高中数学选1 本章复习提升

本章复习提升

易混易错练

易错点1混淆向量的共线、共面与线段的共线、共面

1.（2020海南海口海南中学高二上期中，*?）若荏=入而+R屈（入，UWR）,则直

线AB与平面CDE的位置关系为.

2.（2020浙江诸暨中学高二上期中，*?）若直线a的方向向量为a,平面a,0的法

向量分别为n,m,则下列命题为真命题的序号是.

（1）若a，n,则直线a〃平面a；

⑵若a〃n,则直线a,平面a；

⑶若cos〈a,n>=；,则直线a与平面a所成角的大小为为

Zo

⑷若cos<m,n>=；,则平面a,3的夹角为今

3.（2020四川自贡高二上期末,*?）如图，正方体ABCD-ABCD中,M,N分别是

AB,A.D,的中点,判断直线MN与平面BB.D.D的位置关系，并说明理由.

易错点2忽略定义、定理中的特殊条件

4.（2020湖南长郡中学高二上检测，#?）下列命题正确的是（）

A.若a与b共线,b与c共线,贝Ua与c共线

B.向量a、b、c共面，即它们所在的直线共面

C.若a〃b,则存在唯一的实数入，使a=入b

D.零向量是模为0,方向任意的向量

易错点3忽略平行向量

5.（*）已知a=（3,-2,-知，b=（-l,x-1,1）,且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围

是.

易错点4混淆向量夹角范围与空间角范围

6.（田：）在正方体ABCD-ABCD中，向量荏与向量前的夹角是（）

A.150°B.135°C.45°D.30°

7.（2020天津武清高三上期中，*?）在四棱锥P-ABCD中，PAL底面

ABCD,AD±AB,AB〃DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

（1）求直线EB与平面PBD所成角的正弦值；

⑵若F为棱PC上一点,满足BF1AC,求平面FAB与平面PAB夹角的余弦值.

8.(2020山东莱州第一中学高二上期末,")如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面

体中，面ABEF为正方形,AF=2FD,ZAFD=90°,且面DAF与面ABEF所成的角和面

CBE与面ABEF所成的角都是60°.

⑴证明：平面ABEF_L平面EFDC;

(2)求面BCE与面ABCD所成角的余弦值.

思想方法练

一、利用方程思想求值

1.(2020天津六校高三联考,")如图，在三棱锥S-ABC中，平面SBC,平面

ABC,SB=SC=AB=AC=V2,BC=2,0为BC的中点.

(1)证明:S0_L平面ABC;

⑵求异面直线AB和SC所成角;

⑶设线段S0上有一点M,当AM与平面SAB所成角的正弦值为唱时,求0M的长.

n

二、利用函数思想求最值

2.(2020山东济宁高三上期中，")如图，三棱柱ABC-ABG中，侧棱AAi，平面

ABC,AABC为等腰直角三角形，ZBAC=90°,且AB=AA1=2,E、F分别为CG、BC的中

点.

⑴若D是AA.的中点，求证:BD〃平面AEF;

(2)若M是线段AE上的任意一点,求直线B,M与平面AEF所成角的正弦的最大值.

三、利用转化思想求距离和空间角、判定平行和垂直

3.(#7)在长方体ABCD-ABCD中,AAH,AD=DC=b,Q是线段AC上一点,且

GQ=|CA,则点Q到平面A,DC的距离为.

4.(*?)如图，在直三棱柱ABC-AiBC中，点D、E、F分别为线段AC、AB、A】A的中

点,AA=AC=BC,ZACB=90°.求证:

(DDE〃平面BCCB;

(2)EFJ_平面B.CE.

5.(*)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA，平面

ABCD,AD=1,PA=AB=V2,E是棱PB的中点.

⑴求异面直线EC与PD所成角的余弦值；

(2)求平面BEC与平面ECD夹角的余弦值.

答案全解全析

易混易错练

1.答案ABc平面CDE或AB〃平面CDE

解析由通=入而+U屈(入，UWR)及共面向量定理可知向量前与向量而、CE

共面,则直线AB可能在平面CDE内，也可能和平面CDE平行.

易错警示本题容易因混淆了向量共面和直线共面而错答为ABu平面CDE,向量

荏与向量而、正共面,直线AB可能在平面CDE内，也可能和平面CDE平行.

