教师资格《初中数学学科知识与能力》第四章数学教学技能（下）

教师资格《初中数学学科知识与能力》第四章数学教学技能(下)

39［简答题］

下面是《义务教育教科书(人教版)•数学七年级上册》中的内容，据此

回答下列问题。

1.2.4绝对值

两辆汽车从同一处0出发，分别向东、西方向行驶10km,到达4,8两处(图1.2-

6)它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相等吗？

-10010

图1.2-6

一般地，敷轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对•值.(absolutevalue)，记作

\a\o例如.图1.2-6中,4,3两点分别表示10和-10,它们与原点的距离都是10个单位

长度，所以10和-10的绝对值都是10,即

110|=10,|-10|=10

显然|0|=0

由绝对值的定义可知：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数;。的绝对值是0。即

(1)如果0>0,那么a=a；

(2)如果a=0.那么(a|=a;

(3)如果“<0,那么\a\=-a.

1.写出下列各数的绝对值：

52

6,-8,-3.9,—,--,100,0o

2.判断下列说法是否正确：

(1)符号相反的数互为相反数；

(2)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；

(3)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；

(4)当a#0时，|"|总是大于0

3.判断下列各式是否正确：

(1)|5|=|-5|；(2)-|5|=|-5|；(3)-5=|-5|0

问题：

(1)学生学习绝对值这一节内容的知识背景；(6分)

⑵写出这节课的教学重难点；(6分)

⑶设计教学过程。(18分)

参考解析：(1)学生在学习了有理数、数轴、相反数等概念后，能够

用数轴上的点表示有理数，知道数轴上的点到原点的距离，并能比较这

些距离的大小，已经具备了一定的数形结合的能力。

(2)教学重点：①初步理解绝对值的意义；②会求一个有理数的绝对值。

教学难点：①有理数绝对值概念的形成及运用；②用数形结合的思想理

解绝对值的意义。

⑶教学过程

一、仓［J设情境，导入新课

出示PPT让学生观察图片中的两只小狗、一头大象分别距原点多远。设

置问题：

加只小狗分别

匕用距原、

距原点名远？上多远j

一一一一嬴

-3-2-11234

问题1：右边这只小狗距原点有多远?左边这只小狗距原点有多远?两只

小狗距原点的距离相同吗？

问题2：两只小狗在数轴上对应的数分别是什么？

问题3：大象距原点的距离有多远?它比右边这只小狗距原点是远还是近?

【设计意图】利用动画展示，让学生在有趣的问题情境中获取对绝对值

概念的感性认识，并激发学生学习的积极性与主动性。

二、学习新课，理解概念

1.引入绝对值的概念

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数。的绝对值，记作|a|。

2.理解绝对值的概念

由刚才的图片知道两只小狗所在的位置到原点的距离都是3,也就是说

3和-3的绝对值都是3；大象距原点的距离是4,那么4的绝对值就是40

即|3|=3,|-3|=3,|4|=4o

3.给出几对相反数，在课堂上讨论它们的绝对值，然后引发学生思考：

互为相反数的数的绝对值有什么关系？

结论：互为相反数的两个数的绝对值相等。

4.让学生两两之间为一组，每人分别写出三个正数、三个负数和零，

让对方写出这些数的绝对值。观察有什么发现，引导学生总结绝对值的

性质。

结论：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对

值是0。

三、知识巩固

学生自己完成练习lo

大家一起讨论，教师提问，完成练习2,3o

四、课堂小结

略。

40［简答题］

“分式”是初中教学中必不可少的内容，是对分数的进一步抽象。学生

已经学习了分数、整式的运算，而本节课的学习将为后面学习分式的运

算、解分式方程奠定基础。本节对学生的要求是①了解分式的概念；②

明确分式和整式的区别；③学会判断分式何时有意义。

请根据题干完成下列教学设计：

⑴本节课的教学重难点是什么？（5分）

⑵请设计本课的课题引入片段并说明设计意图；（10分）

⑶为落实上述教学目标，结合⑵设计一个教学片段。（15分）

参考解析：（1）教学重点：①介绍分式的概念，学生学会判断什么是

分式；②学生能够根据题意写出分式。

教学难点：①分式的值为正数、负数的条件以及建立与所学知识之间的

关联；②根据题意列出分式；③学生掌握分式有无意义的条件。

⑵课题引入

教师课件出示如下问题。

问题1：已知A车的速度为nkm/h,B车比A车每小时多行驶20km,

①A车2小时行驶_______km,B车2小时行驶________km；②如果甲、

乙两地之间的路程为mkm,那么从甲地到乙地，A车疝B车所用的时间

各为_______ho

问题2：期市考试，小明语、数、英三科的成绩分别为80分，。分，70

分，那么他三科的平均分为o

问题3：长方体的体积为100,长为a,宽为b,则高为。

教师让学生回答问题，并把上面所得的式子按“已学”和“未学”进行

分类，讲出知识点。

学生回答，教师评价后小结：A车2小时行驶2nkm；B车每小时行驶

（n+20）km,2小时行驶2（n+20）km,这是我们学过的“整式”的知识；

m

甲、乙两地之间的路程为mkm,则从甲地到乙地，A车用时也h,B车

m

用时/+20h,这个式子没有学过;小明三科的平均分为

80+70+（2150+〃

33，这个式子没有学过；长方体的体积V=abh（h代

100

表高），则长方体的高为ab，这个式子和分数的形式很像但不是分数。

教师带领学生回顾“整式”相关旧知：单项式是数字与字母的乘积；多

项式是单项式的和，不合字母的项叫作常数项；单项式和多项式统称为

整式。（教师板书）

引入“分式”：在“数”的海洋中，我们学过“整数”和“分数”。那

么，在“式”的世界中，与“整式”对应的是什么呢?接下来就让我们

一起学习“分式"吧！

【设计意图】结合课件问题，让学生独立思考，自主探究，培养学生分

析问题和解决问题的能力；让学生按已学和未学分类，使其回顾关于“式”

