高等工科数学试卷等素材（主编金桂堂） 第3章参考解答

第3章参考答案

习题3.1

A组

1.填空

(1)若函数y=/(x)在点X。可导，则/(x)在(X。，y0)处的切线方程为.

(2)曲线y在关=0处的切线方程为.

(3)设y=e3,贝|y'=.

(4)_y=sinx,贝;/'(?)=.

(5)设y=lnx,则/"(x)=;f"(V)=-

2.选择

(1)函数y=|x|在点x=0处().

A.可导.B.无极限.C.连续.D.无定义.

(2)若函数y=/(x)在点的切线存在，则函数函数y=/(x)在％()点的导数()

A.一定存在.B.不一定都存在C.一定不存在.D.以上都不对

3.计算

(1)设函数y=cosx,求y"K

x=—

2

⑵求y=log3X在n二会处的切线、法线方程.

4.一物体作直线运动，其运动方程为S=/-2f(时间单位：，长度单位：比).

(1)求物体在2(s)末的位置；

⑵求物体在2(s)到2+&(s)的平均速度；

(3)求物体在2(s)末的瞬时速度.

解答：

1.填空

1

z

(1).y-yG=/(x0)(^-x0);(2).y=0;(3).0;(4).cosx,-;(5)._____j

2x2,

2.选择

(1).C(2).B

3.计算

(1).先求一阶导函数、二阶导函数

，•"

y=-sinx,y=-cosx

从而

(2).先求斜率

13

y=——，所以左=」一

xln3乃ln3

切点为：(§/Og3§)从而切线方程为：

3,711

y=-------x+logo------------

-7iln3J3ln3

法线方程：y=-X+log3jIn3»

4.(1)S(0)=0;

(2)根据平均速度的概念

_S(2+Af)-S⑵(2+AZ)2-2(2+Af)-0,〜

v=-------------------=-----------------------------=+2，

AzAr

(3)由瞬时速度的概念

S(2+Ar)-S(2)

v=limvlim=lim(A/+2)=2

Az->04-0Nt4-0

B组

1.填空

(1)设尸(演)存在，根据导数的定义，lim"演—―/(殉)

-Ax

⑵设/'⑵=1,则lim〃？一/⑵=

%->2X—4

打2

2.设函数y求y.

X

3.设一根细棒从端点A到距点x(单位:c机)的一段的质量可以用函数根(%)=，+%(单

位:kg)表示,对x给定增量Ax,计算：

(1)从x到％+Ax这段细棒的质量Am；

⑵在［无，x+Ax］上的平均密度p=A依；

Ax

Am

(3)当Ax-0,极限p=lim——称为此棒在x处的线密度，试计算细棒在x处的线密度.

Ax->0Ax

Axx+Ax

(第3题图)

解答：

i.(i)尸(殉)“2)--

4

2.先将函数变形有

3£721

7X-

y=----=xi3-x-1=x33

x

因此有

4

，

V二——1X~3J

3

2

3.(1)Am=m(x+Ax)—m(x)=Ax+2xAx+Ax

Am4--

(2)p---=Ax+2x+l

，Ax

AM7

(3)p-lim---=lim(Ax+2x+l)=2x+l

Arf0八丫Arf0

习题3.2参考答案

A组

1.填空

(1)(sin3x)'=,(cosy[x)'=,(cot—)z=.

x

(2)(e2x)'=,(23")'=.

(3)(ln(2-3尤))'=,(lg/)'=Jxlnx)'=.

(4)设y=2sinx一炉，则y，=.

(5)设y=炉，贝|y"=,y'\x=l=.

2.求下列函数的导数

7

(1)y=x1+-e1(2)y=5x-y[x-3arcsinx(3)y=Inxy[x

//、2/—f5%—1x+1

y=x2-ex

(4)y=----------------(5)(6)y=1

x-1

_COS%+1

(8)y=(arcsinx-2)(q)y—.

sinx

3.求下列函数的导数

(1)y=(3x—2产(2)y=y/4-x2(3)y=ln(l-x3)

(4)j=23X-5(5)y=ecosx(6)y=ln(l+x2)

(7)y=arctan—

x

4.求下列函数的导数

、01.1

(1)y=sin5x+cosx5(2)y-x~-41n—(3)y=xsin—

xx

(4)y=e~xsin3x(5)y=xarctan2x

5.设曲线＞=/+2x-5在点M处的切线斜率为5,求点M的坐标.

解答：

1.填空

-sinVx1

(1),3cos3x,

2G'X2sin21

x

(2).2e2x,3(23'In2)；

-3

(3).—,1+lnx.

