2024-2025学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义（教师用书）教案 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义（教师用书）教案新人教A版选修2-2授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容是复数代数形式的加、减运算及其几何意义。这是高中数学第3章数系的扩充与复数的引入中的3.2节，具体内容可参考新人教A版选修2-2教材。本节课将引导学生掌握复数加减运算的规则，并理解其背后的几何意义。在教学过程中，需要结合学生已有知识，如实数加减运算、复数的概念等，引导学生通过类比实数运算来学习复数的加减运算。同时，通过几何图形的直观展示，帮助学生理解复数加减运算的几何意义。核心素养目标本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、直观想象和数学建模。通过学习复数代数形式的加、减运算及其几何意义，学生能够提高自己的逻辑推理能力，运用已有的实数运算知识，推理出复数加减运算的规则。同时，通过直观想象，学生能够将复数加减运算与几何图形相结合，理解其背后的几何意义，提高空间想象能力。此外，在解决问题的过程中，学生能够运用数学建模的思想，将实际问题转化为复数加减运算问题，从而提高解决问题的能力。通过本节课的学习，学生能够全面提升自己的数学核心素养。教学难点与重点1.教学重点

（1）复数代数形式的加法运算：学生需要掌握复数加法的运算法则，即实部相加、虚部相加，形如(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

（2）复数代数形式的减法运算：学生需要理解复数减法的运算法则，即实部相减、虚部相减，形如(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

（3）复数代数形式的乘法运算：学生需要学会复数乘法的运算法则，即实部乘实部、虚部乘虚部，实部加虚部乘以虚部的共轭，形如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

（4）复数代数形式的除法运算：学生需要掌握复数除法的运算法则，即先求分母的共轭，再乘以分子的共轭，最后简化得到结果，形如(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。

（5）复数加减运算的几何意义：学生需要理解复数加减运算在复平面上的几何意义，如复数加法对应向量的相加，复数减法对应向量的相减。

2.教学难点

（1）复数乘法运算的法则：学生容易混淆复数乘法的实部和虚部的运算，难以理解乘以虚部的共轭的原理。

（2）复数除法运算的法则：学生对于求分母共轭、乘以分子共轭的步骤理解不清，难以正确进行运算。

（3）复数加减运算与几何意义的联系：学生难以将复数运算与复平面上的几何图形相结合，难以理解其几何意义。

（4）复数运算的适用范围：学生对于何时可以使用复数运算解决实际问题把握不准，难以运用数学建模的思想。

针对以上重点和难点，教师在教学过程中应注重讲解和示范，通过举例、图形展示等方式帮助学生理解和掌握。同时，教师应采取有效的教学方法，如引导学生进行小组讨论、上黑板演示等，以突破学生难点，提高学生的学习效果。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《2024-2025学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》这本教材或相应的电子学习资料。

2.辅助材料：准备一系列与复数代数形式的加、减运算及其几何意义相关的图片、图表、视频等多媒体资源。例如，复数的加减运算示例图、复数乘除运算的步骤演示动画、复平面的直观展示视频等。

3.实验器材：如果本节课涉及实验环节，需要提前准备复数运算的实验器材，如计算器、白板、彩色粉笔、复数模型等，并确保实验器材的完整性和安全性。

4.教室布置：根据教学需要，对教室进行布置。将教室分为讲解区、小组讨论区和实验操作区。讲解区用于教师进行讲解和学生提问；小组讨论区用于学生进行小组讨论和合作学习；实验操作区用于学生进行实验操作和观察。