的知识体系，紧抓“式”是用运算来描述这一特征的；问题设计涵盖生

活以及几何旧知，一方面让学生感受数学与生活实际的紧密结合，另一

方面帮助学生巩固旧知；通过复习旧知，建立新旧知识之间的联系，培

养学生的迁移能力。

⑶教学片段

一、认识分式

活动一：教师让学生观察引入环节中课件出示的问题，学生思考、讨论

“分式”和“分数”及“整式”的异同。（学生讨论后汇报，教师做适

当评价）

教师小结：分数的分子和分母都是数，而问题2的答案中分子是含有字

母的式子，分母是数；问题1的第2问分子和分母都有字母，问题3的

答案中分子是数，分母是字母。整式是单项式与多项式的统称，不涉及

分母和分子。

教师讲授：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那

么式子+叫作分式。和分数一样，分式中A叫作分子，日叫作分母。

活动二：教师让学生结合“分式”的概念，找出课件问题中的分式。

100mm

教师订正结果：问题3中的ab。问题1第二问中的n和也+20都是

分式。

活动三：教师课件出示如下问题，让学生找出“分式”。（学生自主作

答，教师巡视指导）

课件问题：।+36+2,2"；

3xx-15-36x-j374

2X]，2/*t—y

订正结果:五.UP都是分式;i■是分数不是分式亍工不是分式,因为其分母不含字

母：7a+3b+2是多项式.其中2是常数项：2n是单项式

一分式右■章义的条件

提》问题1「分数/意义的条件是什么？分式呢？

（结合旧知，指出使分式有意义的条件是，分母不为0）

提出问题2：分式丁.-,—i一定有意义吗？使其有意义的条件是什么？

3xx-15-36x-y

活动四：教师让学生小组讨论，教师巡视。（学生讨论后汇报，教师做

适当评价）

2

订正结果：要使不有意义，必须使分母3xW0,即xWO；

x

要使X-1有意义，必须使分母xTr0,即xWl；

要使丁二有意义，必须使分母5-3600,即/，04-；

要使*土’有意义，必须使分母x-y■0,即“射）\

*-y

提出问题3：士在什么情况下等于本？

x-y

活动五：教师请几名学生回答，结合学生回答情况，做适当评价。

读设有学生回答：当X=-y时，山=0

*-y

教师引导学生补充：X,yWO时，上述结果成立。

教师小结：要使分式有意义，分式的分母表示除数，由于除数不能为0,

A

所以分式的分母不能为0,也就是形如5的分式中，BWO。要使分式

为0,在分母不为。的前提下使其分子为。即可。注意思考问题要全面。

41［简答题］

在学习了角平分线的性质定理之后，某教师设计了一节习题课的教学目

标：

①进一步理解角平分线的性质；

②能够灵活地运用角平分线的性质来解决数学问题；

③会运用角平分线尺规作图并解决实际问题。

他的教学过程设计中包含了下面的两道例题。

例题1：如图1,AC=BC,ZACB=90°,AD平分NCAB,求证：AC+CD=AB0

图1

例题2：如图2,规划在城市A,B,C之间的三角区M建设一个物流中

转中心，使它到公路AB,AC,BC的距离相等，试画图求出物流中心的

建设位置。

图2

针对上述材料，完成下列任务：

⑴结合该教师的教学目标，分析例题1和例题2的设计意图；（15分）

（2）设计例题1的简要教学过程，并给出解题后的小结提纲。（15分）

参考解析：（1）例题1的设计意图

例题1的证明需要构造辅助线，即从D点向AB作垂线，交AB于E点,

然后根据角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

和题中条件得到CD=DE,AC=AE,再根据题中条件分析

△DEB（等腰直角三角形），进而得到DE=EB,从而可证得

AC+CD=AE+DE=AE+EB=ABo因此，

在练习过程中可以进一步使学生理解角平分线的性质定理，学会利用角

平分线的性质解决问题，顺利达成①和②的教学目标。同时根据找到的

相等的线段，将要求证明的等式AC+CD=AB进行转化，可以进一步提高

学生利用转化的数学思想解决问题的能力，辅助线技巧的引入，有助于

开拓学生的思维方式，丰富学生掌握的数学解题方法。

例题2的设计意图

例题2是一个实际应用题，问题的解决需要学生深刻理解角平分线的性

质并会把该数学性质与实际问题联系在一起，懂得将实际问题抽象成为

一般的数学模型，进一步加深了学生对角平分线性质的认识，并利用该

性质解决实际问题，能够达成①和②的教学目标。问题的解决需要学生

用尺规作图法解答，从而顺利达成

③的教学目标。

⑵教学过程

教师在多媒体上播放例题1中的图片，先给予学生一段时间自主思考,

独立解答，教师巡查。若绝大多数

学生能够顺利解答出答案，则教师挑选几个学生在黑板上写下自己的证

明过程，并让其说出依据，教师给予一定的评价。若学生的解答有困难，

则教师让学生分组讨论，集思广益，在交流合作中得出结果，同时教师

通过设问的方式层层引导学生思考，降低习题的难度。

问题1：由NACB=90°,AD平分NCAB可以得到什么结论？（CD的长度表

示的是NCAB平分线上一点D到边AC的距离）

教师将BD擦去，让学生观察。

问题2：由问题1可知CD的长度表示的是D点到边AC的距离，根据角

平分线性质，思考一下D点

到NCAB另一边AB的距离怎么表示呢？（引导学生作辅助线）

问题3：根据所作的辅助线，可以得到哪些相等的线段？（AC=AE,CD=DE,

所以AC+CD=AE+DE）

问题4：想想还有什么条件没用，AABC和4DEB是特殊三角形吗？

学生经过教师的启发，自主思考解答，当大多数学生得出正确结论后，

教师随机让学生谈一谈解答步骤、思考过程以及之前思考时的误区，总

结心得，教师给予积极评价。最后，教师可以在多媒体或黑板上给出证

明过程。

证明：从D点向AB作垂线，交AB于E点（如图），

•「AD平分NCAB,且NACB=90°,DE±AB,

/.AC=AE.CD=DE.