2-3xxlnlO

(4).2cosx-5x4；

(5).20x3,20.

2.求下列函数的导数

3

(1)/=7x6+7-vln7(2)y

,3y=4%-i+-^-

(3)y=一(4)

2xX

y'="2

(5)V=(2x+x2)ex(6)

'(x-1)2

]

y'=3A/X

(7)+2A/7(8)y'=/(arcsinx+.)

VI-x2

,(cosx+1)

3.求下列函数的导数

(1)y'=5(3x—2)4.3=15(3%—2)4

—x

A/4-X2

i-3x2

(3)y=(-3x2)

l-x31-x3

(4)/=23j:-5ln2-3=3-23x-5ln2

(5)=ecosx•(-sinx)=-sinx-ecosx

)2x

(6)jx=

x2+l

4.求下列函数的导数

(1)yr=5sin4x-cosx+sinx5-5x4=5(sin4x-cosx-x4sinx5)；

4

(2)变形有y=/+41口%,所以y'=2%+—；

x

「、，・111.111

(3)y=sm—+xcos—z(——-A)=sin------cos—；

XXXXXX

(4)y'="无(一1)sin3x+e~xcos3%•3=e~x(3cos3x-sin3%)；

]2x

(5)y'=arctan2x+x------------2=arctan2x-\----------.

l+(2x)2l+4x2

5.设M点坐标为(x,y),则

3d+2=5,即1=±1

因此，所求坐标为

(1,-2),(-1,-8)

B组

1.填空

(1)(/')"=,(/*)(")=.

(2)(Jsin3x-cot2xy=.

3X

(3)(―+ln3)f=.

X

2求下列函数的导数

(1)y=ln[ln(lnx)](2)y=sin32x(3)y=ln7x2+9

3.求下列函数的导数或导数值

O0v-

(1)y=xesecx(2)y=x-xtan3x+arccot2%-1

⑶2①2(4)(5)y=/(lnx)(设/(x)可导)

4

4.设曲线>=/+1在点M处的切线L平行于直线y=3x-l,求切线L的方程.

5.以飞上抛的物体，其上升高度s与时间/的关系是s=2/-5产.求：

(1)该物体的速度v(f)

(2)该物体达到最高点的时刻.

6.设某物质在化学分解中经过时间/后，所剩物质机与时间f的关系为加=3e-n(%>0,k

是常数)，求物质的分解速度.

7.在电容为C的电容器两端，加上正弦交流电压U=U”sin3/时，电容极板上的电量为:

。⑺=CU=CUmsincor(C,Um,a为常数).求任意时刻t流过电容器的电流强度i.

8.将一金属块从室温20°C状态下投入到一个恒温为80°C的热水池中.已知其温度下

的变化规律为7=80-60e43r(。0,其中f为时间变量，单位为s.求该金属块在2(s)时

金属块的温度及温度上升速率(精确到o.rc).

解答：

1.填空

(1)25e5x5ne5x(2)3cos3x+2csc(2x)「仃)3"'।3.ln3

42

2J-cot2x+sin3xxx

2.求下列函数的导数

八、，1111

(1)y=------------二------------

InInxInxxxlnx(lnInx)

(2)y=3sin22xcos2%•2=6cos2xsin22x

1

(3)先化简函数表达式得丁=万111(912+9),因此

,_12x_x

Y~29+X2~9+X2

3.求下列函数的导数或导数值

(1)yf=2xe2xsecx+x2e2x-2-secx+x2e2xsecxtanx=xe2xsecx(2+2x+xtanx)

(2)y'=3x2-tan3x-xsec23x-3-----------•2=3x2-------3xsec(3x)2-tan3x

l+(2x)2l+4x2

(3)(Incos23*50}'=—-2cose•(-sine)=-2tan。，所以

cos0

(Ineos26>)f

4

[l+x、，11—X1+Xr11—X1—%+(1+x)1

(4)(In----)=-------(----)=-------,所以

1-x21+x1-X21+X(If1-X

(5)y=/,(lnx)--=^1^

XX

4.设切点为(%,%),由题意,

3%Q=3,从而x0=±1,

因此切点为(1,2),(-1,0)，切线方程分别对应为

y=3x-l,y=3x+3

5.(1)v(t)=s=2-10t,

(2)最演]点时v«)=s'=2—10看=0,从而1=0.2°

6.分解速度即m'=—=-3ke-kt

dt

7.流过电容器的电流强度为Q'«)=也迫=oCG“cos而

dt

8.T(2)=47.1,又由于T'(t)=—60—3r.(_0.3)=18e%3,所以

r(2)=9.8

习题3.3参考答案

A组

1.填空

(1)dcosx=(ydx,t/(—)=()dx.

