴∠BAE+∠BAH=90°,∴∠AHB=90°,∴AG⊥BE,故③正确,同理可证:△AGB≌△CGB.∵DF∥CB,∴△CBG∽△FDG,∴△ABG∽△FDG,故①正确.∵S△HDG:S△HBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tan∠FCD,∠DAG=∠FCD,∴S△HDG:S△HBG=tan∠FCD=tan∠DAG,故④正确.取AB的中点O,连接OD、OH.∵正方形的边长为4,∴AO=OH=×4=1,由勾股定理得,OD=,由三角形的三边关系得,O、D、H三点共线时,DH最小,DH最小=1-1.无法证明DH平分∠EHG,故②错误,故①③④⑤正确.故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质,解直角三角形,解题的关键是掌握它们的性质进行解题.2、C【解析】试题分析:根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.据此对图中的图形进行判断.解:图(1)有一条对称轴,是轴对称图形,符合题意;图(2)不是轴对称图形,因为找不到任何这样的一条直线,使它沿这条直线折叠后,直线两旁的部分能够重合,即不满足轴对称图形的定义.不符合题意;图(3)有二条对称轴,是轴对称图形,符合题意;图(3)有五条对称轴,是轴对称图形,符合题意;图(3)有一条对称轴,是轴对称图形,符合题意.故轴对称图形有4个.故选C.考点:轴对称图形.3、D【解析】
在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°,BD=CD=100米,再在Rt△ACD中求出AD的长,据此即可求出AB的长.【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°,∴BD=CD=100米,∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°,∴AC=2×100=200米,∴AD==100米,∴AB=AD+BD=100+100=100(1+)米,故选D.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.4、D【解析】
A选项:把(-2,1)代入解析式得:左边=右边,故本选项正确;
B选项:因为-2<0,图象在第二、四象限,故本选项正确;
C选项:当x<0,且k<0,y随x的增大而增大,故本选项正确;
D选项:当x>0时,y<0,故本选项错误.
故选D.5、B【解析】试题解析:延长ED交BC于F,∵AB∥DE,∴在△CDF中,故故选B.6、B【解析】
根据无理数的定义解答即可.【详解】选项A、是分数,是有理数;选项B、是无理数;选项C、﹣5为有理数;选项D、0.3156是有理数;故选B.【点睛】本题考查了无理数的判定,熟知无理数是无限不循环小数是解决问题的关键.7、A【解析】
利用平行线的判定方法判断即可得到结果.【详解】∵∠1=∠2,∴AB∥CD,选项A符合题意;∵∠3=∠4,∴AD∥BC,选项B不合题意;∵∠D=∠5,∴AD∥BC,选项C不合题意;∵∠B+∠BAD=180°,∴AD∥BC,选项D不合题意,故选A.【点睛】此题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.8、C【解析】
根据分式和二次根式有意义的条件进行解答.【详解】解:依题意得:x2≥1且x≠1.解得x≠1.故选C.【点睛】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件.解题时,注意分母不等于零且被开方数是非负数.9、B【解析】试题分析:根据合并同类项的法则,可知,故A不正确;根据同底数幂的除法,知,故B正确;根据幂的乘方,知,故C不正确;根据完全平方公式,知,故D不正确.故选B.点睛:此题主要考查了整式的混合运算,解题关键是灵活应用合并同类项法则,同底数幂的乘除法法则,幂的乘方,乘法公式进行计算.10、D【解析】
过A作AD⊥BF于D,根据45°角的三角函数值可求出AB的长度,根据含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC的长即可.【详解】如图,过A作AD⊥BF于D,∵∠ABD=45°,AD=12,∴=12,又∵Rt△ABC中,∠C=30°,∴AC=2AB=24,故选:D.【点睛】本题考查解直角三角形,在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,熟记特殊角三角函数值是解题关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、(,)【解析】