•.•AC=BC,「.△ABC是等腰直角三角形。

/.△DEB也是等腰直角三角形，

，DE=EB,

Z.AC+CD=AE+DE=AE+EB=AB。

小结提纲1：题中给出角平分线条件时，要思考角平分线带来的隐含条

件，如最基本的平分出两个相等的角，角平分线上的点到角的两边的距

离相等。要学会挖掘题设的隐含条件，这就需要我们扎实地掌握基础知

识，能够做到举一反三。

小结提纲2：当直接解答困难时，可以适当地添加辅助线，将问题转化

为容易求解或证明的形式。辅助线的添加需要对题目有深刻的认识以及

对相关基础知识的牢固把握，所以需要重视对基础知识的学习并且要做

有针对性的练习。

小结提纲3：知识之间有着多种关联性，题目的考察也不可能只涉及一

个知识点（如本题不仅涉及角平分线性质的考察，还涉及等腰直角三角

形性质的知识），这就要求我们要融会贯通，合理地利用已学知识，具

体分析求解。

42［简答题］

相似三角形的判定定理是初中数学的重要定理之一。教师在教学中，应

基于课程标准

和实际学情，确定教学目标，实现教学重点，突破教学难点。注重自主

探究式教学方式，让学生体会判定定理的形成过程。

针对相似三角形的判定定理，请你完成下列任务：

⑴写出相似三角形的判定定理；（5分）

（2）设计一个问题引入片段，并说明设计意图；（5分）

⑶请任选一个判定定理，设计这个定理证明的教学片段，并说明设计

意图；（10分）

⑷请设计一道习题，帮助学生理解相似三角形的判定定理，并给出简

要的解题过程。（10分）

参考解析：（1）相似三角形的判定定理：①平行于三角形一边的直线

和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边成比例的两

个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④两角分

别相等的两个三角形相似。

⑵问题引入片段

出示问题：如图I所示，任意自两条不平行的直线再离三条与相交的平行或匕儿./,.分利测量

to4DT\JCAD

/的长度，则北与左相等吗？黑与股相等吗？任意平移黑与育还相等吗？

让学生思考问题，教师继续提出问题：我们之前学过图形的相似，那么

相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢？能类似于两个三角形全

等，给出4ABC与△A1B1C1相似的表示方法吗？AABC与△A1B1C1的相

似比为k,那么△A1B1C1与4ABC的相似比也是k吗？如何判定两个三角

形相似呢？

【设计意图】设计问题情境，让学生自主探究平行线分线段成比例的定

理，为相似三角形的判定定理做铺垫；结合全等三角形，多边形相似比

等旧知设问，引导学生进行类比学习，培养其类比思想。

⑶教学片段

选取定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形

与原三角形相似。

教师出示问题：如图2,在AABC中，DE/7BC,且DE分别交AB,AC于D,

E,Z\ADE与AABC有什么关系？

图2

活动一：教师请学生观察图片，归纳猜想4ADE与AABC的关系，然后

学生小组讨论交流自己的猜想结果，并对自己的猜想给予证明。

小组代表分享交流结果，教师听取结果后总结：通过观察，我们发现^

ADE与AABC可能是相似的。

提问：两三角形相似的定义是什么？（对应角相等，对应边成比例）

活动二：引导学生利用三角形相似的定义证明上述问题，学生自主证明,

教师巡视指导。

找学生板书，订正完善如下：

过点E作EF〃AB,交BC于点F,如图3,

图3

（教师：先证两个三角形的角分别相等）

在△4。£和△A8C中，4.4=Z.A,

；DEHBC,

J.Z.ADE=乙B/4ED=4

（教师：再证明两个三角形的边成比例）

'：DE〃BC,EF〃AB,

•A.D=A__E__B_F=AE

,,ABAC'BCAC

■：四边彩"8广£是平行四边形.

ncDCDEAEADAEDE

'DE="，而=记述=标=而

教师：这样.我们就证明了AABC与4ADE的对应角相等，对应边成比

例，所以4ADE与AABC相似。

活动三：教师让学生回顾证明过程，找到问题的已知和要证的结论，小

组交流，自主归纳出结论。

教师总结出三角形相似的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两

边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

【设计意图】教师以三个教学活动切入，让学生对问题进行猜想证明，

最后得出定理，从而培养学生自主学习、独立探究的意识；提升学生的

逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力；结论的自主归纳，可以培

养学生的语言表达能力，提升其归纳能力。

(4)习题：如图4,已知菱形BDEF内接于△ABC,点D,E,F分别在AB,

•/DE//BC,EF//AB,

：.LAED=Z.C.Z.4=MEF,

AAADE与相似.会=誓.

rCt>r

x18-x

15-xx

9090

故X=/.即菱形的边长为彳em

第二节数学教学实施与案例

1［单选题］下列说法正确的是()

A.使用课堂提问就是启发式教学

B.课堂提问就是教师问、学生答

C.所有的课堂提问都应该有一个明晰的正确答案

D.课堂提问要给学生留出一定的思考时间

正确答案：D

参考解析：课堂教学具有启发作用，但不能因此就简单地把问答式教

学等同于启发式教学，二者有着本质的区别；课堂提问不仅是教师问、

学生答，还要有学生自己质疑提问；所有的课堂提问不一定都有一个明

晰的正确答案。

2［单选题］下列说法不正确的是（）

A.数学作业除了习题计算、解答与证明形式外，还可以考虑数学建模与

数学实验报告等形式

B.备课主要是备习题

C.教学过程既包括教师教的过程，也包括学生学的过程

D.教学评价既包括对学生学业成绩的评价，也包括对教师教学质量的评

价

正确答案：B

参考解析：备课不仅要备习题与练习题，而且要学习课程标准的基础

知识，深入钻研教材，切实考虑学生的实际情况，预设好教案与学案,

故选Bo

3［单选题］教师通过语言向学生系统传授知识的教学方法是（）。

A.讲授法

B.讨论法

C.自学辅导法

D.发现法

正确答案：A

参考解析：教学方法多种多样，包括讲授法、谈话法、读书指导法、

讨论法、演示法等，其中，讲授法是教师通过语言系统连贯地向学生传

授知识的方法。

4［单选题］选取与所授内容有关的生活实例或某种经历，通过对其分

析、引申、演绎归纳出从特殊到一般、从具体到抽象的规律来导入新课

的方法是（）。

A.直接导入法

B.复习导入法

C.实例导入法

D.悬念导入法

正确答案：C

参考解析：实例导入是选取与所授内容有关的生活实例或某种经历，

通过对其分析，引申，演绎归纳出从特殊到一般、从具体到抽象的规律

来导入新课。这种导入强调了实践性，能使学生产生亲切感，起到触类

旁通之功效。同时让学生感觉到现实世界中处处充满数学。

5［简答题］

简述新课程改革的教学观。

参考解析：教师和学生是课程的有机组成部分，是课程的创造者和主

体，他们共同参与课程的开发过程，教学不只是课程传递和执行的过程,

更是课程创新与开发的过程。新课程改革要求教师从以下方面来树立科

学的教学观：

⑴体现以人为本；

⑵强调师生交流；

⑶注重开发学习；

(4)整合课程形式；

⑸重视学习过程；

⑹关注学生发展

6［简答题］

组织者的含义是什么？教师的组织作用主要体现在哪些方面？

参考解析：组织者的含义包括组织学生发现、寻找、搜集和利用学习

资源，组织学生营造和保持学习过程中积极的心理氛围等。教师的组织

作用主要体现在两个方面：第一，教师应当准确把握教学内容的数学实

质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案;