X

(2)d()=3dx,d()=2xdx.

(3)d()=—dx,de3x=()dx.

x

(4)矶ln(2x+l)]=()d(2x+l)=()dx.

(5)d(cos5x)=()d(5x)=()dx.

2.选择

(1)函数y=/(%)在点％=与处可微是函数在该点可导的()条件.

A.必要不充分B,充分必要C.充分不必要D.无关条件

(2)函数/(无)在点/点连续，则它在该点()

A.必可导.B.不一定可导.C.不可导.D.以上都不对

⑶设y=arcsineX,则办=().

Bx

A，TSe—^-dx

C..dxD.

\+e2x

3.求下列函数的微分

、，。tanx

(1)y=5x7+4x4-1(2)y=J3x-4(3)y=2

x

(4)y=arcsin(%2)(5)y=sinA:-e~(6)y=

x-1

4.求下列隐函数的导数

(1)x1+2xy-1=0(2)y3=x-]ny(3)y=siny-x

(4)y=2x-exy+1(5)x+y=e，r,求y'x=o

y=i

5.求下列参数方程所表示函数的导数

、fx=sin^、x=2t2

(1)\(2)\

['=2/y=

6.求下列曲线在给定点处的切线、法线方程

x=t-sintTT

(1)(0<r<2K)在r=/相应点处

y=1—cost

x=1—2t

(2)在7=4相应点处

y=T

(3)椭圆L+2-=1,在A(2行,士行)处

1692

(4)抛物线y2+10x-2y-18=0,在B(1,4)处

7.设某经济模型为y=10+0.4%+0.01V^,当x=100变化到x=100.05时，函数Ay大

约是多少？

解答：

1.填空

。1

(1).—sinx?----；(2).3%,x2；

2

(3).]n\x\,3e3x(4).

2x+l2x+l

(5)-sin5x,-5sin5%.

2.选择

(1)B(2)B(3)C

3.求下列函数的微分

(1)由于？=35/+16%3,所以

dy-(35x6+16x3)dx；

由于；/=—/3,

(2)所以

-2j3x—4

3

dy=dx；

2j3x—4

2

(3)y'=2tm(tan%),=2Gsecx,从而

dy=sec2xdx；

f12x

(4)y=.(2x)=从而

dv=2xdx；

(5)y'=cosx-e~x+sin%•e~x-(-1)=-e-x(sin%-cos%),所以

dy=-e7(sinx-cosx)dx；

,l(x-l)-x-l1

2所以

(6)y(x-i)-(x-1)2,

dy=——^dx；

•(If

4.求下列隐函数的导数

(1)方程两边对x求导有

2x+2y+2xyf=0

解出y可得

y=-i-2

X

(2)方程两边对x求导有

3y2y'=l--y'

y

解出y可得

-3/+1

(3)方程两边对x求导有

/=cosy-/-l

解出V可得

cosy-1

(4)方程两边对x求导有

y'=2-exy(y+xy,)

解出y可得

xev+l

(5)方程两边对x求导有

l+y'=e^(l-yr)

解出y可得

,l-ex-y

y=-----------

因此

八l-e~l1-e

y%=o=­~：—

y=i1+e1+e

5.求下列参数方程的导数

(1)包=X=2secr

dxx；

(2)-二』=3”，(-1)=生

dxx\4t4，

⑶包=工=!!3=_.+1),另一方面，X=1时，有/=0,所以

dxX；-1

dy

一⑵+儿。=—1

dx7

6.求下列曲线在给定点处的切线、法线方程

(1)求导有

sin%

f

dxxt1-cost

切线的斜率为

.71

sin—

k型=^=1

7C唯71

dx1—COS—

2

注意到切点为所以切线、法线方程分别为

y=x+2----;y=-x+—

22

(2)求导有

dy_y't_t_t

dxx't-22

切线的斜率为

人包=-2

dx—

2

注意到切点为(-7,8),所以切线、法线方程分别为

y=-2x-6-,y=-x+-

(3)方程两端求导有

切线的斜率为

k=y'\x=2^2=--=一告

y=3五/2yX=2A/23

y=3&/2

注意到所给切点，可得切线、法线方程分别为

y=--x+3V2;y=—X-—V2

436

(4)方程两端求导有

2yy'+10-2y'=0,y'=-^—

i-y

切线的斜率为

_5

k=yl=---

"1,4)]_y—3

(1,4)J

注意到所给切点，可得切线、法线方程分别为

517317

y=——XH-----;y=-XH--

■3355

7.先求导

了=0.4+^1,从而.=0.4+-^2L=0.4005

-2Gk=I0°2^/100

由微分的定义可知

创Aioo=y'Loo改=04005X(100.05-100)«0.02。

B组

1.讨论/(x)=Fm"'">°在尤=0处的连续性和可导性.

