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2024年湖南中考数学试题及答案注意事项:1.答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;2.必须在答题卡上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效;3.答题时,请考生注意各大题题号后面的答题提示;4.请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸;6.本学科试卷共25个小题,考试时量120分钟,满分120分。一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题,每小题3分,共30分)1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动,截至2024年6月上旬,上线慕课数量超过7.8万门,学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为()A. B. C. D.3.“玉兔号”是我国首辆月球车,它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器.“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是℃、最高温度是150℃,则它能够耐受的温差是()A.℃ B.150℃ C.30℃ D.330℃4.下列计算正确的是()A. B. C. D.5.为庆祝五四青年节,某学校举办班级合唱比赛,甲班演唱后七位评委给出的分数为:9.5,9.2,9.6,9.4,9.5,8.8,9.4,则这组数据的中位数是()A.9.2 B.9.4 C.9.5 D.9.66.在平面直角坐标系中,将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为()A. B. C. D.7.对于一次函数,下列结论正确的是()A.它的图象与y轴交于点 B.y随x的增大而减小C.当时, D.它的图象经过第一、二、三象限8.如图,在△ABC中,,,.则∠1的度数为()A.50° B.60° C.70° D.80°9.如图,在中,弦AB的长为8,心O到AB的距离,则的半径长为()A.4 B. C.5 D.10.如图,在菱形ABCD中,,,点E是BC边上的动点,连接AE,DE,过点A作于点P.设,,则y与x之间的函数解析式为(不考虑自变量x的取值范围)()A. B. C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势,每种秧苗各随机抽取40株,分别量出每株高度,计算发现三组秧苗的平均高度一样,并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6,10.8,15.8,由此可知____种秧苗长势更整齐(填“甲”、“乙”或“丙”).12.某乡镇组织“新农村,新气象”春节联欢晚会,进入抽奖环节.抽奖方案如下:不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有3个,蓝球有5个,每次摇匀后从中随机摸一个球,摸到红球获一等奖,摸到黄球获二等奖,摸到蓝球获三等奖,每个家庭有且只有一次抽奖机会,小明家参与抽奖,获得一等奖的概率为______.13.要使分式有意义,则x需满足的条件是______.14.半径为4,圆心角为90°的扇形的面积为______(结果保留).15.如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,连接DE.若,则AB的长为______.16.为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘以10,再加上4,6,将此时的运算结果再乘以10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是______.三、解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小题8分,第22、23题每小题9分,第24、25题每小题10分,共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:.18.先化简,再求值:,其中.19.如图,在Rt△ABC中,,,,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.(1)求CD的长;(2)求△ACE的周长.20.中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下,瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线,加大研发投入形成了领先的技术优势,2023年,中国新能源汽车产销量均突破900万辆,连续9年位居全球第一.在某次汽车展览会上,工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动(每人限选其中一种类型),并将数据整理后,绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图类型人数百分比纯电m54%混动na%氢燃料3b%油车5c%请根据以上信息,解答下列问题:(1)本次调查活动随机抽取了_____人;表中______,______;(2)请补全条形统计图;(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数;(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人,请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人?21.如图,点C在线段AD上,,,.(1)求证:;(2)若,求∠ACE的度数.22.刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外,在巴黎奥运会倒计时50天之际,某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元,购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元.(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元?(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件,总费用不超过50000元,那么最多能购买A种湘绣作品多少件?23.如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,.(1)求证:;(2)点E在BC边上,满足.若,,求CE的长及的值.24.对于凸四边形,根据它有无外接圆(四个顶点都在同一个圆上)与内切圆(四条边都与同一个圆相切),可分为四种类型,我们不妨约定:既无外接圆,又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形;只有外接圆,而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形;只有内接圆,而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形;既有外接圆,又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形.请你根据该约定,解答下列问题:(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中,正确的打“√”,错误的打“×”,①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形; ()②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形; ()③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合,外接圆半径为R,内切圆半径为r,则有. ()(2)如图1,已知四边形ABCD内接于,四条边长满足:.①该四边形ABCD是“______”四边形(从约定的四种类型中选一种填入);②若∠BAD的平分线AE交于点E,∠BCD的平分线CF交于点F,连接EF.求证:EF是的直径.(3)已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形,它的内切圆与AB,BC,CD,AD分别相切于点E,F,G,H.①如图2.连接EG,FH交于点P.求证:EG⊥FH:②如图3,连接OA,OB,OC,OD,若,,,求内切圆的半径r及OD的长.25.已知四个不同的点,,,都在关于x的函数(a,b,c是常数,)的图象上。(1)当A,B两点的坐标分别为,时,求代数式的值;(2)当A,B两点的坐标满足时,请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数,并说明理由;(3)当时,该函数图象与x轴交于E,F两点,且A,B,C,D四点的坐标满足:,.请问是否存在实数,使得AB,CD,这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为1:2:3?若存在,求出m的值和此时函数的最小值;若不存在,请说明理由(注:表示一条长度等于EP的m倍的线段).数学参考答案及评分标准一、选择题(本大题共.10个小题,每小题3分,共30分)题号12345678910答案BCDABDACBC二、填空题.(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.甲; 12.; 13.;14.4π; 15.24; 16.2009.三、解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小题8分,第22、23题每小题°9分,第24、25题每小题10分,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.解:原式.18.解:原式.当时,原式.19.