作AC⊥OB、O′D⊥A′B,由点A、B坐标得出OC=3、AC=、BC=OC=3,从而知tan∠ABC==,由旋转性质知BO′=BO=6,tan∠A′BO′=tan∠ABO==,设O′D=x、BD=3x,由勾股定理求得x的值,即可知BD、O′D的长即可.【详解】如图,过点A作AC⊥OB于C,过点O′作O′D⊥A′B于D,
∵A(3,),
∴OC=3,AC=,
∵OB=6,
∴BC=OC=3,
则tan∠ABC==,
由旋转可知,BO′=BO=6,∠A′BO′=∠ABO,
∴==,
设O′D=x,BD=3x,
由O′D2+BD2=O′B2可得(x)2+(3x)2=62,
解得:x=或x=−(舍),
则BD=3x=,O′D=x=,
∴OD=OB+BD=6+=,
∴点O′的坐标为(,).【点睛】本题考查的是图形的旋转,熟练掌握勾股定理和三角函数是解题的关键.12、1【解析】解:∵直线y=kx与双曲线y=(x>0)交于点A(1,a),∴a=1,k=1.故答案为1.13、2.58×1【解析】科学记数法就是将一个数字表示成(a×10的n次幂的形式),其中1≤|a|<10,n表示整数.即从左边第一位开始,在首位非零的后面加上小数点,再乘以10的n次幂.258000=2.58×1.14、【解析】
首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况,再利用概率公式即可求得答案.【详解】画树状图得:
∵共有12种等可能的结果,两次都摸到白球的有2种情况,
∴两次都摸到白球的概率是:=.
故答案为:.【点睛】本题考查用树状图法求概率,解题的关键是掌握用树状图法求概率.15、一4【解析】
分析:利用特殊三角函数值,解直角三角形,AM=MD,再用正切函数,利用MB求CM,作差可求DC.【详解】因为∠MAD=45°,AM=4,所以MD=4,因为AB=8,所以MB=12,因为∠MBC=30°,所以CM=MBtan30°=4.所以CD=4-4.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数的相关定义以及变形是解题的关键.16、1【解析】
利用平方差公式进行计算即可.【详解】原式=(2)2﹣1=2﹣1=1,故答案为:1.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,在进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)C1,C3;(2)D(﹣,0)或D(,3);(3)﹣≤k≤【解析】
(1)直接利用线段AB的“等长点”的条件判断;(2)分两种情况讨论,利用对称性和垂直的性质即可求出m,n;(3)先判断出直线y=kx+3与圆A,B相切时,如图2所示,利用相似三角形的性质即可求出结论.【详解】(1)∵A(0,3),B(,0),∴AB=2,∵点C1(﹣2,3+2),∴AC1==2,∴AC1=AB,∴C1是线段AB的“等长点”,∵点C2(0,﹣2),∴AC2=5,BC2==,∴AC2≠AB,BC2≠AB,∴C2不是线段AB的“等长点”,∵点C3(3+,﹣),∴BC3==2,∴BC3=AB,∴C3是线段AB的“等长点”;故答案为C1,C3;(2)如图1,在Rt△AOB中,OA=3,OB=,∴AB=2,tan∠OAB==,∴∠OAB=30°,当点D在y轴左侧时,∵∠DAB=60°,∴∠DAO=∠DAB﹣∠BAO=30°,∵点D(m,n)是线段AB的“等长点”,∴AD=AB,∴D(﹣,0),∴m=,n=0,当点D在y轴右侧时,∵∠DAB=60°,∴∠DAO=∠BAO+∠DAB=90°,∴n=3,∵点D(m,n)是线段AB的“等长点”,∴AD=AB=2,∴m=2;∴D(,3)(3)如图2,∵直线y=kx+3k=k(x+3),∴直线y=kx+3k恒过一点P(﹣3,0),∴在Rt△AOP中,OA=3,OP=3,∴∠APO=30°,∴∠PAO=60°,∴∠BAP=90°,当PF与⊙B相切时交y轴于F,∴PA切⊙B于A,∴点F就是直线y=kx+3k与⊙B的切点,∴F(0,﹣3),∴3k=﹣3,∴k=﹣,当直线y=kx+3k与⊙A相切时交y轴于G切点为E,∴∠AEG=∠OPG=90°,∴△AEG∽△POG,∴,∴=,解得:k=或k=(舍去)∵直线y=kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”,∴﹣≤k≤,【点睛】此题是一次函数综合题,主要考查了新定义,锐角三角函数,直角三角形的性质,等腰三角形的性质,对称性,解(1)的关键是理解新定义,解(2)的关键是画出图形,解(3)的关键是判断出直线和圆A,B相切时是分界点.18、(1)(300﹣10x).