第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调

控，努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的

学习活动。

7［简答题］

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“数学思想蕴涵在数学知

识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象

与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。”请简述，怎样让学生

在学习过程中感悟数学思想。

参考解析：数学思想的形成需要在过程中实现，只有经历问题解决的

过程，才能体会到数学思想的作用，才能理解数学思想的精髓，才能进

行知识的有效迁移。凸显知识的形成过程，让学生感悟数学思想和方法,

关键是应让学生经历和体验一些数学知识的获取过程，让学生“读-

理解”“疑一一提问”“做一一解决问题”“说一一表达交流”，并在

其中获得对数学思想方法的感悟。无论是数学概念的概括与形成，还是

公式、法则、定理的发现与推导，教师都应通过创设情境，激发学生探

索问题的需要，通过观察、实验、分析、综合、归纳、概括等过程。获

得对问题的认识、理解和解决的同时，也获得对数学思想方法的认识与

感悟.教学的设计要以学生的数学思想形成为目标。

8［简答题］

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出教学活动是师生积极参与、

交往互动、共同发展的过程。教学中应该注意的几个关系是什么？

参考解析：（1）“预设”与“生成”的关系；

⑵面向全体学生与关注学生个体差异的关系；

⑶合情推理与演绎推理的关系；

⑷使用现代信息技术与教学手段多样化的关系。

9［简答题］

简述教学过程优化的要求以及教师在教学过程中应怎样实施优化。

参考解析：（1）教学过程优化的要求：

①对教学目标的最优化；②对教学内容的最优化；③教学方法的最优化;