解:(1)由作图可知,MN是线段AB的垂直平分线,所以在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点.所以.(2)在Rt△ABC中,.因为MN是线段AB的垂直平分线,点E在MN上,所以.所以△ACE的周长.20.解:(1)50;30,6;(2)如图所示:(3).(4)(人).答:估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有3600人.21.解:(1)证明:在△ABC与△ADE中,,所以.(2)因为,所以,.所以△ACE是等边三角形.所以.22.解:(1)设A种湘绣作品的单价为x元,B种湘绣作品的单价为y元.根据题意,得,解得答:A种湘绣作品的单价为300元,B种湘绣作品的单价为200元.(2)设购买A种湘绣作品a件,则购买B种湘绣作品件.根据题意,得,解得.答:最多能购买100件A种湘绣作品.23.解:(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,且,所以四边形ABCD是矩形.所以.(2)在Rt△ABC中,.所以.因为,所以.过点O作OF⊥BC于点F.因为四边形ABCD是矩形,所以.所以.所以.在Rt△COF中,.所以.24.解:(1)①(×):②(√);③(√).(2)①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形;②证法1:如图1,因为AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,所以,.所以,即.所以与均为半圆.所以EF是的直径.证法2:如图1,连接AF.因为四边形ABCD内接于,所以.因为AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,所以,.所以.由同弧所对的圆周角相等可得,所以,即.所以EF是的直径.证法3:如图2,连接FD,ED.因为四边形ABCD内接于,所以.由题意,得,,由同弧所对的圆周角相等可得:,,所以,所以.所以EF是的直径.(3)①证明:如图3,连接OE,OF,OG,OH,HG.因为是四边形ABCD的内切圆,所以OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD.所以.所以在四边形EAHO中,.同理可证.因为四边形ABCD是“完美型双圆”四边形,所以四边形ABCD有外接圆.所以.所以.所以又因为,,所以.所以,即.②方法1:如图4,连接OE,OF,OG,OH.因为四边形ABCD是“完美型双圆”四边形,所以.又因为与AB,BC,CD,AD分别相切于点E,F,G,H,所以,.所以.又因为,所以.又因为,所以.所以,即,解得.在Rt△OGC中,有,即,解得.在Rt△OBE中,.同理可证,所以,即,解得.方法2:如图4,由,得,即,解得.由,得,即,解得.25.解:(1)将,代入得,②-①得,即.所以.(2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个.方法1:由,得.可得或.当时,,此抛物线开口向上,而A,B两点之中至少有一个点在x轴的下方,此时该函数图象与x轴有两个公共点;当时,,此抛物线开口下,而A,B两点之中至少有一个点在x轴的上方,此时该函数图象与x轴也有两个公共点.综上所述,此函数图象与x轴必有两个公共点.方法2:由,得.可得或.所以抛物线上存在纵坐标为的点,即一元二次方程有解.所以该方程根的判别式,即.因为,所以.所以原函数图象与x轴必有两个公共点.方法3:由,可得或.当时,有q,即,所以.此时该函数图象与x轴有两个公共点.当时,同理可得,此时该函数图象与x轴也有两个公共点.综上所述,该函数图象与x轴必有两个公共点.(3)因为,所以该函数图象开口向上.由,得,可得.由,得,可得.所以直线AB,CD均与x轴平行.由(2)可知该函数图象与x轴必有两个公共点,设,.由图象可知,即.所以的两根为,,可得.同理的两根为,,可得.同理的两根为,,可得.由于,结合图象与计算可得,.若存在实数,使得AB,CD,这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为1:2:3,则此三角形必定为两锐角分别为30°,60°的直角三角形,所以线段AB不可能是该直角三角形的斜边.①当以线段CD为斜边,且两锐角分别为30°,60°时,因为,所以必须同时满足:,.将上述各式代入化简可得,且,联立解之得,,解得符合要求.所以,此时该函数的最小值为.②当以线段为斜边时,必有,同理代入化简可得,解得.因为以线段为斜边,且有一个内角为60°,而,所以,即,化简得符合要求.所以,此时该函数的最小值为.综上所述,存在两个m的值符合题意;当时,此时该函数的最小值为;当时,此时该函数的最小值为.
2023年湖南中考数学真题及答案注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上,并认真填涂和核对答题卡上的姓名、准考证号和科目;2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框,修改时用橡皮擦擦干净,不留痕迹;3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写,否则作答无效;4.在草稿纸、试题卷上答题无效;5.请勿折叠答题卡,保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;6.答题完成后,请将试题卷、答题卡放在桌上,由监考老师统一收回.本试卷共8页,有三道大题,共26小题,满分130分,考试时间120分钟.一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分)1.的倒数是()A.2 B. C. D.2.下列图形中,能由图形通过平移得到的是()
A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是()A. B. C. D.4.下列几何体中,各自的三视图完全一样的是()A.
B.
C.
D.
5.下列问题适合全面调查的是()A.调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B.了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C.了解郴江河的水质情况D.神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查6.一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.
B.
C.
D.
7.小王从A地开车去B地,两地相距240km.原计划平均速度为km/h,实际平均速度提高了50%,结果提前1小时到达.由此可建立方程为()A. B. C. D.8.第11届中国(湖南)矿物宝石国际博览会在我市举行,小方一家上午开车前往会展中心参观.途中汽车发生故障,原地修车花了一段时间.车修好后,他们继续开车赶往会展中心.以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象.分析图中信息,下列说法正确的是()
A.途中修车花了B.修车之前的平均速度是/C.车修好后的平均速度是/D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍二、填空题(共8小题,每小题3分,共24分)9.计算:___.10.在一次函数中,随的增大而增大,则的值可以是___________(任写一个符合条件的数即可).11.在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球,它们除颜色外,大小、质地都相同.从袋子中随机取出一个球,是红球的概率是___________.12.抛物线与轴只有一个交点,则________.13.为积极响应“助力旅发大会,唱响美丽郴州”的号召,某校在各年级开展合唱比赛,规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%,演唱技巧占50%,精神面貌占20%考评.某参赛队歌曲内容获得90分,演唱技巧获得94分,精神面貌获得95分.则该参赛队的最终成绩是___________分.14.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D是AB的中点,则_______.15.如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点处安装了一台监视器,它的监控角度是,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台.
16.如图,在中,,,.将绕点逆时针旋转,得到,若点的对应点恰好落在线段上,则点的运动路径长是___________cm(结果用含的式子表示).
三、解答题(17~19题每题6分,20~23题每题8分,24~25题每题10分,26题12分,共82分)17.计算:.18.先化简,再求值:,其中.19.某校计划组织学生外出开展研学活动,在选择研学活动地点时,随机抽取了部分学生进行调查,要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个.根据调查结果,编制了如下两幅不完整的统计图.
(1)请把图1中缺失的数据,图形补充完整;(2)请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数;(3)若该校共有1200名学生,请估计最喜欢去D地研学的学生人数.20.如图,四边形是平行四边形.
(1)尺规作图;作对角线的垂直平分线(保留作图痕迹);(2)若直线分别交,于,两点,求证:四边形是菱形21.某次军事演习中,一艘船以的速度向正东航行,在出发地测得小岛在它的北偏东方向,小时后到达处,测得小岛在它的北偏西方向,求该船在航行过程中与小岛的最近距离(参考数据:,.结果精确到).
22.随旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人.(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率;(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人?23.如图,在中,是直径,点是圆上一点.在的延长线上取一点,连接,使.