(2)每本书应涨价5元.【解析】试题分析:(1)每本涨价1元,则每天就会少售出10本,设每本书上涨了x元,则每天就会少售出10x本,所以每天可售出书(300﹣10x)本;(2)根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程,解方程即可求解.试题解析:(1)∵每本书上涨了x元,∴每天可售出书(300﹣10x)本.故答案为300﹣10x.(2)设每本书上涨了x元(x≤10),根据题意得:(40﹣30+x)(300﹣10x)=3750,整理,得:x2﹣20x+75=0,解得:x1=5,x2=15(不合题意,舍去).答:若书店想每天获得3750元的利润,每本书应涨价5元.19、x<5;数轴见解析【解析】【分析】将(x-2)当做一个整体,先移项,然后再按解一元一次不等式的一般步骤进行求解,求得解集后在数轴上表示即可.【详解】移项,得,去分母,得,移项,得,∴不等式的解集为,在数轴上表示如图所示:【点睛】本题考查了解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集,根据不等式的特点选择恰当的方法进行求解是关键.20、【解析】
过点B作BD⊥AC,在△ABD中由cosA=可计算出AD的值,进而求出BD的值,再由勾股定理求出BC的值.【详解】解:过点B作BD⊥AC,垂足为点D,在Rt△ABD中,,∵,AB=5,∴AD=AB·cosA=5×=3,∴BD=4,∵AC=5,∴DC=2,∴BC=.【点睛】本题考查了锐角的三角函数和勾股定理的运用.21、(1)结果见解析;(2)不公平,理由见解析.【解析】判断游戏是否公平,即是看双方取胜的概率是否相同,若相同,则公平,不相同则不公平.22、(1)30;(2)当x=3.9时,轿车与货车相遇;(3)在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,x的值为3.5或4.3小时.【解析】
(1)根据图象可知货车5小时行驶300千米,由此求出货车的速度为60千米/时,再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地,由此求出轿车到达乙地时,货车行驶的路程为270千米,而甲、乙两地相距300千米,则此时货车距乙地的路程为:300﹣270=30千米;(2)先求出线段CD对应的函数关系式,再根据两直线的交点即可解答;(3)分两种情形列出方程即可解决问题.【详解】解:(1)根据图象信息:货车的速度V货=,∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时,∴轿车到达乙地时,货车行驶的路程为:4.5×60=270(千米),此时,货车距乙地的路程为:300﹣270=30(千米).所以轿车到达乙地后,货车距乙地30千米.故答案为30;(2)设CD段函数解析式为y=kx+b(k≠0)(2.5≤x≤4.5).∵C(2.5,80),D(4.5,300)在其图象上,,解得,∴CD段函数解析式:y=110x﹣195(2.5≤x≤4.5);易得OA:y=60x,,解得,∴当x=3.9时,轿车与货车相遇;(3)当x=2.5时,y货=150,两车相距=150﹣80=70>20,由题意60x﹣(110x﹣195)=20或110x﹣195﹣60x=20,解得x=3.5或4.3小时.答:在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,x的值为3.5或4.3小时.【点睛】本题考查了一次函数的应用,对一次函数图象的意义的理解,待定系数法求一次函数的解析式的运用,行程问题中路程=速度×时间的运用,本题有一定难度,其中求出货车与轿车的速度是解题的关键.23、(1)8m2;(2)68m2;(3)40,8【解析】
(1)根据中心对称图形性质和,,,可得,即可解当时,4个全等直角三角形的面积;(2)白色区域面积即是矩形面积减去一二部分的面积
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