2.答案⑵⑶⑷

解析若a，n,则直线a与平面a平行或在平面a内，所以⑴是假命题；

若2〃4则a也是平面a的法向量，所以直线aj_平面a,所以⑵是真命题；

直线与平面的夹角的正弦值等于直线与平面法向量所成的锐角的余弦值,所以⑶

是真命题；

两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以⑷是真命题.

3.解析MN〃平面BBDD.理由如下：设正方体的棱长为1,如图，建立空间直角坐

标系，

贝！JB(l,1,0),匕(0,0,1),D(O,0,0),M(L；,0)NG()J),

.,.丽=(-川,1),丽=(1,1,0),西二(0,0,1),

设平面BB,D,D的法向量为n=(x,y,z),

则卜,°,

[n,DDi=0,

即1+3一。'令x=i，则y=T，z=0,

(z=0,

，n=(l,-1,0)是平面BB,D,D的一个法向量.

V/WV•n=0,MNC平面BB.D.D,

，MN〃平面BBDD.

易错警示本题容易因忽视MNQ平面BBDD,而直接由标•n=0,得MN〃平面

BBDD,造成步骤不完整，实际上，当丽•n=0时,MN〃平面BBDD或MNc平面

BBDD.

4.D由于零向量与任意向量共线,所以若b为零向量,则a与c关系不确定,A错；

向量共面时,它们所在的直线不一定共面,B错;共线向量定理中，当b不是零向量

时，才存在唯一的实数入，使a=、b,否则X可能不存在,C错;D显然正确.

易错警示本题容易忽略零向量的特殊性和共线向量定理中的限制条件而误认为

A、C正确.

5.答案(何呜+8)

解析与b的夹角为钝角，

...a・b=-3-2(x-l)30,解得x>-2.由题意得a与b不共线，则户号解得x/

的取值范围是(-2,3uG，+8).

易错警示本题容易忽略了a与b共线时的特殊情况.

6.B如图，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1,

则A(0,0,O),B(1,O,O),C,(1,1,l),Ai(O,0,1),

：.COs<AB,6〉=^^4T

.••向量版与向量焉有的夹角是135°.

7.解析⑴如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1),

所以锯=(0,1,1),丽=(1,0,-2),而=(0,2,-2),设平面PBD的法向量为

m=(x,y,z),则由m±P5,m_L而,

m,PB=x-2z=0,

得

m,PD=2y-2z=0,

令z=l,得x=2,y=l,即m=(2,1,1),

所以cos<BE,

|BE||m|V2xV63

设直线BE与平面PBD所成角为a,则sina=|cos(屁,m>|=y,即直线BE与平面

PBD所成角的正弦值为出.

3

(2)由⑴得品(2,2,-2),PB=(1,0,-2),AC=(2,2,0).

设而=入玩(0W入W1),贝1」砂=而一而=入~PC-PB^(2X,2X,-2X)-(l,0)-

2)=(2入-1,2入，2-2人)，

BF•前=4X-2+4X=0,解得X」，

4

所以点F(Y,，，

\222/

显然,AD=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量，设n=(x1,ybz.)是平面FAB的法向量,

因为存=(黑，9,市=(-黑，9,

\222/\222/

71•通=；Xi+]i+)1=0,

所以

n«BF=-\1+^y1+^z1=0,

令Z1=1,则y尸-3,X1=O,所以n=(0,-3,1),

所以cos<AD,n〉_一二二一^22

2xV1010

设平面FAB与平面PAB的夹角为B,

则cosB=|cos<AD,n>|

10

即平面FAB与平面PAB的夹角的余弦值为迎.

10

8.解析(1)证明：,/四边形ABEF为正方形，AFLEF.

VZAFD=90°,AAFIDF,

VDFnEF=F,DFc平面EFDC,EFu平面EFDC,

，AF,平面EFDC,

VAFc平面ABEF,

...平面ABEF,平面EFDC.

⑵由AF1DF,AF1EF,可得NDFE为面DAF和面ABEF所成角的平面角.

四边形ABEF为正方形，

，BE〃AF,BE1EF,

又AF_L平面EFDC,

，BE_L平面EFDC.

VCEc平面EFDC,

ACE1BE,

可得NCEF为面CBE和面ABEF所成角的平面角，

.,.ZDFE=ZCEF=60°.

VAB/7EF,AB。平面EFDC,EFu平面EFDC,AB〃平面EFDC,

平面EFDCn平面ABCD=CD,ABc平面ABCD,

；.AB〃CD,，CD〃EF,

四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

设FD=a,则E(0,0,0),B(0,2a,0),A(2a,2a,0),

EB=(0,2a,0),FC=Q,-2a,/a),~AB=(-2a,0,0),

设平面BCE的法向量为m=(x1Jy„z.),

则M•回=°，

(m,BC=0,

(2a%=0,

即{a„6c令Z1=-1,则X1=E,yi=0,则m=(百,0,T).