(1)求证:直线是的切线;(2)若,,求图中阴影部分的面积(结果用含的式子表示).24.在实验课上,小明做了一个试验.如图,在仪器左边托盘(固定)中放置一个物体,在右边托盘(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘与点的距离()(),记录容器中加入的水的质量,得到下表:
托盘与点的距离3025201510容器与水的总质量1012152030加入的水的质量57101525把上表中的与各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图所示的关于的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象;(2)观察函数图象,并结合表中的数据:①猜测与之间的函数关系,并求关于的函数表达式;②求关于的函数表达式;③当时,随的增大而___________(填“增大”或“减小”),随的增大而___________(填“增大”或“减小”),的图象可以由的图象向___________(以“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到.(3)若在容器中加入的水的质量(g)满足,求托盘与点的距离(cm)的取值范围.25.已知是等边三角形,点是射线上的一个动点,延长至点,使,连接交射线于点.
(1)如图1,当点在线段上时,猜测线段与的数量关系并说明理由;(2)如图2,当点在线段的延长线上时,①线段与的数量关系是否仍然成立?请说明理由;②如图3,连接.设,若,求四边形的面积.26.已知抛物线与轴相交于点,,与轴相交于点.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点是抛物线的对称轴上的一个动点,当的周长最小时,求的值;(3)如图2,取线段的中点,在抛物线上是否存在点,使?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.B【分析】乘积是1的两个数互为倒数,求一个数(0除外)的倒数,只要用1除以这个数即可.【详解】解:∵∴-2的倒数是故选B.【点睛】此题考查倒数的意义和求法:乘积是1的两个数互为倒数,一般在求小数的倒数,先把小数化为分数再求解.2.B【分析】根据平移的定义:在平面内,把一个图形整体沿某一方向移动,这种图形的平行移动,叫做平移变换,结合各选项所给的图形即可作出判断.【详解】解:观察图形可知,B中图形能由图形通过平移得到,A,C,D均不能由图形通过平移得到;故选B.【点睛】本题考查平移.熟练掌握平移的性质,是解题的关键.3.A【分析】根据同底数幂的乘法,幂的乘方,合并同类项,完全平方公式进行计算,即可得出结论.【详解】解:A、,选项计算正确,符合题意;B、,选项计算错误,不符合题意;C、选项计算错误,不符合题意;D、,选项计算错误,不符合题意;故选A.【点睛】本题考查整式的运算.熟练掌握相关运算法则,是解题的关键.4.D【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可.【详解】A、直三棱柱的俯视图为三角形,与主视图长方形和左视图长方形均不同,A错误;B、圆锥的俯视图为圆,与主视图三角形和左视图三角形均不同,B错误;C、圆柱的俯视图为圆,与主视图长方形和左视图长方形均不同,C错误;D、球的三视图完全相同,都是圆,D正确;故选D.【点睛】本题考查三视图的有关知识,注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体.5.D【分析】根据全面调查的定义与适用范围对各选项进行判断作答即可.【详解】解:由题意知,A、B、C项数量较大,也不需要非常精确的数据,适于抽查,故不符合要求;D项关乎生命安全且需要的数据比较精确,适于全面调查,故符合要求;故选:D.【点睛】本题考查了全面调查.解题的关键在于熟练掌握全面调查的适用条件.6.C【分析】先求出不等式组的解集,再在数轴上进行表示即可.【详解】解:由,得:;由,得:,∴不等式组的解集为:;数轴上表示如图:
故选C.【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集.正确的求出不等式组的解集,是解题的关键.7.B【分析】设原计划平均速度为km/h,根据实际平均速度提高了50%,结果提前1小时到达,列出分式方程即可.【详解】解:设原计划平均速度为km/h,由题意,得:,即:;故选B【点睛】本题考查根据实际问题列方程.找准等量关系,正确得列出方程,是解题的关键.8.D【分析】根据图象信息以及速度路程÷时间的关系即可解决问题.【详解】解:由图象可知途中修车花了,修车之前的平均速度是÷/,车修好后的平均速度是÷/,∴故A、B、C错误,D正确.故选∶D.【点睛】本题考查了函数图象,观察函数图象得出相应的时间和路程是解题关键.9.3【分析】求数a的立方根,也就是求一个数x,使得x3=a,则x就是a的一个立方根,根据立方根的定义计算可得.【详解】解:∵33=27,∴.故答案为3.【点睛】此题考查了求一个数的立方根,熟记立方根定义是解题的关键.10.3(答案不唯一)【分析】根据一次函数的性质可知“当时,变量y的值随x的值增大而增大”,由此可得出结论.【详解】解:∵一次函数中,y随x的值增大而增大,∴.解得:,故答案为:3(答案不唯一).【点睛】本题考查了一次函数的性质,解题的关键是根据函数的单调性确定k的取值范围.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,结合一次函数的增减性,得出k的取值范围是关键.11.##0.7【分析】根据概率公式进行计算即可.【详解】解:由题意,得,随机取出一个球共有10种等可能的结果,其中取出的是红球共有7种等可能的结果,∴;故答案为:.【点睛】本题考查概率.熟练掌握概率的计算公式,是解题的关键.12.9【分析】根据抛物线与轴只有一个交点,则判别式为0进行解答即可.【详解】解:∵抛物线与轴只有一个交点,∴解得c=9.故答案为:9.【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题,解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点,则判别式;抛物线与x轴有一个交点,则判别式;抛物线与x轴没有交点,则判别式.13.93【分析】利用加权平均数的计算方法进行求解即可.【详解】解:由题意,得:(分);∴该参赛队的最终成绩是93分,故答案为:93【点睛】本题考查加权平均数,熟练掌握加权平均数的计算方法,是解题的关键.14.5【分析】先根据题意画出图形,再运用勾股定理求得AB,然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.【详解】解:如图:∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8∴∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=AB=×10=5.故答案为5.【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点,掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键.15.4【分析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数,利用圆心角的度数即可得解.【详解】解:∵,∴对应的圆心角的度数为,∵,∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台;故答案为:4【点睛】本题考查圆周角定理,熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半,是解题的关键.16.【分析】由于旋转到,故C的运动路径长是的圆弧长度,根据弧长公式求解即可.【详解】以A为圆心作圆弧,如图所示.