④习题练习的最优化。

⑵实施优化的方法：

①引导学生将知识转化为能力；②积极开展数学探究、相互交流、合作

学习的教学方式；③淡化形式化的教学，注重应用与创新；④注重学生

个性和人格健全的发展。

10［简答题］

什么是几何直观?在教学中如何培养学生的几何直观观念？

参考解析：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直

观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路,

预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过

程中都发挥着重要作用。在教学中培养学生的几何直观观念可以从以下

两方面考虑：（1）注重直观，强调学生的动手实验能力的培养。学生掌

握知识一般有一个从感性到理性的认知过程，在教学中，恰当地运用直

观手段可以使知识具体化、形象化，为学生感知、理解和记忆知识创造

条件；同时还能引起学生的注意，激发他们的学习兴趣，提高课堂教学

的有效性。因此，在教学中要注重直观性教学，重点可以采取以下三步：

①运用直观教具，提供感性认识。②重视实验，提高学生的动手能

力。③利用形象语言，帮助理解和识记。（2）注重思想方法，培养学

生数形结合的思想。义务教育阶段几何直观教学的关键点是能够运用形

象的几何图形解决复杂的数学问题，这里就蕴含了一个重要的数学思想

即数形结合思想。数形结合能培养和发展学生的空间观念和几何直观能

力，培养学生形象思维与抽象思维的交叉运用，从而有助于培养学生灵

活运用知识的能力。

11［简答题］

数形结合思想是一种重要的数学思想，它的实质就是根据数与形之间的

对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题。用数形结合思想解题能

简化推理和运算，具有直观、快捷的优点。请简要谈谈数形结合思想在

解哪些类型的问题时可以发挥作用，使问题得到更好的解决。

参考解析：（1）利用数轴将代数问题化为几何问题；（2）利用函数图象

和性质将代数问题化为几何问题；（3）利用几何模型将代数问题化为几

何问题；（4）利用方程或不等式将代数问题化为几何问题；（5）利用三角

知识解决几何问题；（6）利用几何图形特征将几何计算化为代数运算；

⑺最值问题。

12［简答题］

请举例分析命题教学的一般环节。

参考解析：命题教学一般分为定理、公式、性质、法则等内容的教学，

以定理教学为例，命题教学的一般环节如下。

⑴结合新知内容，选取适当的引入方式引入定理，如教师创设情境让

学生自主探究，之后得出定理的相关猜想。

例如，教师在教学三角形中位线定理时，先带领学生回忆三角形及平行

四边形的相关旧知，并创设问题情境：下图4ABC能否剪拼成平行四边

形，如何剪拼?学生自主探究，引导学生得出猜想：取AB,AC的中点连

解定理。如教师在教学的过程中，引导学生运用旧知证明猜想，帮助学

生建立新旧知识之间的联系，最后讲授定理内容。

例如，在学生得出三角形中位线相关猜想后，教师引导学生利用平行四

边形的判定定理，验证DE与BC的关系，从而证明猜想，得出相应结论。

结合图形进行讲解，DE为AABC的中位线，其平行于BC且等于BC的一

半。

⑶熟悉定理的应用。教师要在学生理解定理的基础上做更进一步的教

学，即向学生展示例题，教学定理的应用方法，从而使学生逐步掌握定

理并得以应用。

例如，教师出示三角形中位线定理的相关例题：在aABC中，AB=AC,E

是AB中点，延长AB到D,使BD=AB。求证：CD=2CE。

(4)引申和拓展定理的运用，引导学生对某些定理做适当的不同方向的

推广，也是使学生认识定理之间关系的有效方法，同时也有利于培养学

生的创造才能。

例如，教师出示与四边形相关的习题，展示三角形中位线定理在相关多

边形题目中的应用。

13［简答题］

请以“相似三角形”为例，简述数学课堂教学导入的两种方法。

参考解析：数学课堂教学导入的方法主要有直接导入法、复习导入法、

事例导入法、趣味导入法、悬念导入法和类比导入法等。结合题目例子，

下面主要介绍复习导入法和类比导入法。

(1)复习导入法

复习导入法即所谓的“温故而知新”，主要是利用新旧知识之间的逻辑

联系，贯彻巩固与发展相结合的原则，找出新旧知识之间的联结点，将

旧知的复习迁移到新知的学习上来导入新课。通过这种方法来导入新课,

一方面可以帮助学生巩固旧知，另一方面可以建立新旧知识之间的联系,

能有效降低学生对于新知的认知难度。运用这种导入方法教师应摸清学

生原有的知识水平，精选复习、提问时新旧知识联系的“支点”。

以“相似三角形”为例，学生在学习这一内容之前学习过“比例”的相

关知识，而“比例”恰恰是根据两幅图形长、宽的等比关系来进行学习

的。因此，教师可以结合“比例”的相关知识点，运用''复习导入法”，

在学习新知前带领学生复习“比例”的相关知识，帮助学生找到新旧知

识之间的联结点，即构成比例的前提是比值相等，相似三角形各边的相

似比相等。之后，带领学生学习新知。

⑵类比导入法

类比是指当两个对象都有某些相同或类似属性，而且已经了解其中一个

对象的某些性质时，推测另一种对象也有相同或类似性质的思维形式。

类比导入法就是以这种思维形式为基础，通过新知与旧知之间的类比，

在旧知的基础上探索发现新知的。类比导入法简洁明快，既培养了学生

类比推理的能力，又能高效地调动学生思维的积极性。

以“相似三角形”为例，学生在学习新知之前学习过“全等三角形”的

相关知识。两个三角形全等，其对应边的比值为1,教师可以抓住这一

特性，采用“类比导入法”，让学生通过观察全等三角形和相似三角形

的对比图，结合全等三角形的性质特征来类比分析相似三角形的性质特

征。

14［简答题］

数学课程标准各学段安排了“图形与几何”的学习内容来发展学生的空

间观念，假如你在“图形与几何”知识教学时，将会从哪些方面去培养

学生的空间观念？

参考解析：可从以下几方面着手：

⑴要联系生活实际，引导学生观察生活，从现实中发现有关图形与几

何的问题，培养学生的认知兴趣。在教学”认识物体和图形”时，可以

给学生展示粉笔盒、药盒、小球、魔方和圆柱体的茶叶盒等。让学生从

具体到抽象认识长方形、正方形、圆形、长方体、正方体、球体、圆柱

体等。让学生形成对平面几何图形和立体几何图形的形状、大小及其相

互之间的关系的表象，培养学生的空间观念。

⑵通过观察、演示、操作等感知活动，使学生逐步形成几何形体的表

象。有些几何形体的概念，不仅要借助教具的演示，还要通过学生自己

动手实际操作和测量，来理解它的本质涵义。例如教学长方形的周长时，

可把一张长方形纸的周长贴上彩色纸条后，再拉直展开成相连的4条线

段（长和宽用不同的颜色区别），让学生实际测量后列出不同的算式计算,

让学生思考：一个长方形有几条长和几条宽？怎样计算周长比较方便？

从而使学生获得长方形周长的表象，并掌握长方形周长的计算公式。接

着，让学生自己动手操作测量某些实物的长和宽，计算出它们的周长，

如教室中的玻璃窗、数学课本的封面、桌面等。

⑶让学生通过探究进行学习。发展空间观念是“图形与几何”教学的

重要目标之一。空间观念是一种数学思考，对于学生来说，这种数学思

考必须有丰富的直观、形象的积累和体验为基础，并在自主性的探究过

程中得以发展。如教学平行四边形认识的过程中，为了让学生感受到平

行四边形与长方形图形的联系，初步发展学生的空间观念。在教学过程

中，可以安排学生通过自主探究的学习方式，剪拼的方法，让学生亲自

动手做一做，动脑想一想，在探究中获得空间观念的发展。

总之，在教学过程中就要注意多层次、多渠道地培养和发展学生的空间

观念和空间想象能力。

15［简答题］

如何让学生养成勇于质疑的习惯，形成实事求是的态度?

参考解析：在教学中要尽可能地让学生采用探索的方法，经历由已知

出发，经过自己的努力或与同伴合作获得对新知的理解，而不采用告诉

的方式。当学生面临困难时一，引导他们或和他们一起寻找解决问题的思

路，并在解决问题的过程中总结出所获得的经验，而不是直接给出解决

问题的方法。当学生对自己或同伴得到的猜想没有把握时，要帮助他们

为猜想寻找证据，根据实际情况修正猜想，而不是直接否定他们的猜想。

当学生对他人的思路、方法有疑问时，要鼓励他们对自己的怀疑寻找证

据，以否定或修正他人的结论作为思维目标，从事研究活动。即使质疑

被否定，教师也要首先对其尊重事实、敢于挑战权威的意识给予充分肯

定，在教学中要创造更多的方法与机会促进这一目标的实现。

16［简答题］

“巩固与发展相结合”是数学教学的基本原则。谈谈“巩固”与“发展”