[2元，%<0

X2V<1

2.设函数/(x)='.

ax+b,x>l

为了使函数在x=l处连续且可导，a,6应取什么值？

3.画出函数y=binx|在(-四,二)内的图像，并指出在此区间内哪一点是连续的但不可导.

1122

4.球壳外直径为20cm,厚度为2mm,求球壳体积的近似值.

5.边长为。的金属立方体受热膨胀，当边长增加h,求立方体所增加的体积的近似值.

6.求下列函数的微分

(1)j=[ln(l-x)]3(2)y=arcsin(\/l-x2)(3)y=cos4x-e~x

7.设函数y=x3x,求y.

8.设曲线y=ln2x+x2上一点(x0,y0)处的切线平行于直线y=-3x+4,

①求切点(尤0，%)

②求切线方程

9.以vo为水平速度飞行的飞机，在离地面距离为h的空中执行空投任务时，所投物体在空中

的运动轨迹的参数方程为

x=vot

1

vy=hA--gt2

-乙

求物体着地时的速度大小.

X

解答：

1.显然/'(0)=0,求函数在x=0处的左右极限得

lim/(%)=lim2x=0,lim/(x)=limsinx=0,

%—>0-0-x—>0+x->0+

因此有

lim/(%)=0=/(0)

x—>0

函数在x=0处连续。

进一步求左右导数有

/(/z)-/(0)rcc/(/z)-/(0)sinh1

rlim~=lim2=2,lim~=lim------=1

人一°一h工.0-h—>o+h%.0一h

可见，函数在x=0处不可导.

Y2Y<1

2.函数/(x)=广'-在龙=1处连续且可导，贝!J△1)=1,a+b=l,且有

ax+b,x>l

(+。)+一£⑴=1皿(1+”=2

九m⑴=hrm-4--1--------8----1=a，

20+h力->。h

因此，由可导得知。=2,最终得到

a=2;b=-l

3.画图可见函数在(0.0)点连续，但有一个尖点。事实上，由于

|sin(o+/7)l+|sinO||sin(o+/,)l+|sinO|

no)=iim=i,r(o)=iim=-i

+/zfo+h/z->o_h

因此，函数在这一点不可导。

4.先给出球体的体积可得

V=-TTR39V'=44R2

3

由微分的定义可知，所求的球壳体积为

AVs亚岛=而=4乃x202x.=80万(cm')

5.边长为x的立方体的体积及其导数分别为

丫=V，口=3/

利用微分得立方体所增加的体积为

AVxdV\=V'\dx=3a1h

\x=a\x=a

6.(1)求导得

/=3[ln(l-x)]2••(-1)=-3[ln(l-x)]2-^―

1—x1—x

因此所求微分为

1

dy=-3[ln(l-x)]92-----dx

1-x

(2)y=；•—2——_•(-2x)=--------；__e，从而

小1_诉丁)22，1-犬\x\yll-x2

dy---------:dx

\x\yj\-x1

(3)求导y'=-sin4x・4・ef+cos4x・eT・(-1)=-4sin4xeT-cos4%e—“，从而

dy=(-4sin4xe~x-cos4xe~x)dx

7.用对数求导法。取对数有：Iny=cosx-lnx,两端对x求导可知

一V二-sinx-Inx+cosx•—

丁九

因此

y=x"s%-sinxlnx+吧^)

8.求导有y'=，+2%，由题意

x

111

一+2%0=-3,从而1=-----,x=—l

xo2

注意到函数的定义域，可见满足条件的切点不存在。从而相应切线也不存在。

9.首先，各时刻的速度为

糕2+亨=于记=不再

由于着地时刻为f,从而着地时速度为

"+g2?=尿+2gh

习题3.4参考答案

A组

1.填空

(1)在区间［0,1］上，f(x)=x3+2x满足拉格朗日中值定理条件的&=.

(2)在区间［l,e］上，/(x)=Inx满足拉格朗日中值定理的条件.