5.教学工具：准备教学PPT或黑板等教学工具，用于展示和讲解复数代数形式的加、减运算及其几何意义的相关知识点。

6.练习题库：准备一定数量的复数代数形式的加、减运算及其几何意义的练习题，用于学生在课后进行巩固练习。

7.学生分组：在课前将学生分成若干小组，每组成员数为3-4人，确保小组讨论和合作学习的顺利进行。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料，包括PPT、视频、文档等，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕复数代数形式的加、减运算及其几何意义，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解复数代数形式的加、减运算及其几何意义。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解复数代数形式的加、减运算及其几何意义，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出复数代数形式的加、减运算及其几何意义，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解复数代数形式的加、减运算及其几何意义，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握复数运算技能。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验复数运算的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解复数代数形式的加、减运算及其几何意义。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握复数运算技能。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解复数代数形式的加、减运算及其几何意义，掌握相关技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据复数代数形式的加、减运算及其几何意义，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与复数代数形式的加、减运算及其几何意义相关的拓展资源，如书籍、网站、视频等，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的复数代数形式的加、减运算及其几何意义知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。学生学习效果1.知识掌握：学生能够掌握复数代数形式的加、减运算规则，并理解其背后的几何意义。例如，学生能够熟练运用复数加减运算解决实际问题，如在复平面上绘制两个复数的和或差。

2.技能提升：学生能够在实际情境中运用复数代数形式的加、减运算，提升自己的解决问题的能力。例如，学生能够利用复数运算解决几何问题，如计算复数点的距离和角度。

3.思维发展：通过学习复数代数形式的加、减运算及其几何意义，学生的逻辑思维和空间想象力得到锻炼和发展。例如，学生能够从多个角度思考和理解复数加减运算，提高自己的数学思维能力。

4.学习兴趣：本节课通过直观展示和实际操作，激发学生对复数代数形式的加、减运算及其几何意义的兴趣。例如，通过复数运算的实验和实践活动，学生能够更加直观地感受复数运算的魅力，增强学习动力。

5.团队合作：在小组讨论和合作学习中，学生能够培养团队合作意识和沟通能力。例如，学生能够在小组中相互合作，共同解决问题，提高自己的沟通和协作能力。

6.自主学习能力：通过课前自主探索和课后拓展应用，学生能够培养自主学习的能力。例如，学生能够独立完成作业和拓展学习，自主寻找解决问题的方法，提高自己的学习能力。课后作业1.复数加法运算：计算下列复数的和，并写出其几何意义。

（1）(3+2i)+(-2+4i)

（2）(1-3i)+(4+2i)

答案：

（1）(3+2i)+(-2+4i)=(3-2)+(2+4)i=1+6i

几何意义：两个复数在复平面上的和的向量，从第一个复数的终点指向第二个复数的终点。

（2）(1-3i)+(4+2i)=(1+4)+(-3+2)i=5-i

几何意义：两个复数在复平面上的和的向量，从第一个复数的终点指向第二个复数的终点。

2.复数减法运算：计算下列复数的差，并写出其几何意义。

（1）(2+3i)-(4-2i)

（2）(1-i)-(2+3i)

答案：

（1）(2+3i)-(4-2i)=(2-4)+(3+2)i=-2+5i

几何意义：两个复数在复平面上的差的向量，从第一个复数的终点指向第二个复数的起点。

（2）(1-i)-(2+3i)=(1-2)+(1-3)i=-1-2i

几何意义：两个复数在复平面上的差的向量，从第一个复数的终点指向第二个复数的起点。

3.复数乘法运算：计算下列复数的积，并写出其几何意义。

（1）(2+3i)*(1-2i)

（2）(3+2i)*(4-i)

答案：

（1）(2+3i)*(1-2i)=(2*1+3i*1)+(2i*1-2*2i+3i*2i)=2-6i+2i-4i^2+6i^2=2-6i-4+36i^2=-2+30i

几何意义：两个复数在复平面上的积的向量，从第一个复数的终点指向第二个复数的终点。

（2）(3+2i)*(4-i)=(3*4+2i*4)+(3i*4-3*2i+2i*i)=12+8i+12i-6i+2=20+10i

几何意义：两个复数在复平面上的积的向量，从第一个复数的终点指向第二个复数的终点。

4.复数除法运算：计算下列复数的商，并写出其几何意义。

（1）(2+3i)/(4+2i)

（2）(1-i)/(2+i)

