【第3部分整合提优】专题02《长方体和正方体》-数学五升六衔接讲义（教师版）人教版

人教版数学五升六衔接讲义（整合提优）专题02长方体和正方体试卷满分：100分考试时间：100分钟一．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分）1．（1分）（2022春•灵宝市期中）已知一个长方体的棱长总和为96cm，那么这个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和为（）cm。A．48 B．32 C．24【思路引导】根据长方体的特征，长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，用棱长总和除以4求出长、宽、高的和即可。【完整解答】解：96÷4＝24（厘米）答：这个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和为24cm。故选：C。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用。2．（1分）（2022春•泾阳县期中）长方体的高从上面减少3厘米，就变成了一个正方体，表面积比原来减少60平方厘米。原来长方体的体积是（）立方厘米。A．200 B．300 C．320 D．380【思路引导】根据高减少3厘米，就变成了一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少60平方厘米，可求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，然后再加上3厘米求出原长方体的高，再计算原长方体的体积即可。【完整解答】解：60÷4÷3＝5（厘米）5+3＝8（厘米）5×5×8＝200（立方厘米）答：原长方体的体积是200立方厘米。故选：A。【考察注意点】根据截去后剩下是正方体，可知减少的部分是宽为3厘米的4个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体的表面积和体积的计算方法即可求解。3．（1分）（2022春•阳原县期中）用一根（）厘米长的铁丝正好可以做一个长4厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体框架（接头处忽略不计）。A．26 B．36 C．52【思路引导】要求需要多长的铁丝可以做一个长4厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体框架，也就是求这个长方体的棱长总和，长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答即可。【完整解答】解：（2+4+3）×4＝9×4＝36（厘米）答：用一根36厘米长的铁丝正好可以做一个长4厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体框架。故选：B。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。4．（1分）（2022春•平邑县校级期中）把一个长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的长方体等分成2个相同的长方体，增加的表面积最大是（）平方厘米。A．24cm2 B．30cm2 C．40cm2【思路引导】根据题意可知，把一个大长方体切成两个小长方体，要使表面积增加的最多，也就是与原来大长方体的最大面平行切开，表面积增加两个切面的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。【完整解答】解：5×4×2＝20×2＝40（平平方厘米）答：增加的表面积最大是40平方厘米。故选：C。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用，关键是明确：把一个大长方体切成两个小长方体，要使表面积增加的最多，也就是与原来大长方体的最大面平行切开。5．（1分）（2022春•红寺堡区期中）一块长方体的面包长20cm，宽15cm，高8cm，把这块面包切成两块长方体形状的面包，表面积最少增加了（）cm2。A．120 B．240 C．360 D．600【思路引导】根据题意可知，把一个大长方体切成两个小长方体，要使表面积增加的最少，也就是与原来大长方体的最小面平行切开，表面积增加两个切面的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。【完整解答】解：15×8×2＝120×2＝240（平方厘米）答：表面积最少增加240平方厘米。故选：B。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用，长方形的面积公式及应用，关键是明确：把一个大长方体切成两个小长方体，要使表面积增加的最少，也就是与原来大长方体的最小面平行切开。二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2022春•乳源县期中）150平方分米＝1.5平方米3立方分米40立方厘米＝3040立方厘米【思路引导】低级单位平方分米化高级单位平方米除以进率100。把3立方分米乘进率1000化成3000立方厘米，再加40立方厘米。【完整解答】解：150平方分米＝1.5平方米3立方分米40立方厘米＝3040立方厘米故答案为：1.5，3040。【考察注意点】本题是考查体积（容积）的单位换算、面积的单位换算。单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率。7．（2分）（2022春•济南期中）如图图形用棱长1cm的小正方体拼成，它的棱长之和是28cm，体积是12cm3。【思路引导】一个小正方体的棱长是1cm，根据长方体的棱长公式和体积公式解答即可。