在直角中,,则,则.∴.由旋转性质可知,,又,∴是等边三角形.∴.由旋转性质知,.故弧的长度为:;故答案为:【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点,解题的关键是明确C点的运动轨迹.17.4【分析】先化简各式,再进行加减运算即可.【详解】解:原式.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,实数的混合运算.熟练掌握相关运算法则,正确的进行计算,是解题的关键.18.,【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简,再将x的值代入,根据二次根式的性质化简即可.【详解】解:,当时,原式.【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算,二次根式的性质,正确化简是解题的关键.19.(1)见解析;(2);(3)300.【分析】(1)根据选择的人数是人,所占的比例是,据此即可求得本次参加抽样调查的学生人数,进而求得选择的人数,即可补全统计图;(2)利用乘以选择的人数所占总人数的比即可得解;(3)利用总人数乘以对应的百分比即可求得.【详解】(1)解:(人)选择的人数:(人)补全图形如下:
(2)解:,∴研学活动地点所在扇形的圆心角的度数;(3)(人)答:最喜欢去地研学的学生人数共有人.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.20.(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据垂直平分线的作图方法进行作图即可;(2)设与交于点,证明,得到,得到四边形为平行四边形,根据,即可得证.【详解】(1)解:如图所示,即为所求;
(2)∵四边形是平行四边形,∴,∴,如图:设与交于点,
∵是的垂直平分线,∴,,∵,∴,∴,∴四边形为平行四边形,∵,∴四边形为菱形.【点睛】本题考查基本作图—作垂线,平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定.熟练掌握菱形的判定定理,是解题的关键.21.该船在航行过程中与小岛的最近距离.【分析】过点作,垂足为,先在中,利用三角函数求出与的关系,然后在中,利用锐角三角函数的定义求出与的关系,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答;【详解】解:过点作,垂足为,
解∶∵,,,,,∴,,,在中,,即,∴,在中,,即,∴,∴,∴(),∴该船在航行过程中与小岛的最近距离.【点睛】本题主要考查了与方位角有关的解直角三角形,作出相应辅助线构造直角三角形是解题的关键.22.(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人【分析】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为,根据题意,列出一元二次方程,进行求解即可;(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人,根据题意,列出不等式进行计算即可.【详解】(1)解:设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为,由题意,得:,解得:(负值已舍掉);答:这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为;(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人,由题意,得:,解得:;∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人.【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用,找准等量关系,正确的列出方程和不等式,是解题的关键.23.(1)见解析;(2).【分析】(1)连接,由是直径,得,再证,从而有,于是即可证明结论成立;(2)由圆周角定理求得,在中,解直角三角形得,从而利用扇形及三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)证明:连接,
∵是直径,∴,∵,,∴,∴,∴,∵是的半径,∴直线是的切线;(2)解:∵,,∴,∴,∵在中,,,∴,解得,∴.【点睛】本题主要考查了圆周角定理,切线的判定,扇形的面积公式以及解直角三角形,熟练掌握圆周角定理,切线的判定以及扇形的面积公式是解题的关键.24.(1)作图见解析;(2)①;②;③减小,减小,下;(3).【分析】(1)将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可;(2)①观察图象可知,函数可能是反比例函数,设,把,的坐标代入,得,再检验其余各个点是否满足即可;②根据可能与成反比例,设,即可得解;③跟图像结合解析式作答即可.(3)利用反比例函数的性质即可解决问题.【详解】(1)解∶函数图象如图所示,
(2)解:①观察图象可知,可能是反比例函数,设,把的坐标代入,得,经检验,其余各个点坐标均满足,∴关于的函数表达式;②观察表格以及①可知,可能与成反比例,设,把的坐标代入,得,经检验,其余各个点坐标均满足,∴关于的函数表达式;③由图图像可知,当时,随的增大而减小,随的增大而减小,的图象可以由的图象向下平移得到,故答案为:减小,减小,下;(3)解:当时,解得,当时,解得,∴托盘与点的距离()的取值范围.【点睛】本题考查反比例函数的应用、描点法画图等知识,解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质,属于基础题,中考常考题型.25.(1),理由见解析(2)①成立,理由见解析②【分析】(1)过点作,交于点,易得,证明,得到,即可得出结论.(2)①过点作,交的延长线于点,易得,证明,得到,即可得出结论;②过点作,交的延长线于点,过点作,交于点,交于点,根据已知条件推出,得到,证明,得到,求出的长,利用四边形的面积为进行求解即可.【详解】(1)解:,理由如下:∵是等边三角形,∴,过点作,交于点,
∴,,∴为等边三角形,∴,∵,,∴,,又,∴,∴,∴;(2)①成立,理由如下:∵是等边三角形,∴,过点作,交的延长线于点,
∴,,∴为等边三角形,∴,∵,,∴,,又,∴,∴,∴;②过点作,交的延长线于点,过点作,交于点,交于点,则:,
由①知:为等边三角形,,,∵为等边三角形,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,,∴,∴,∴,设,则:,,∴,∵,∴,∴,即:②,联立①②可得:(负值已舍去),经检验是原方程的根,∴,,,∴,∴,∵,∴,∴四边形的面积为.【点睛】本题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形.本题的综合性强,难度大,属于中考压轴题,解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形,全等和相似三角形.26.(1)(2)(3)或或或【分析】(1)待定系数法求函数解析式即可;(2)根据的周长等于,以及为定长,得到当的值最小时,的周长最小,根据抛物线的对称性,得到关于对称轴对称,则:,得到当三点共线时,,进而求出点坐标,即可得解;(3)求出点坐标为,进而得到,得到,分点在点上方和下方,两种情况进行讨论求解即可.【详解】(1)解:∵抛物线与轴相交于点,,∴,解得:,∴;(2)∵,当时,,∴,抛物线的对称轴为直线∵的周长等于,为定长,∴当的值最小时,的周长最小,∵关于对称轴对称,∴,当三点共线时,的值最小,为的长,此时点为直线与对称轴的交点,设直线的解析式为:,则:,解得:,∴,当时,,∴,∵,∴,,∴;(3)解:存在,∵为的中点,∴,∴,∵,∴,在中,,∵,∴,①当点在点上方时:过点作,交抛物线与点,则:,此时点纵坐标为2,设点横坐标为,则:,解得:,∴或;②当点在点下方时:设与轴交于点,则:,设,则:,,∴,解得:,∴,设的解析式为:,则:,解得:,∴,联立,解得:或,∴或;综上:或或或.【点睛】本题考查二次函数的综合应用,正确的求出二次函数解析式,利用数形结合,分类讨论的思想进行求解,是解题的关键.本题的综合性强,难度较大,属于中考压轴题.