答案：

（1）(2+3i)/(4+2i)=(2+3i)*(4-2i)/(4^2+2^2)=(8-6i+12i-6i^2)/16+4=(8+6-6)/16+(12-16)i/16=8/16+(-4)i/16=1/2-i/4

几何意义：两个复数在复平面上的商的向量，从第一个复数的终点指向第二个复数的起点。

（2）(1-i)/(2+i)=(1-i)*(2-i)/(2^2+i^2)=(2-2i-i+i^2)/4+(-i+2i^2)/4=(4-3i+1-i^2)/4+(-i+4i^2)/4=(5-3i+1-1)/4+(-i+4i^2)/4=(5-4i)/4+(-1+4i^2)/4=1.25-0.75i+(-1+16i^2)/4=1.25-0.75i+(-1+16)/4=1.25-0.75i+(-1+16)/4=1.25-0.75i+15/4=1.25-0.75i+3.75=5-2.25i

几何意义：两个复数在复平面上的商的向量，从第一个复数的终点指向第二个复数的起点。

5.复数加减运算的应用：计算下列复数的和或差，并写出其几何意义。

（1）(3+2i)-(4-2i)

（2）(1+i)+(2-i)

答案：

（1）(3+2i)-(4-2i)=(3-4)+(2i+2i)=-1+4i

几何意义：两个复数在复平面上的差的向量，从第一个复数的终点指向第二个复数的起点。

（2）(1+i)+(2-i)=(1+2)+(i-i)=3+i

几何意义：两个复数在复平面上的和的向量，从第一个复数的终点指向第二个复数的终点。板书设计（1）复数加法的运算法则：实部相加，虚部相加。

（2）复数加法的几何意义：复数的和对应复平面上向量的相加。

2.复数减法运算：

（1）复数减法的运算法则：实部相减，虚部相减。

（2）复数减法的几何意义：复数的差对应复平面上向量的相减。

3.复数乘法运算：

（1）复数乘法的运算法则：实部乘实部，虚部乘虚部，实部加虚部乘以虚部的共轭。

（2）复数乘法的几何意义：复数的积对应复平面上向量的乘法。

4.复数除法运算：

（1）复数除法的运算法则：先求分母的共轭，再乘以分子的共轭，最后简化得到结果。

（2）复数除法的几何意义：复数的商对应复平面上向量的除法。

5.复数加减运算的应用：

（1）复数加减运算在实际问题中的应用，如计算复数点的距离和角度。

（2）复数加减运算在几何问题中的应用，如绘制复数向量的和或差。课堂（1）提问评价：教师通过提问方式了解学生对复数代数形式的加、减运算及其几何意义的理解和掌握情况。例如，教师可以提问学生复数的加法运算规则是什么，复数的减法运算规则是什么，复数的加减运算在几何上有何意义等。通过学生的回答，教师可以了解学生对知识点的掌握情况，并及时进行指导和解答。

（2）观察评价：教师通过观察学生在课堂上的表现来评价学生的学习效果。例如，教师可以观察学生是否积极参与课堂讨论，是否能够正确进行复数运算，是否能够运用复数运算解决实际问题等。通过观察学生的表现，教师可以了解学生的学习态度和理解程度，并及时进行指导和反馈。

（3）测试评价：教师可以通过课堂小测验或随堂练习来评价学生对复数代数形式的加、减运算及其几何意义的掌握程度。例如，教师可以设计一些复数加减运算的题目，让学生在课堂上进行计算和解答。通过学生的测试成绩，教师可以了解学生对知识点的掌握情况，并及时进行指导和解答。

2.作业评价

（1）批改作业：教师认真批改学生的课后作业，了解学生对复数代数形式的加、减运算及其几何意义的理解和掌握情况。例如，教师可以检查学生是否能够正确进行复数加减运算，是否能够写出运算的结果及其几何意义等。通过批改作业，教师可以了解学生的学习效果，并及时进行反馈和指导。

（2）点评作业：教师对学生的作业进行