(3)设/(x)=(x-l)2在［0,2］上满足罗尔定理的条件，当乡=,/隹)=0.

(4)函数的极值点可能是点和点，函数的拐点可能是点

和点.

(5)函数y=J?+2的驻点是.

(6)>=/%在其定义域内是单调(增减)，在其定义域内的凹向是.

(7)曲线y='—的铅垂渐近线,水平渐近线.

x-1

2.选择

(1)函数/'。)>0,彳€(4力)是函数丁=/(%)在区间3,3内单调递增的().

A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件

(2)函数y=/+23X—15在定义域内().

A.单调递增B.单调递减C.图形上凹.D.图形下凹

(3)若函数y=/(X)在(a,»内具有二阶导数，且()，则/(x)在(。*)内单调递减且上

凹.

A./'。)>0,>。%)<0B.nx)>0,f"(x)>0

C.fXx)<0,f(x)>0D./,(%)<o,r(x)<o

⑷y=/一3尤2一7元的拐点是(

A.x=lB.(1,/(1))C.(0,/(0))D.

3.利用洛必达法则计算下列极限

.2x~—5x+3Inxmrl—cos2x

(1)I1rni-----------------⑵lim------------(3)lim------；—

a14x--5x+1io+ln(sinx)x2

，八In-V「J%+7-3小rMxT)

(4)hm——⑸lim--------------(6)lim----------

+00X」xf2X-2sinx

/r、rln(l-2x)arcsin2x,八、In%

(7)lim——；--------;(8).hm------------(9).hvm----------

1o+sinxx->o%%-i(%—1)

(10)limxln2x(11).limsinx-lnx(12).lim(secx-tanx)

+71

%―()+x^0x->—

2

求下列函数的增减区间

(1)y=2x3-x2+5(2)y=x-ln(l-x)(3)y=x4+2x2-9

X

(4)y=ex-x(5)

1-X

求下列函数的极值点和极值

4

(1)y=3+2x-x2(2)y=——(3)y=x3-3x2-5

X

X(6)y=2-yj(x-l)2

(4)y=x—ln(l+x))1+r

(7)y=—x4-—x3(8)y=xe~x

43

求下列函数在所给区间上的最大值和最小值

X—1

(1)y==,[0,4](2)y=x---,[0,8]

X+12

求下列函数的凹向和拐点

3

(1)y=x2-x3(2)y——3x?+3x-1(3)y=x+x7

(4)j=(l+x2)2(5)y=xex(6)y=y[x^-1

8.求下列曲线的渐近线

i2x

(1)y=-----------(2)y=----------(3)y=ln(x-l)

x2-x-2(x+1)2

9.利用导数作函数的图形

(1)y=--(2)y=x4-2x3+1

X+1

10.要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V,怎样设计桶的底面半径

才能使材料最省？

11.某单位要靠墙盖一间长方形小屋，现有的存砖只够砌20(m)长的墙壁，问应围成怎样的

长方形才能使小屋占面积最大？

12.欲用长为12米的木料加工一日字形窗框，问它的长和宽分别为多少米时，才能使窗框

的面积最大，最大面积是多少？

13.欲做一个底为正方形、容积为108立方米的长方体开口容器，怎样的做法使用材料

最省？

解答：

1.填空

V3।

(1)——(2)e-1(3)1

3

(4)驻点,广(幻不存在；f\x=Q\f\x)不存在

(5)(0,2)(6)单减，凹形(7)x=l,x=-l;y=o

2.选择

(1)B(2)A(3)C(4)B

3.利用洛必达法则计算下列极限

「2%2—5%+3「4-x—54-5

(1).lim——------------lim---------

4x—5x+18x—58^53

1

「Inx「y-sinx.

(2).lim-----------=lim—------=lim---------=1

%-o+ln(sinx)%—0+1%-o+xcosx

')------cosx

sinx

「l-cos2x「sin2x-2八

(3).lim------------=lim------------=2

一。x%一。2x

1

「Inx「x「1c

(4).lim——=lim=lim——-二0

X—>-KOJQx—>4-002xX—>4-002x

I-------=------1

(<、r«+7-32：x+71

(5).lim-----------=lim------------=—；

12X—216

「x(x-l)「2x-l、

(6)lim---------=lim--------=-1;

sinxcosx

ln(l-2x)[_2x")

(7)lim--------二lim-—---------=-2；

sinxCOSX

arcsin2xJl-(2%了

(8).lim-----------=lim-----------------二2

%—010]

£

.「Inx「丫

(9).lim--------=hm——-——=oo；

3(%—1)232(