2022年湖南中考数学试题及答案一、选择题1.的相反数是()A. B.2 C. D.【答案】D【详解】解:因为-+=0,所以-的相反数是.故选:D.2.代数式x,,,x2﹣,,中,属于分式的有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【详解】分母中含有字母的是,,,∴分式有3个,故选:B.3.2022年3月11日,新华社发文总结2021年中国取得的科技成就,其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米.其中数据10909用科学计数法表示为()A. B. C. D.【答案】D【详解】解:10909=1.0909×104.故选:D.4.下列说法正确的是()A.相等的角是对顶角B.对角线相等的四边形是矩形C.三角形的外心是它的三条角平分线的交点D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】D【详解】解:A、根据对顶角的概念可知,相等的角不一定是对顶角,故该选项不符合题意;B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意;C、根据三角形外心的定义,外心是三角形外接圆圆心,是三角形三条边中垂线的交点,故该选项不符合题意;D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意;故选:D.5.下列计算正确的是()A. B. C. D.【答案】C【详解】∵∴A错误∵∴B错误∵∴C正确∵∴D错误故选:C.6.下列一元二次方程有实数解的是()A.2x2﹣x+1=0 B.x2﹣2x+2=0 C.x2+3x﹣2=0 D.x2+2=0【答案】C【详解】A选项中,,故方程无实数根;B选项中,,故方程无实数根;C选项中,,故方程有两个不相等的实数根;D选项中,,故方程无实数根;故选C.7.一个多边形的内角和为900°,则这个多边形是()A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形【答案】A【详解】解:根据n边形的内角和公式,得(n﹣2)•180°=900°,解得n=7,∴这个多边形的边数是7,故选:A.8.如图,△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF,已知BC=5,EC=2,则平移的距离是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【详解】因为沿BC方向平移,点E是点B移动后的对应点,所以BE的长等于平移的距离,由图像可知,点B、E、C在同一直线上,BC=5,EC=2,所以BE=BC-ED=5-2=3,故选C.9.从下列一组数﹣2,π,﹣,﹣0.12,0,﹣中随机抽取一个数,这个数是负数的概率为()A. B. C. D.【答案】B【详解】∵数﹣2,π,﹣,﹣0.12,0,﹣中,一共有6个数,其中﹣2,﹣,﹣0.12,﹣为负数,有4个,∴这个数是负数的概率为,故答案选:B.10.如图,直线AB交x轴于点C,交反比例函数y=(a>1)的图像于A、B两点,过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,若S△BCD=5,则a的值为()A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【详解】解:设,∵BD⊥y轴∴S△BCD==5,解得:故选:D.二、填空题11.计算﹣=_____.【答案】1【详解】解:﹣=故答案:1.12.因式分解:_____.【答案】【详解】解:,故答案为:13.已知点A(﹣2,b)与点B(a,3)关于原点对称,则a﹣b=______.【答案】5【详解】∵点A(﹣2,b)与点B(a,3)关于原点对称,∴,,∴故答案为:5.14.如图,△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若S△ADE=2,则S△ABC=_____.【答案】8【详解】解:∵D、E分别是AB、AC的中点,则DE为中位线,所以DE∥BC,所以△ADE∽△ABC∴∵S△ADE=2,∴S△ABC=8故答案为:8.15.如图,AB与⊙O相切于点C,AO=3,⊙O的半径为2,则AC的长为_____.【答案】【详解】解:连接OC,∵AB与⊙O相切于点C,∴OC⊥AB,即∠OCA=90°,在Rt△OCA中,AO=3,OC=2,∴AC=,故答案为:.16.正偶数2,4,6,8,10,……,按如下规律排列,2468101214161820……则第27行的第21个数是______.【答案】744
【详解】解:由图可知,第一行有1个数,第二行有2个数,第三行有3个数,•••••••第n行有n个数.∴前n行共有1+2+3+⋯+n=个数.∴前26行共有351个数,∴第27行第21个数是所有数中的第372个数.∵这些数都是正偶数,∴第372个数为372×2=744.故答案为:744.三、解答题17.计算:(3.14﹣π)0+|﹣1|+()﹣1﹣.【答案】2-【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.【详解】解:(3.14﹣π)0+|﹣1|+()﹣1﹣=1+-1+2-2=2-.【点睛】本题考查的是实数的运算,熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键.18.解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.【答案】,数轴见解析【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解,然后在数轴上把解集表示出来即可.【详解】解:由①得,由②得,该不等式组的解集为,在数轴上表示该不等式组的解集为:【点睛】本题考查一元一次不等式组解法步骤及用数轴表示不等式组的解集,熟练掌握相关解法步骤是解决问题的关键.19.某地修建了一座以“讲好隆平故事,厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园.如图,纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上,C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米.有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村.问该公路是否穿过纪念园?试通过计算加以说明.(参考数据:≈1.73,≈1.41)【答案】不穿过,理由见解析【分析】先作AD⊥BC,再根据题意可知∠ACD=45°,∠ABD=30°,设CD=x,可表示AD和BD,然后根据特殊角三角函数值列出方程,求出AD,与800米比较得出答案即可.【详解】不穿过,理由如下:过点A作AD⊥BC,交BC于点D,根据题意可知∠ACD=45°,∠ABD=30°.设CD=x,则BD=2.4-x,在Rt△ACD中,∠ACD=45°,∴∠CAD=45°,∴AD=CD=x.在Rt△ABD中,,即,解得x=0.88,可知AD=0.88千米=880米,因为880米>800米,所以公路不穿过纪念园.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,构造直角三角形是解题的关键.20.如图,点A,B,C,D在⊙O上,=.求证:(1)AC=BD;(2)△ABE∽△DCE.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等;再通过同弧所对的弦相等证明即可;(2)根据同弧所对的圆周角相等,对顶角相等即可证明相似.【小问1详解】∵=∴=∴∴BD=AC【小问2详解】∵∠B=∠C;∠AEB=∠DEC∴△ABE∽△DCE【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等,掌握这些是本题关键.21.电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后,怀化市各旅游景点知名度得到显菩提高.为全面提高旅游服务质量,旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查,并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图.频数分布表满意程度频数(人)频率非常满意500.5满意300.3一般ac不满意b0.05合计1001根据统计图表提供的信息,解答下列问题:(1)a=,b=,c=;(2)求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数;(3)根据调查情况,请你对各景点的服务提一至两条合理建议.【答案】(1)15;5;0.15(2)54°(3)有理即可;见详解【分析】(1)根据图表信息进行求解即可;(2)根据满意度“一般”所占圆的的比例乘360°即可得α的度数;(3)根据图表数据给出合理建议即可;【小问1详解】解:(人);(人);【小问2详解】答:扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数为54°.