2024-2025学年新教材高中数学 第3章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质教案 新人教A版选择性必修第一册

2024-2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质教案新人教A版选择性必修第一册主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容是高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质。教学内容与学生已有知识的联系包括以下几点：

1.知识点回顾：复习初中阶段学习的椭圆的定义、标准方程及其图像，引导学生回忆椭圆的基本概念和性质。

2.知识拓展：介绍椭圆的离心率、焦距等几何性质，引导学生理解椭圆的内在联系，为后续学习其他圆锥曲线打下基础。

3.实例分析：通过分析具体椭圆实例，让学生掌握如何运用椭圆的性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

4.练习巩固：安排适量练习题，让学生在课后巩固所学知识，加深对椭圆几何性质的理解。

本节课的教学内容紧密联系学生已有知识，注重培养学生的数学思维能力和实际应用能力，为后续学习其他圆锥曲线做好铺垫。核心素养目标本节课的核心素养目标主要包括以下几点：

1.逻辑推理：通过学习椭圆的简单几何性质，培养学生运用逻辑推理能力，理解并掌握椭圆的离心率、焦距等概念。

2.数学建模：引导学生运用椭圆的性质解决实际问题，培养学生的数学建模能力，提高学生将数学知识应用于实际问题的能力。

3.直观想象：通过观察椭圆的图像和实例分析，培养学生的直观想象能力，让学生能够直观地理解和把握椭圆的性质。

4.数学运算：在学习椭圆的方程和几何性质的过程中，培养学生运用数学运算能力，解决与椭圆相关的问题。

5.数据分析：通过分析椭圆的实例，培养学生运用数据分析能力，理解并掌握椭圆的性质，提高学生分析问题和解决问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在初中阶段已经学习了椭圆的定义、标准方程及其图像，对椭圆的基本概念和性质有了初步的了解。此外，学生还掌握了函数、方程等数学基础知识，为学习椭圆的方程和几何性质奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：针对本节课的内容，大部分学生对椭圆的性质和应用问题具有较高的兴趣。学生在学习过程中，具有一定的分析问题和解决问题的能力，能够主动参与课堂讨论和实践活动。在学习风格上，学生偏向于直观形象和逻辑推理，对数学公式和定理的掌握程度较高。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习椭圆的离心率、焦距等几何性质时，部分学生可能对这些概念理解不深，难以运用到实际问题中。此外，学生在解决椭圆方程和不等式问题时，可能存在运算能力不足、解题思路不清晰等问题。针对这些困难，教师需要在教学中注重概念的解释、实例的分析，以及适当的练习巩固，帮助学生克服挑战。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《2024-2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质》所需的学习资料，包括课本、教师用书、学生用书等。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的多媒体资源，如图片、图表、视频等。例如，椭圆的图像、离心率示意图、焦距解释动画等，以帮助学生更直观地理解和掌握椭圆的性质。

3.实验器材：如果涉及实验，提前准备实验器材，如椭圆模型、尺子、圆规等，确保实验器材的完整性和安全性。在实验过程中，引导学生亲自动手操作，观察椭圆的性质，提高学生的实践能力。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境。将教室分为讲解区、演示区、讨论区、实验操作台等不同区域，以便于教师讲解、学生演示、分组讨论和实验操作。

5.教学工具：准备黑板、多媒体设备、投影仪等教学工具，以便于展示椭圆的图像、方程和几何性质，同时方便学生观看和记录。

6.练习题库：根据教学内容，编写或收集一定数量的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同层次学生的学习需求。在课后布置适量练习题，让学生巩固所学知识。

7.学习小组：将学生分成若干学习小组，鼓励学生互相讨论、合作学习，提高学生的团队协作能力和沟通能力。

8.教学反馈：在教学过程中，及时收集学生的学习反馈，了解学生的学习情况，为调整教学策略和教学资源提供依据。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对椭圆的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道椭圆是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于椭圆的图片，如行星运动、体育比赛中的轨迹等，让学生初步感受椭圆的魅力。

简短介绍椭圆的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.椭圆基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解椭圆的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解椭圆的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍椭圆的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.椭圆案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解椭圆的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的椭圆案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解椭圆的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用椭圆解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与椭圆相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对椭圆的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调椭圆的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括椭圆的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调椭圆在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用椭圆。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于椭圆的短文或报告，以巩固学习效果。教学资源拓展六、教学资源拓展