{^x1-2ay1+—az1=0,

同理可得平面ABCD的一个法向量为n=(0,V3,4),

设面BCE与面ABCD所成角的大小为0,

则39=21*=春『=亚，

|m|,|n|，3+lx，3+1619

.•.面BCE与面ABCD所成角的余弦值为亚.

19

思想方法练

1.解析⑴证明：：SB=SC,0为BC的中点，.*.BO=OC,SO，BC,

•.•平面SBC,平面ABC,平面SBCn平面ABC=BC,SOc平面SBC,

.•.SO_L平面ABC.

⑵•.•SB=SC=AB=AC=&,BC=2,

.■.BS1CS.BA1CA,

如图,分别以OB,0A,OS所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

则A(0,1,O),B(1,O,0),S(0,0,1),C(-1,O,0),

0),SC=(-1,0,-1).

.,.|cos<^4B,SC>\

\AB\•|SC|V2xV22

.•.异面直线AB和SC所成角的大小为二

3

(3)设m=(a,b,c)为平面SAB的法向量.

由⑵可得元=(1,0,-1),

则”-m=0,即产=；令a=l,则b=l,c=l,，m=(l,1,1).

[SB-m=0,I®。=°，

设M(0,0,t)(t£[0,1]),则彳而=(0,-1,t),

设AM与平面SAB所成角为0.

贝sin。=|cos<m,''吧

|m|•|AM|

_|M|_V30

VsxVl+t215'

化简得3t2-10t+3=0(0WtWD,

解得t=3(舍)或t=-,

3

.,.OM的长为；

3

2.解析(1)证明:连接DG,BG.

因为DE分别是AAi、CG的中点，

所以AD=CE,又AD〃GE,

所以四边形ADC.E是平行四边形，

所以AE〃DG,

因为E,F分别是CG,BC的中点，

所以EF〃BG,

所以平面AEF〃平面BDCp

又BDc平面BDG,所以BD〃平面AEF.

(2)以A为坐标原点,AB,AC,AAi所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标

系，如图，则A(0,0,0),B.(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),A

荏=(0,2,1),万=(1,1,0).

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),

令z=2,得x=l,y=-l,

所以平面AEF的一个法向量为n=(l,-l,2).

设M(a,b,c),AM=入族(0W入W1),贝！1病=(0,2X,X),

所以M(0,2人,所，所以瓦法=(-2,2入,X-2),

设直线BM与平面AEF所成角为0,

贝(Isin9=|cos<n,瓦声>|="二、

|n|・|BIM|

|1X(-2)+(-1)X2A+2X(>1-2)|

Vl2+(-l)2+22•V(-2)2+(2A)2+(A-2)2

_6_y[6

V6XV5A2-4A+8V5A2-4A+8

易知当入=：时，(sin。)111ax=R

故直线B,M与平面AEF所成角的正弦的最大值为变.

6

3.答案近

解析如图，以DA,DC,D.D所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

贝UD(0,0,1),C(0,V3,1),A,(V3,0,0),C,(0,W,0),：.DC=(0,遮,0),西=(百,0,-

1),CX=(V3,-V3,0),

由碍京，得喈，竽,0),

.•屈福帘)

设平面A.DC的法向量为n=(x,y,z),

由『•匹”得[皆=6

(九•DA1=0,(V3x-z=0,

取x=l,贝I[Z=V3,y=0,.-.0=(1,0,V3),

.•.点Q到平面A,DC的距离(]=画泗=旺

IM3

4.证明如图，建立空间直角坐标系，设AIA=AC=BC=2,

则A(2,0,0),C(0,0,0),由(2,0,2),Bi(0,2,2),D(1,0,2),E(1,1,0),F(2,0,1),

所以方=(2,0,0),屁二(0,1,-2),加=(1,-1,1),西二(0,2,2),西二(-1,1,2).

(1)显然,襦是平面BCCB的一个法向量，

因为丽•CA=0,

所以反因为DEQ平面BCCB,

所以DE〃平面BCCB.

(2)设平面B.CE的法向量为n=(x,y,z),

则,•可=2y+2z=0,

In,EB；=-x+y+2z=0,

令z=-l,则y=l,x=-l,即n=(-l,1,-