【小问3详解】根据图表可以看出绝大多数还是相当满意的,所以我觉得我们可以多一些对细节的规划,在环境一块更加注重,做到尽善尽美,推出一些具备特色的服务项目,给到游客不一样的体验.【点睛】本题主要考查扇形统计图,圆心角的求解,解本题的关键在于需认真读题并正确计算出结果.22.如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.(1)求证:MP=NP;(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).【答案】(1)见详解;(2)0.5a.【分析】(1)过点M作MQCN,证明即可;(2)利用等边三角形的性质推出AH=HQ,则PH=HQ+PQ=0.5(AQ+CQ).小问1详解】如下图所示,过点M作MQCN,∵为等边三角形,MQCN,∴,则AM=AQ,且∠A=60°,∴为等边三角形,则MQ=AM=CN,又∵MQCN,∴∠QMP=∠CNP,在,∴,则MP=NP;小问2详解】∵为等边三角形,且MH⊥AC,∴AH=HQ,又由(1)得,,则PQ=PC,∴PH=HQ+PQ=0.5(AQ+CQ)=0.5AC=0.5a.【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定,正确作出辅助线是解题的关键.23.去年防洪期间,某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣(单位:件)和雨鞋(单位:双),其中购买雨衣用了400元,购买雨鞋用了350元,已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元.(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元?(2)为支持今年防洪工作,该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%,并按套(即一件雨衣和一双雨鞋为一套)优惠销售.优惠方案为:若一次购买不超过5套,则每套打九折:若一次购买超过5套,则前5套打九折,超过部分每套打八折.设今年该部门购买了a套,购买费用为W元,请写出W关于a的函数关系式.(3)在(2)的情况下,今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套?【答案】(1)每件雨衣元,每双雨鞋元(2)(3)最多可购买套【分析】(1)根据题意,设每件雨衣元,每双雨鞋元,列分式方程求解即可;(2)根据题意,按套装降价20%后得到每套元,根据费用=单价×套数即可得出结论;(3)根据题意,结合(2)中所求,得出不等式,求解后根据实际意义取值即可.【小问1详解】解:设每件雨衣元,每双雨鞋元,则,解得,经检验,是原分式方程根,,答:每件雨衣元,每双雨鞋元;【小问2详解】解:根据题意,一套原价为元,下降20%后的现价为元,则;【小问3详解】解:,购买的套数在范围内,即,解得,答:在(2)的情况下,今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买套.【点睛】本题考查实际应用题,涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识,熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”,根据题意得出相应关系式是解决问题的关键.24.如图一所示,在平面直角坐标中,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PFAB交BC于点F.
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式,(2)当△PEF的周长为最大值时,求点P的坐标和△PEF的周长.(3)若点G是抛物线上的一个动点,点M是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点G的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线函数表达式为,直线BC的函数表达式为(2)点P的坐标为(,),△PEF的周长为(3)存在,(2,3)或(-2,-5)或(4,-5)【分析】(1)由点A,B的坐标,利用待定系数即可求解析式;(2)利用直线和抛物线的位置关系相切时对应的等腰直角三角形PEF周长最大,二次函数与一次函数联立方程,根的判别式,从而找出对应点P坐标,进而求出周长;(3)根据平行四边形对角线性质和中点公式,把BC是否为对角线分情况进行分析,设出点G的横坐标,利用中点公式列方程计算即可求解.【小问1详解】解:将点A(-1,0),B(3,0)代入,得:,解得,所以抛物线解析式为,C(0,3)设直线BC的函数表达式,将B(3,0),C(0,3)代入得:,解得,所以直线BC的函数表达式为【小问2详解】
解:如图,设将直线BC平移到与抛物线相切时的解析式为,与抛物线联立得:整理得,解得,将代入,解得,将代入得,即△PEF的周长为最大值时,点P的坐标为(,)将代入得,则此时,因为△PEF为等腰直角三角形,则△PEF的周长最大为【小问3详解】答:存在.已知B(3,0),C(0,3),设点G(,),N(1,n),当BC为平行四边形对角线时,根据中点公式得:,,则G点坐标为(2,3);当BC为平行四边形对角线时,同样利用中点坐标公式得:或,解得或则G点坐标为(-2,-5)或(4,-5)故点G坐标为(2,3)或(-2,-5)或(4,-5)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线的位置关系、根的判别式,等腰直角三角形性质,平行四边形的性质,解题的关键(1)根据点的坐标利用待定系数求解析式;(2利用直线和抛物线的位置关系,巧妙利用判别式;(3)熟悉平行四边形对角线性质,结合中点公式分情况展开讨论.
2021年湖南中考数学试题及答案一、选择题1.4的倒数是()A. B.2 C.1 D.【答案】A2.若,下列不等式不一定成立的是()A. B. C. D.【答案】C3.一个多边形的内角和是1800°,则这个多边形是()边形.A9 B.10 C.11 D.12【答案】D4.下列计算正确的是()A. B. C. D.【答案】D5.舒青是一名观鸟爱好者,他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况,以下是排乱的统计步骤:①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势;②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录;③按统计表的数据绘制折线统计图;④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表.正确统计步骤的顺序是()A.②→③→①→④ B.③→④→①→②C.①→②→④→③ D.②→④→③→①【答案】D6.计算:()A.0 B.1 C.2 D.【答案】B7.如图,已知F、E分别是正方形的边与的中点,与交于P.则下列结论成立的是()A. B. C. D.【答案】C8.阅读理解:如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即,那么称m为广义勾股数.则下面的四个结论:①7不是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是()A.②④ B.①②④ C.①② D.①④【答案】C二、填空题9.求不等式的解集_________.【答案】10.今年5月11日,国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果,我国现有人口141178万人.用科学计数法表示此数为___________人.【答案】11.在某次体育测试中,甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示,规定学生个人成绩大于90分为优秀,则甲、乙两班中优秀人数更多的是__________班.人数平均数中位数方差甲班45829119.3乙班4587895.8【答案】甲.12.分式方程的解为__________.【答案】13.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠BOD=80°,则∠BCD的度数是_____.【答案】140°.14.如图.在中,,平分,于E,若,则的长为________.【答案】15.刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠,总数不超过50个,其中为红珠,为绿珠,有8个黑珠.问刘凯的蓝珠最多有_________个.【答案】2016.