1.拓展资源

（1）椭圆在自然界中的应用：介绍椭圆在行星运动、天体物理学等方面的应用，如开普勒定律、地球绕太阳的运动等。

（2）椭圆在工程技术中的应用：探讨椭圆在机械设计、电子元件等方面的应用，如椭圆齿轮、椭圆型电容器等。

（3）椭圆在体育比赛中的轨迹：分析体育比赛中，运动员的运动轨迹为何往往接近椭圆，如投掷项目、田径比赛等。

（4）椭圆曲线在密码学中的应用：介绍椭圆曲线在加密技术、安全通信等方面的应用，如椭圆曲线密码体制（ECC）。

（5）椭圆方程的历史发展：回顾椭圆方程的发现及发展过程，了解数学家们如何逐步探索和揭示椭圆的性质。

2.拓展建议

（1）让学生课后阅读相关资料，加深对椭圆在不同领域应用的理解。

（2）鼓励学生利用网络资源，查找更多关于椭圆的应用实例，拓宽知识视野。

（3）组织学生进行小研究，探讨椭圆在其他领域的潜在应用，培养学生的创新能力。

（4）邀请专家或行业人士进行讲座，分享椭圆在实际工作中的应用经验和案例。

（5）鼓励学生参加数学竞赛或研究项目，提高学生在椭圆及相关领域的研究能力。课后作业1.请用简洁的语言描述椭圆的标准方程及其几何意义。

2.计算椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)的离心率、焦距和半长轴、半短轴。

3.给定椭圆\(C\)：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(a>b>0\)，求证椭圆上任意一点到焦点的距离之和为\(2a\)。

4.已知椭圆上三点\(A(-2,0)\)，\(B(2,0)\)，\(P(x,y)\)，且\(AP+PB=4\)，求点\(P\)的轨迹方程。

5.椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上任取一点\(M(x_0,y_0)\)，求证\(M\)到两焦点的距离之和为\(4\)。

答案：

1.椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(a\)为半长轴，\(b\)为半短轴。椭圆的几何意义是所有到两个焦点距离之和为定值的点的集合。

2.椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)的离心率为\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\)，焦距为\(2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{4-3}=2\sqrt{1}=2\)，半长轴\(a=2\)，半短轴\(b=\sqrt{3}\)。

3.证明：设椭圆\(C\)的两个焦点为\(F_1\)和\(F_2\)，椭圆上任意一点\(P(x,y)\)，则有\(PF_1+PF_2=2a\)。根据椭圆的定义，对于任意一点\(P\)，有\(PF_1+PF_2=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}\)，其中\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)为焦点坐标。由于\(F_1\)和\(F_2\)关于\(x\)轴对称，故\(y_1=-y_2\)，代入上式，得\(PF_1+PF_2=2\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}\)。由于\(x_1=-x_2\)，所以\(PF_1+PF_2=2\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}=2a\)。因此，得证。

4.解：设点\(P\)的坐标为\((x,y)\)，则有\(AP=\sqrt{(x+2)^2+y^2}\)，\(PB=\sqrt{(x-2)^2+y^2}\)。根据题意，有\(AP+PB=4\)，即\(\sqrt{(x+2)^2+y^2}+\sqrt{(x-2)^2+y^2}=4\)。平方两边，整理可得\(x^2+y^2=4\)。因此，点\(P\)的轨迹方程为\(x^2+y^2=4\)。

5.解：设点\(M\)的坐标为\((x_0,y_0)\)，则有\(MF_1=\sqrt{(x_0+1)^2+y_0^2}\)，\(MF_2=\sqrt{(x_0-1)^2+y_0^2}\)。根据题意，有\(MF_1+MF_2=4\)，即\(\sqrt{(x_0+1)^2+y_0^2}+\sqrt{(x_0-1)^2+y_0^2}=4\)。平方两边，整理可得\(x_0^2+y_0^2=4\)。因此，得证。反思改进措施（一）教学特色创新

1.引入实际案例：在教学中，通过引入与椭圆相关的实际案例，如行星运动、体育比赛中的轨迹等，激发学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解椭圆的应用和意义。

2.采用分组讨论：组织学生进行小组讨论，鼓励他们互相交流、合作学习，培养他们的团队协作能力和沟通能力。

3.利用多媒体资源：利用图片、视频等多媒体资源，以直观的方式展示椭圆的性质和应用，帮助学生更好地理解和掌握椭圆的知识。

（二）存在主要问题

1.教学方法过于单一：在教学过程中，我发现教学方法过于单一，导致学生学习兴趣不高，学习效果不理想。

2.学生参与度不高：在课堂教学中，我发现学生参与度不高，部分学生缺乏主动学习的意识，影响了教学效果。

3.教学评价不够全面