新教材2024-2025学年高中数学第1章数列1.4数学归纳法分层作业湘教版选择性必修第一册

*1.4数学归纳法A级必备学问基础练1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步验证()A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=42.对于不等式n2+2n<n+2(n∈(1)当n=1时,12+2<1+(2)假设当n=k时,不等式成立,即k2+2k<k+(k(k2+4k+3)+这表明,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可以断定,不等式对任何正整数n都成立.则上述证法()A.过程全部正确B.n=1的验证不正确C.n=k的假设不正确D.从n=k到n=k+1的递推不正确3.一个关于自然数n的命题,假如证得当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N+)时命题成立的基础上,证明白当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于()A.一切正整数命题成立B.一切正奇数命题成立C.一切正偶数命题成立D.以上都不对4.已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),则()A.f(k+1)-f(k)=2k+2B.f(k+1)-f(k)=3k+3C.f(k+1)-f(k)=4k+2D.f(k+1)-f(k)=4k+35.用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+…+12n>1134(n∈A.增加12B.增加12C.增加12k+1D.以上结论都不正确6.用数学归纳法证明下列各式:(1)12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·n(n+1)2((2)12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).B级关键实力提升练7.用数学归纳法证明1+122+132+…+1(2n-1)2<A.1<2-1B.1+122<2C.1+122+1D.1+122+18.在数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an-an-1=2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是()A.an=3n-2 B.an=n2C.an=3n-1 D.an=4n-39.已知f(n)=1n+1n+1+1A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=1B.f(n)共有n+1项,当n=2时,f(2)=1C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,f(2)=1D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=110.设数列{an}的前n项和为Sn,且对随意的自然数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=.

11.用数学归纳法证明不等式:1+12+13+…+1n<2n(n12.数列{an}满意Sn=2n-an(n∈N+).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)用数学归纳法证明你的猜想.C级学科素养创新练13.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+),其中λ>0.(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.

*1.4数学归纳法1.C由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.2.Dn=1的验证及假设都正确,但从n=k到n=k+1的递推中没有运用假设,只是通过放缩法干脆证明不等式,不符合数学归纳法证题的要求.故选D.3.B本题证明白当n=1,3,5,7,…时,命题成立,即对一切正奇数命题成立.4.B由f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),可知f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k-1)+2k+(2k+1)+2(k+1)-[k+(k+1)+(k+2)+…+2k]=3(k+1).故选B.5.C当n=k时,不等式左边为1k+1+1k+2+…+1k+k,当n=k+1时,不等式左边为1k6.证明(1)①当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×1×(左边=右边,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·k(k+1)2,那么,当n=k+1时,12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·k(k+1)2+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)·[(k+1)-k2]=这表明,当n=k+1时,等式也成立.依据①和②可以断定,对于任何n∈N+,等式都成立.(2)①当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),那么,当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1].这表明,当n=k+1时,等式也成立.由①和②可以断定,等式对任何n∈N+都成立.7.C当n=2时,不等式的两边分别是1+122+1328.B计算出a1=1,a2=4,a3=9,a4=16.可猜想an的表达式是an=n2,故选B.9.D结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数,共有n2-n+1个,且f(2)=1210.nn+1由(S1-1)2=S1·S1,得S1=由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=23依次得S3=34,S4=45,猜想Sn=11.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即1+12+13+…+1那么,当n=k+1时,1+12+13+…+1k+1这表明,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可以断定,不等式对随意n∈N+都成立.12.(1)解当n=1时,a1=S1=2-a1,解得a1=1;当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,解得a2=32当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,解得a3=74当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,解得a4=158由此猜想an=2n-12n-1(2)证明①当n=1时,a1=1,猜想成立.②假设当n=k时,猜想成立,即ak=2k那么,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,则2ak+1=2+ak,则ak+1=2+a这表明,当n=k+1时,猜想也成立.由①和②可以断定,猜想an=2n-1213.(1)解由a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n,可得a2=λ2+22,a3=2λ3+23,a4=3λ4+24,猜想an=(n-1)λn+2n.(2)证明①当n=1时,a1=(1-1)λ+2=2,猜想成立.②假设当n=k时,猜想成立,即ak=(k-1)λk+2k,那么,当n=k+1时,ak+1