如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格,其中第一个图形有个正方形,所有线段的和为4,第二个图形有个小正方形,所有线段的和为12,第三个图形有个小正方形,所有线段的和为24,按此规律,则第n个网格所有线段的和为____________.(用含n的代数式表示)【答案】2n2+2n三、解答题17.计算:.【答案】.【详解】解:18.解方程:【答案】,【详解】分析:利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解,然后解方程.详解:由原方程,得:(x+1)(x﹣2)=0,解得:x1=2,x2=﹣1.19.化简:【答案】【详解】20.如图,在中,.轴,O为坐标原点,A的坐标为,反比例函数的图象的一支过A点,反比例函数的图象的一支过B点,过A作轴于H,若的面积为.(1)求n的值;(2)求反比例函数的解析式.【答案】(1)1;(2)【详解】解:(1)∵A,且轴∴AH=,OH=n又的面积为.∴,即解得,;(2)由(1)得,AH=,OH=1∴AO=2如图,∵,轴,∴,四边形AHOE是矩形,∴AE=OH=1又∴∴,即:解得,BE=3∴B(-3,1)∵B在反比例函数的图象上,∴∴.21.某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车,A型车进货价格为每台12万元,B型车进货价格为每台15万元,该公司销售2台A型车和5台B型车,可获利3.1万元,销售1台A型车和2台B型车,可获利1.3万元.(1)求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元?(2)该公司准备用不超过300万元资金,采购A、B两种新能源汽车共22台,问最少需要采购A型新能源汽车多少台?【答案】(1)销售每台A型车的利润为0.3万元,每台B型车的利润为0.5万元;(2)最少需要采购A型新能源汽车台.【详解】解:(1)设每台A型车的利润为x万元,每台B型车的利润为y万元,根据题意得,解得,答:销售每台A型车的利润为0.3万元,每台B型车的利润为0.5万元;(2)因为每台A型车的采购价为:12万元,每台B型车的采购价为:15万元,设最少需要采购A型新能源汽车m台,则需要采购B型新能源汽车(22-m)台,根据题意得,解得,∵m是整数,∴m的最小整数值为,即,最少需要采购A型新能源汽车台.22.今年是建党100周年,学校新装了国旗旗杆(如图所示),星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式.仪式结束后,站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为,站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为,已知小明目高米,距旗杆的距离为15.8米,小刚目高米,距小明24.2米,求国旗的宽度是多少米?(最后结果保留一位小数)(参考数据:)【答案】国旗的宽度是1.6米.【详解】解:由题意得,四边形GAEM、GBFN是矩形,∴ME=GA=15.8(米),FN=GB=GA+BA=15.8+24.2=40(米),MG=AE=1.4(米),NG=BF=1.8(米),在Rt△DME中,∴∴(米),∴(米);在Rt△CNF中,∴,即(米),∴(米),∴(米)答:国旗的宽度是1.6米.23.我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心,预防接种尽责任”的号召下,积极联系社区医院进行新冠疫苗接种.为了解接种进度,该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查,按接种情况可分如下四类:A类——接种了只需要注射一针的疫苗:B类——接种了需要注射二针,且二针之间要间隔一定时间的疫苗;C类——接种了要注射三针,且每二针之间要间隔一定时间的疫苗;D类——还没有接种,图1与图2是根据此次调查得到的统计图(不完整).请根据统计图回答下列问题.(1)此次抽样调查的人数是多少人?(2)接种B类疫苗的人数的百分比是多少?接种C类疫苗的人数是多少人?(3)请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种.(4)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性,小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者,现有3男2女共5名居民报名,要从这5人中随机挑选2人,求恰好抽到一男和一女的概率是多少.【答案】(1)200(人);(2)40%,30人;(3)人;(4).【详解】(1)A类型人数为20人,占样本的10%,所以此次抽样调查的人数是:(人);(2)B类型人数为80人,所以B类疫苗的人数的百分比是:,由图可知C类型人数的百分比为15%,所以接种C类疫苗的人数是:(人).(3)接种了新冠疫苗的为A,B,C类的百分比分别为,人,所以小区所居住的18000名居民中接种了新冠疫苗的有:人.(4)如图:男1男2男3女1女2男1
男1男2男1男3男1女1男1女2男2男2男1
男2男3男2女1男2女2男3男3男1男3男2
男3女1男3女2女1女1男1女1男2女1男3
女1女2女2女2男1女2男2女2男3女2女1
从表中可以看出,共有20种等情况数,符合题意的选中一男和一女的情形共12种,P(一男一女)=.24.如图,在中,,以的中点O为圆心,为直径的圆交于D,E是的中点,交的延长线于F.(1)求证:是圆O的切线;(2)若,,求的长.【答案】(1)见解析;(2)【详解】解:证明:连接OD,如图:∵AB为直径,∴,∵点E是BC的中点,∴ED=EB,∴,∵,∴,∵OA=OD,∴∵,,∴,∴∴是圆O的切线.(2)∵E是BC中点,BC=4,∴BE=2,∴,在和中,,,∴,∴设OD为x,则,解得:则.25.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形的边与y轴交于E点,F是的中点,B、C、D的坐标分别为.(1)求过B、E、C三点的抛物线的解析式;(2)试判断抛物线的顶点是否在直线上;(3)设过F与平行的直线交y轴于Q,M是线段之间的动点,射线与抛物线交于另一点P,当的面积最大时,求P的坐标.【答案】(1);(2)顶点是在直线上,理由见解析;(3)P点坐标为(9,).【详解】解:(1)∵平行四边形,B、C、D的坐标分别为∴A(3,10),设直线AB的解析式为y=kx+b,则,解得,∴直线AB的解析式为y=2x+4,当x=0时,y=4,则E的坐标为(0,4),设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c,,解得,∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为;(2)顶点是在直线上,理由如下:∵F是的中点,∴F(8,10),设直线EF解析式为y=mx+n,则,解得,∴直线EF的解析式为y=x+4,∵,∴抛物线的顶点坐标为(3,),∵=×3+4,∴抛物线的顶点是否在直线上;(3)∵,则设P点坐标为(p,),直线BP的解析式为y=dx+e,则,解得,∴直线EF的解析式为y=x+,当x=0时,y=,则M点坐标为(0,),∵AB//FQ,∴设FQ的解析式为y=2x+f,则10=2×8+f,解得f=-6,∴FQ的解析式为y=2x-6,∴Q坐标为(0,-6),∴|MQ|=+6,∴S△PBQ=S△MBQ+S△PMQ====∴当p=9时,的面积最大时,∴P点坐标为(9,).26.如图,在中,,N是边上的一点,D为的中点,过点A作的平行线交的延长线于T,且,连接.(1)求证:;(2)在如图中上取一点O,使,作N关于边的对称点M,连接、、、、得如图.①求证:;②设与相交于点P,求证:.【答案】(1)见解析;(2)①见解析,②见解析.【详解】证明:(1)∵,且∴,且,∴四边形ATBN是平行四边形,∴,∴∠DTA=∠DCN,∵∠ADT=∠NDC,∵点D为AN的中点,∴AD=ND,∴△TAD≌△CND(AAS)∴TA=CN,∵,∴BN=CN,(2)①如图所示,连接AM、MN,∵点N关于边的对称点为M,∴△ANC≌△AMC,∴∠ACN=∠ACM,∵AB=AC,点N为AC的中点,∴平行四边形ATBN是矩形,∴∠TAB=∠ABN=∠ACN=∠ACM,∠BAN=∠MAC=∠CAN,AT=BN=NC=MC,∵OA=OC,∴∠CAN=∠ACO,∴∠TAB+∠BAN=∠ACM+∠ACO=90︒,∴∠OAT=∠OCM=90︒,在Rt△OAT和Rt△OCM中,∵AT=CM,∠OAT=∠OCM,OA=OC,∴Rt△OAT≌Rt△OCM(SAS),∴∠AOT=∠COM,OT=OM,∴∠AOT+∠AOM=∠COM+∠AOM,∴∠TOM=∠AOC∵OA=OC,OT=OM,∵,∴;②如图所示,连接OP,∵,∴∠OTM=∠OAP,∴点O、T、A、P共圆,∵∠OAT=90︒,∴OT为圆的直径,∴∠OPT=90︒,∵OT=OM,∴点P为TM的中点,∵由(1)得△TAD≌△CND,∴TD=CD,∴点D为TC的中点,∴DP为△TCM的中位线,∴.