的关系，教师在教学过程中怎样做到在发展的过程中进行巩固。

参考解析：数学学习过程是巩固与获取有关知识技能的不断向前发展

的过程，巩固与发展不能截然分开，应在发展的过程中进行巩固，在巩

固的基础上向前发展。即所谓“温故而知新”。因此在教学中应很好地

调节这两方面的进程，以便获得更好的教学效果。

教师在教学中处理好新知识与旧知识的关系，知识传播与能力发展的关

系，要求教师做到：

①将学习新知识、复习巩固旧知识贯穿于教学的全过程，既要重视阶段

性复习、总结性复习，更要重视日常课堂的复习巩固，将复习巩固作为

一个重要的教学环节；

②要重视对学生所学知识、技能和方法进行复习巩固工作的研究；

③在复习巩固过程中。要指导学生记忆，提高记忆能力，并通过适当途

径予以检查，对数学中一些基本的概念、定理、公式、法则都必须在理

解的基础上熟记。

④在学习新知识时，要深刻理解这些知识，必须调动学生学习知识的自

觉性。学习过程必须是学生积极开展思维活动的过程，用积极态度学到

的知识是获得巩固知识的必要条件。因此，在教学时要引起学生对学习

知识的强烈兴趣，把原来以为枯燥无味的数学课上成生动活泼的数学课,

注意防止学生产生学习的逆反心理，充分发挥学生的主体作用。

⑤零碎的、杂乱的、无系统的知识是不可能巩固的。因此，学生获得有

系统的知识是知识巩固的又一必要条件，它要求教师在教学时注意概念

形成过程，讲清命题间的逻辑关系等。教学必须条理清晰、前后联系、

层次分明，给学生系统知识，使其深刻理解知识，达到巩固的目的。

17［简答题］

什么是空间观念?举例说明在教学中应该怎样培养学生的空间想象能

力？

参考解析：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几

何图形想象出所描述的实际物体：想象出物体的方位和相互之间的位置

关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

⑴让学生学好有关反映空间观念的课程内容和有关空间形式的数学基

础知识：如三角形、平行四边形的概念性质等等；

⑵从学生的认识规律入手，通过实物或模型的观察、解剖、分析、制

作等实践活动，形成学生的空间观念。如平行四边形的判定，先做一个

模型得到结论再利用定义和已学习过的去证明：

⑶培养学生看图能力，教给学生正确的画图规律和方法，是培养学生

电观察力和空间想象能力的主要途径之一；如对称图形的画法、全等的

画法：

⑷通过平面图形折叠的教学培养学生的空间想象能力：

⑸通过变式教学强化空间观念；

(6)通过对多面体和旋转体的侧面展开、组合、切割、运动来提高学生

的空间想象能力；

⑺加强对几何体截面的教学，提高空间想象能力。

18［简答题］

合情推理包括归纳推理和类比推理，请举例说明归纳推理和类比推理在

数学教学中的运用，并论述二者之间的关系。

参考解析：归纳推理是由某类事物的不同对象具有某些特征，推出该

类事物的全部对象都具有这些特征的推理。它是由部分到整体，由特殊

到一般的推理，思维过程大致为由“实验、观察”到“概括、推广”再

到“猜测一般性结论”。例如，在学习“勾股定理”内容时，教师以直

角三角形的二三边为边长分别向三角形外侧画出对应的正方形，让学生

观察三个正方形面积的关系，再引导学生思考三个正方形面积的关系与

直角j角形三边的关系，使其初步发现该直角三角形三边存在的关系，

最后通过上述过程归纳出猜想，推广至一般性结论，即“勾股定理”。

类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同或相似，从而推出它们

的其他属性也相同或相似的推理。它是由特殊到特殊的推理，思维过程

大致为由“观察、比较”至IJ”联想、类推”再到“猜测新的结论”。例

如，在学习“立体几何”内容时，可以类比“平面几何”的性质特征，

立体几何与平面几何的许多概念、性质是相似的，类比“长方形的每一

边恰好与其相对的边平行，而与其相邻的边垂直”可以推出“长方体的

每一面恰好与其相对的面平行，而与其相邻的面垂直”。

归纳推理和类比推理都属于合情推理，都是根据已有事实，经过观察、

分析、比较、联想，之后进行归纳，类比，然后提出猜想的推理。从推

理结论来看，二者所得结论均不一定正确，有待进一步证明。合情推理

是指“合乎情理”的推理，在数学的研究中，得到一个新结论之前所做

的推理，归纳推理和类比推理常常帮助我们猜测和发现结论，为我们提

供证明新结论的思路和方向。

19［简答题］

通过各种载体增强学生的数学应用意识，可以有效地激发学生将数学知

识应用于实践的积极性，提高他们利用数学知识解决问题的能力。函数

作为一种重要的数学模型，用函数模型解决实际问题可以建立的模型是

多种多样的。请说明如何建立函数模型以解决实际问题。

参考解析：培养学生的数学应用意识，要引导学生用学过的数学知识

和思想方法去认识和解决实际生活中遇到的问题。函数建模问题，也就

是根据实际问题建立起数学模型，只有根据题目的要求建立适当的函数

模型，才能成功地解决问题。建立函数模型的一般步骤如下。

①抽象概括题意：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速准确地弄

清数据之间的关系，数据的单位等；研究实际问题中的变量，确定变量

之间的主、被动关系，并用x,y分别表示问题中的变量。

②建立函数模型：正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数,

建立函数模型的过程主要是抓住某些变量之间的相等关系列出函数关

系式，并将变量y表示为变量x的函数，分析确定函数表达式属于哪种

函数模型。

③求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数表达式的结构

特点，正确选择函数知识求得函数模型的解。主要是计算函数的特殊值，

研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，注意发挥函数图像的

作用。

④验证结果：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科特点，

又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题进行检验、评判，最

后得出结论，做出回答。

20［简答题］

类比思想是一种重要的数学思想，不仅可以在很多知识的理解与掌握上

发挥作用，在解决很多实际问题时，这种数学思想的作用也能够很好地

得到体现。请谈谈在教学过程中，类比思想对数学学习有哪些帮助？

参考解析：在数学课堂上，教师恰当地运用类比思想，可以促进学生

对知识的理解与吸收，能够加深学生的知识掌握程度，提高其知识应用

能力。

①概念形成中的有效类比

概念教学是理论知识教学的重要组成，在概念教学中，教师可以充分利

用类比思想作为辅助。中学数学中很多知识点存在相似性，教师可以灵

活地运用类比思想来辅助理论知识的教学，并且在比较与联系的过程中

来帮助学生构建知识体系，充分发挥类比教学的功效，极大地促进学生

对概念的理解与吸收。

②知识整合时的有效类比

教师可以引导学生以类比的形式来实现对于新知识点的理解与吸收，也

可以让学生在知识点间的类比与对照中更好地认识知识点的实质，以及

相互间的差异，这些都是很有效的教学过程，不仅能够帮助学生实现知

识的良好整合，也会保障学生对于每一个具体的知识点都有更好的理解

与掌握。

③问题解决时的类比探究

在很多实际问题的解答中，培养学生掌握问题解决的方法是教学的核心,

这也是学生知识应用能力的一种良好体现。教师可以有意识地开展对于

类比思想的应用，可以让学生在问题解答时类比一些有效的思想方法，

并且通过解题技巧的迁移来化解很多实际问题。这是一种很好的教学策

略。让学生学会用类比的思想来解决很多实际问题，这会极大地提升学

生的知识应用与实践能力。

21［简答题］

某教师在进行二元一次方程教学时，给学生出了如下一道练习题：

已知a,b是方程X2+(k-l)x+k+l=0的两个根且a,b是某直角三角形的

两条直角边，其斜边长等于1,求k的值。某学生的解答过程如下：

解：:a,b是方程x2+(kT)x+k+l=0的两个根，

a+b=l~k,ab=k+l,又由已知得：a2+b2=l,

/.(a+b)-2ab=l,即k-4k-2=0,解得&=2±>/6.