2020年湖南中考数学真题及答案一、选择题(共8小题).1.4的倒数为()A. B.2 C.1 D.﹣42.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是()A. B. C. D.3.如图,已知AB∥DE,∠1=30°,∠2=35°,则∠BCE的度数为()A.70° B.65° C.35° D.5°4.下列计算正确的是()A.a2+b2=(a+b)2 B.a2+a4=a6 C.a10÷a5=a2 D.a2•a3=a55.下列说法正确的是()A.明天的降水概率为80%,则明天80%的时间下雨,20%的时间不下雨 B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,必有一次正面朝上 C.了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式 D.一组数据的众数一定只有一个6.一个圆锥的底面半径r=10,高h=20,则这个圆锥的侧面积是()A.100π B.200π C.100π D.200π7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b2﹣4ac>0;②abc<0;③4a+b=0;④4a﹣2b+c>0.其中正确结论的个数是()A.4 B.3 C.2 D.18.如图,将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处,按顺时针方向移动这枚跳棋2020次.移动规则是:第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点,跳棋停留在B处,第二次移动2个顶点,跳棋停留在D处),按这样的规则,在这2020次移动中,跳棋不可能停留的顶点是()A.C、E B.E、F C.G、C、E D.E、C、F二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)9.分解因式:xy2﹣4x=.10.若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是.11.计算:﹣+=.12.如图,若反比例函数y=(x<0)的图象经过点A,AB⊥x轴于B,且△AOB的面积为6,则k=.13.4月23日是世界读书日,这天某校为了解学生课外阅读情况,随机收集了30名学生每周课外阅读的时间,统计如表:阅读时间(x小时)x≤3.53.5<x≤55<x≤6.5x>6.5人数12864若该校共有1200名学生,试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为.14.今年新冠病毒疫情初期,口罩供应短缺,某地规定:每人每次限购5只.李红出门买口罩时,无论是否买到,都会消耗家里库存的口罩一只,如果有口罩买,他将买回5只.已知李红家原有库存15只,出门10次购买后,家里现有口罩35只.请问李红出门没有买到口罩的次数是次.15.如图1,已知四边形ABCD是正方形,将△DAE,△DCF分别沿DE,DF向内折叠得到图2,此时DA与DC重合(A、C都落在G点),若GF=4,EG=6,则DG的长为.16.阅读理解:对于x3﹣(n2+1)x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式:x3﹣(n2+1)x+n=x3﹣n2x﹣x+n=x(x2﹣n2)﹣(x﹣n)=x(x﹣n)(x+n)﹣(x﹣n)=(x﹣n)(x2+nx﹣1).理解运用:如果x3﹣(n2+1)x+n=0,那么(x﹣n)(x2+nx﹣1)=0,即有x﹣n=0或x2+nx﹣1=0,因此,方程x﹣n=0和x2+nx﹣1=0的所有解就是方程x3﹣(n2+1)x+n=0的解.解决问题:求方程x3﹣5x+2=0的解为.三、(本大题2个小题,每小题5分,满分10分)17.计算:20+()﹣1•﹣4tan45°.18.解不等式组.四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)19.先化简,再选一个合适的数代入求值:(x+1﹣)÷.20.第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G业务,经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍,小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片,小明比小强所用的时间快140秒,求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆?五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分)21.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(3,18)和B(﹣2,8)两点.(1)求一次函数的解析式;(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象只有一个交点,求交点坐标.22.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图,图2是其示意图.汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方,AB与水平线AD之间的夹角是5°,卸货时,车厢与水平线AD成60°,此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°,若AC=2米,求BC的长度.(结果保留一位小数)(参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,≈1.41)六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)23.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者,市委根据党中央的决定,对患者进行了免费治疗.图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图(不完整),图2是这三类患者的人均治疗费用统计图.请回答下列问题.(1)轻症患者的人数是多少?(2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元?(3)所有患者的平均治疗费用是多少万元?(4)由于部分轻症患者康复出院,为减少病房拥挤,拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房,请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率.24.如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,D是AB上的一点,DE⊥AB于D,DE交BC于F,且EF=EC.(1)求证:EC是⊙O的切线;(2)若BD=4,BC=8,圆的半径OB=5,求切线EC的长.七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)25.如图,已知抛物线y=ax2过点A(﹣3,).(1)求抛物线的解析式;(2)已知直线l过点A,M(,0)且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA•MB;(3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有符合条件的P点坐标.26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点,∠ACB=90°,∠ABC=30°,过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°,∠DFE=30°,连接CE并延长CE到P,使EP=CE,连接BE,FP,BP,设BC与DE交于M,PB与EF交于N.(1)如图1,当D,B,F共线时,求证:①EB=EP;②∠EFP=30°;(2)如图2,当D,B,F不共线时,连接BF,求证:∠BFD+∠EFP=30°.
参考答案一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)1.4的倒数为()A. B.2 C.1 D.﹣4【分析】根据倒数的意义,乘积是1的两个数叫做互为倒数,求倒数的方法,是把一个数的分子和分母互换位置即可,是带分数的化成假分数,再把分子分母互换位置,据此解答.解:4的倒数为.故选:A.2.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是()A. B. C. D.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不合题意;B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不合题意;C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确;D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意;故选:C.3.如图,已知AB∥DE,∠1=30°,∠2=35°,则∠BCE的度数为()A.70° B.65° C.35° D.5°【分析】根据平行线的性质和∠1=30°,∠2=35°,可以得到∠BCE的度数,本题得以解决.解:作CF∥AB,∵AB∥DE,∴CF∥DE,∴AB∥DE∥DE,∴∠1=∠BCF,∠FCE=∠2,
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