问题：

(1)指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；(7分)

(2)给出你的正确解答；(8分)

⑶指出你解题所运用的数学思想方法。(5分)

参考解析：(1)错解分析：该生在解题过程中忽视了题目中的隐含条

件，即a,b是某直电三角形的两条直角边，故必有

Z>0/>0,a+b>0,当k=2+而时,=-布这是不合题意的，％=2+四应舍去。

⑵正确解答：•."，b既是方程的两根，又是直角三角形的两直角

边，.。.a>0,b>0,a+b>0,ab>0o由一元二次方程根与系数的关系

得，a+b=l-k,ab=k+l,①又由已知得，n2+b21,②

将①代人②，得(a+6)、2而=［,即K-4卜2=0.解得仁2+四

当仁2+而时,=不合题意,7-西舍去：

当UZ-TS'时,a+6=l-A=6-l>0.aA=£+l=3-而>0.故k的值为2-、6.

(3)在解题过程中运用了分类讨论的思想。

22［简答题］

用火柴搭正方形，搭1个正方形需要4根火柴棒。

(1)按图示方式搭2个正方形需要几根火柴棒?搭3个正方形需要几根火

柴棒？

(2)搭10个正方形需要几根火柴棒？

(3)100个正方形呢?你是怎样得到的？

(4)如果用x表示搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少

根火柴棒?与同伴交流。结合上述案例，回答下面的问题：

(1)请试着解第(4)个问题，尽可能有多种解法；简要分析“多样化”的

解题策略设计的作用；(10分)

(2)一个好的课堂活动可以促进学生多方面发展。结合本案例，简要论

述数学教学中应如何体现教材学习目标。(10分)

参考解析：(1)解法有：①第一个正方形用4根，以后每一个正方形

都有3根，那么搭x个正方形需要［4+3(xT)］根；②因为除第一个正方

形外，其余正方形都只用3根，如果把第一个也看成3根，x个正方形

就需要(3x+l)根；③上面和下面一排各用了X根，竖直方向用了(x+1)

根，于是正方形就需要［x+x+(x+l)］根；④把每个正方形都看成4根搭

成，但除了第一个正方形需要4根，其余(xT)个正方形多用了1根，

应减去，于是得到［4x-(xT)］根。策略设计的作用：鼓励学生解题多样

化，这样能够充分体现以学生发展为本，把思考的时间和空间留给学生。

(2)①加强过程性，注重过程性目标的生成；②增强活动性，力图情感

目标的达成；③加强层次性，促进知识技能、思想方法的掌握与提高；

④加强现实性，发展学生的数学应用意识；⑤突出差异性，使所有学生

都得到相应的发展等。

23［简答题］

下面是某位老师引入“负数”概念的教学片段。

师：我们当地7月份的平均气温是零上28℃,1月份的平均气温是零下

3℃,问7月份的平均气温比1月份的平均气温高几度?如何列式计算？

生：用零上28℃减去零下3℃,得到的答案是31℃。师：答案没错，算

式呢？

生：文字与数字混在一起，一点也不美观。

生：零上28℃,我们常说成28℃,可用28表示，但是零下3℃不能说

成3℃呀！也就不能用3表示。

师：大家的发言很有道理，如何解决这一系列的矛盾呢?看样子有必要

引入一个新数来表示零下3c℃。这时，零下3c就可写成-3℃,-3就是

负数。

问题：

⑴对该教师情境创设的合理性作出解释；

(2)在引入数学概念时，结合上述案例，说说教师创设情境要考虑哪些

因素？

参考解析：(1)在这段教学中，教师没有将负数的概念强压给学生，

而是设计了计算温度这个情境，让学生自己参与计算活动，发现其中的

困惑，从而产生学习新数学概念的意愿。教师只是从中提炼出学生的想

法，并进一步上升为数学知识一一负数。这样，负数概念的提出，成为

了学生的自觉行为。学生对负数概念的引入有了较深的思想基础，就会

认识到学习负数的必要性，为学好负数奠定了基础。

(2)引入数学概念是教学的开始，学生能否掌握好这个概念，与教师引

入的艺术是密切联系的。因此，在引入数学概念时，要考虑下面的因素。

①学习的必要性。引入新概念时，教师应创设一个引入概念的情境，让

学生在情境中领会概念产生的必要性。

②内容的实质性。引入数学概念时，教师所选用的实例要反映概念的本

质，不要让太多的无关因素干扰了学生学习的注意力，影响数学概念的

形成。

③数量的适量性。在引入概念时，教师一般要举出一些例子，以便加深

学生对概念的初步认识。

④实例的趣味性。教师在选用例子进行概念教学时，要注意例子的生动

有趣，要能引发学生的学习兴趣。教师要尽量结合学生的生活实际或者

选择学生非常熟悉与非常感兴趣的问题作为例子。

24［简答题］

下面是教师讲授“探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等”

的教学片段。

①发现结论。在透明纸上画出如图1的图：设PA,PB是。。的两条切线，

A,B是切点。让学生操作：沿直线0P将图形对折，启发学生思考，组

织学生交流，使学生发现：PA=PB,ZAPO=ZBPOo

②证明结论。如图2,连结0A和0B。因为以和PB是(DO的切线，所以

ZPA0=ZPB0=900,即4PAD与4PBD均为直角三角形。又因为OA=OB、

OP=OP,所以APOA和APOB全等。于是有PA=PB,ZAPO=ABPO。

A

0P

7B78

图1图2

问题：

(1)以上教学过程中，用到了哪两种推理方法；(4分)

(2)结合案例简要阐述这两种推理方法的异同点及二者的作用；(8分)

⑶写出你对上述教学过程的反思。(8分)

参考解析：(1)过程①运用了合情推理，过程②运用了演绎推理。

⑵合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比

等推断某种结果；演

绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括

运算的定义、法则、顺序等)出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。

在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用

于证明结论。

(3)教师教学应当以学生为主体，结合使用两种推理方法，发挥两种方

法的优势，引导学生自主观察、思考、归纳、总结，帮助学生更好地学

习知识、培养能力。

25［简答题］

两位学生分别在实数范围内解方程X2+3X-4=0和X'+3X2-4=0。

第一位学生的解法如下：

X2+3X-4=0

(xT)(x+4)=0

xT=0或x+4=0

xi=l,X2=~4

第二位学生的解法如下：

X+3X2-4=0

令x2=y.原方程变成y'+3y-4=0

(y-1)(y+4)=0

yi=l,y2=-4(舍去)

由x2=l得x=±1

根据以上材料，回答下列问题：

(1)这两位学生在解方程时分别运用了什么数学方法？(6分)

(2)这些方法体现了数学思想是什么？请对该数学思想进行简要的描述。

(6分)

(3)如果用某种型号的代数计算器解以上两个方程，学生只需输入

X2+3X-4=0和x+3x=0,

在功能菜单中选择“解方程”然后按回车键。屏幕上就会出现方程的解。

请问，如果从渗透数学思想方法的角度看，应如何在教学中让学生合理

使用计算器？（8分）

参考解析：（1）第一名学生利用了分解因式中的十字相乘法；第二名

学生除了十字相乘法外，还利用了换元法。

⑵这些方法体现了转化与化归的思想。转化与化归的思想是将一个问

题由难变易，由繁化简，由复杂化简单的过程。

（3）当学生掌握了利用转化与化归思想解一般方程后，列举出一些不能

用分解因式法来解决的方程，在学生比较迷茫时.向学生介绍计算器解

方程，并让学生观察方程解的特点；与学生一起讨论区分需要用计算器

来求解的方程的特点。最后，让学生体会利用数学思想和计算器解方程

这两种方法的优缺点从而能够合理使用计算器。

26［简答题］

下面是数学教师王老师在一节习题课上的教学片段：

师：下面大察看这道题：化简券咚，大家思考一分钟

（学生思考后回答）

师：谁来说一下怎么化简？

学生I：老师，我的想法是分母有理化，分子分母同时乘以而-斯，分母就化成了a-机结果为G

师：很好，说明你已经熟练掌握了分母有理化的一般方法，把你的化简

过程写在黑板上。

师：大家想想有没有其他做法。

学生2：老师，这道题也可以这样做:将分子因式分解,a-6=（石+石）（石-书）,然后再约分.得

到Ja-

师：你的思维已经转向了分析，又联想到因式分解，很好!把你的化简

过程也写在黑板上。

师：好的，两位同学的解法都写在了黑板上，大家比较这两种解法，看

看两种解法都正确吗？

问题：

（1）判断学生1和学生2的解法正确吗?并说明理由。（10分）

⑵如果你是该教师，如何完成后续的教学？（10分）

参考解析：（1）虽然两位学生的计算结果都是仄但学生।在分母有理化

的时候分子分母同时乘以石-用如果a=b,这一步就不符合分式的运算性质，

即学生1的解法有逻辑错误。学生2的解法是正确的。

（2）标:两种解法的计辑结果-窿.都是石-仄大家觉得有什么问题吗？可以大胆地说出

来。

学生一脸茫然。

师：学生1和学生2你们都想想自己的解法，过程中有没有不合理的地

方？

（学生们在相互讨论着，但都说不上来）

师：两种解法的计算都只有两步，大家一步一步地看，联想分式的运算

性质，细细琢磨琢磨。

（这时，学生1突然有了灵感）

学生1：老师，我知道我哪里错了。在我的解法

中.分母有理化的时候分子分母同时乘以石-

不，问题出在这里，如果。的时候，石-A=

Oo而分式的运算性质是，分子分母同时乘以一个不为零的数，分式的

值不变。这一步错了，没有考虑a=b的情况。

（学生1说完，大家都恍然大悟）

师：太棒了，自己发现了自己的问题。是的，问题就在这儿。学生2的

解法是正确的。

师：大家都明白了吧，在计算的过程中很多时候看着正确，细细探究却

是有问题的，这个时候就不能相信直觉，而是要有严密的逻辑思维。在

数学的推理计算过程中，每一步都要有理有据、合情合理，即使再简单

的过程都是有依据的，大家要养成多问自己“为什么可以这样做”的习

惯，培养严谨的思维习惯。

27［简答题］

案例：阅读下列两个教师有关有理数乘方的教学片段。

甲教师导入的教学过程：

在大屏幕上依次呈现问题1（已知正方形的边长为a,则它的面积是多少?）

和问题2（已知正方体的棱长为a,则它的体积是多少?）一待同学回答后，

教师出示结果：边长为a的正方形的面积为a-a,简记作a?,读作a的

平方（或二次方）；棱长为a的正方体的体积为a・a-a,简记作读

作a的立方（或三次方）。

然后提出问题3：请大家动手折一折，一张报纸对折一次后，报纸有几

层?如果对折两次、三次呢？

每一次对折后的层数与上一次对折层数的关系是什么？层数和对折的次

数之间有什么关系？学生折叠并思考，教师巡视并提问一归纳：每一次

对折后的层数都是上一次对折层数的2倍。概括层数和对折次数的关系

及表示方法，填入下表中：

对折次数报纸层数层数表示

1次221(2)

2次42“2x2)

3次82'(2x2x2)

4次1624(2X2X2X2)

一

2"(2x2x2x・・・x2)

n次

〃不2

__________________________

接下来，甲教师引出乘方的相关概念（大屏幕显示）：一般地，把n个相

同的因数a相乘的运算叫作乘方运算，把a•a•a....a（n个a）简记

作an,读作a的n次方。

由此引出乘方、底数、指数、幕的概念。

乙教师导入的教学过程：

在大屏幕上呈现问题：某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经

过5小时，这种细胞由1个可以分裂成多少个？

引导学生思考：分裂的次数与细胞的个数之间有什么关系？并完成下表:

经过时间分裂次数（次）细胞个数（个）

30分钟12

1小时24=2x2

1.5小时38=2x2x2

…•••・・・

1024=2x2x2x…x2

5小时10

10个2

为了方便,可将2