【完整解答】解：长是3cm，宽是2cm，高是2cm，棱长＝4×（3+2+2）＝4×7＝28（cm）体积＝3×2×2＝6×2＝12（cm3）答：它的棱长之和是28cm，体积是12cm3。故答案为：28；12。【考察注意点】本题考查了长方体的棱长公式和体积公式，要熟练掌握并运用。8．（2分）（2022春•汉川市期中）用两个相同的小长方体可以拼成三种不同的大长方体（如图）。拼成的大长方体中，表面积最大的是164dm2，最小的是148dm2。【思路引导】根据题意，用3个同样的小长方体，拼成一个大长方体，有三种不同的拼法，要使表面积最小，也就是把3个长方体的最大面重合拼在一起；要使表面积最大，也就是把3个长方体的最小面重合拼在一起。根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。【完整解答】解：最大面重合拼成一个长5分米，宽4分米，高6分米的长方体。（5×4+5×6+4×6）×2＝（20+30+24）×2＝74×2＝148（平方分米）最小重合拼成一个长10分米，宽4分米，高3分米的长方体。（10×4+10×3+4×3）×2＝（40+30+12）×2＝82×2＝164（平方分米）答：表面积最小是148平方分米，最大是164平方分米。故答案为：42，58【考察注意点】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是明确：要使表面积最小，也就是把3个长方体的最大面重合拼在一起；要使表面积最大，也就是把3个长方体的最小面重合拼在一起。9．（2分）（2022春•遂川县期中）把3个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是14cm2，比原来三个正方体的表面积和减少了4cm2。【思路引导】根据题意可知，把3个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了正方体的4个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。【完整解答】解：1×1×6×3﹣1×1×4＝6×3﹣4＝18﹣4＝14（平方厘米）1×1×4＝4（平方厘米）答：这个长方体的表面积是14平方厘米，比原来三个正方体的表面积和减少了4平方厘米。故答案为：14，4。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体的拼组方法及意义，长方体、正方体的表面积公式及应用。10．（2分）（2022春•江宁区校级期中）有一块长方形的铁板（如图），利用阴影部分刚好能做成一个圆柱形的带盖的水桶（接头处忽略不计），这个水桶的体积是100.48立方分米。【思路引导】由图意可知：长方形的宽等于圆的直径的2倍，油桶的高等于长方形的宽，且圆的直径+底面周长＝长方形的长，长方形的长已知，从而可以分别求出水桶的底面积和高，进而求出水桶的体积。【完整解答】解：设圆的直径为d分米，则d+πd＝16.564.14d＝16.56d＝4水桶的体积：3.14×（4÷2）2×（4×2）＝3.14×4×8＝12.56×8＝100.48（立方分米）答：这个水桶的体积是100.48立方分米。故答案为：100.48。【考察注意点】此题主要考查圆柱体体积公式的灵活运用，关键是明白：圆的直径+底面周长＝长方形的长，且长方形的宽就是圆柱体的高。11．（2分）（2022春•平邑县校级期中）如图中，甲体积A乙体积，甲表面积C乙表面积。A.大于B.小于C.等于【思路引导】通过观察图形可知，乙图中大正方体的顶点上小正方体原来外露3个面，拿掉这个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以乙的表面积与甲的表面积相等，乙的体积小于甲的体积。据此解答。【完整解答】解：如上图：甲的体积大于乙的体积，甲的表面积等于乙的表面积。故答案为：A、C。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握正方体的表面积、体积的意义及应用。12．（2分）（2022春•通道县期中）一个正方体的表面积是216dm²，它的体积是216dm³。把28L水倒入一个长40cm、宽25cm、高40cm的长方体玻璃水槽内，这个水槽水深28cm。【思路引导】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，已知正方体的表面积可以求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出正方体的体积；根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式求出水深。【完整解答】解：设正方体的棱长为a分米，6a2＝216a2＝36a＝66×6×6＝36×6＝216（立方分米）28升＝28000立方厘米28000÷（40×25）＝28000÷1000＝28（厘米）答：正方体的体积是216立方分米，这个水槽水深28厘米。故答案为：216，28。【考察注意点】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：容积单位与体积单位之间的换算。13．（2分）（2020•中山市）一个长方体箱子，长是8cm，宽是6cm，高是5cm，这个箱子的占地面积是48cm2，表面积是236cm2．【思路引导】求这个箱子的占地面积也就是求它的底面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式进行解答．【完整解答】解：底面积：8×6＝48（cm2）；表面积：（8×6+8×5+6×5）×2＝（48+40+30）×2＝118×2＝236（cm2）．答：这个箱子的占地面积是48cm2，表面积是236cm2．故答案为：48，236．【考察注意点】此题考查的目的是使学生牢固掌握长方体的表面积公式，并且能够根据公式熟练地进行计算它的表面积．三．判断题（共5小题，满分5分，每小题1分）14．（1分）（2022春•和静县校级期中）毫升和立方米之间的进率10000。×（判断对错）【思路引导】根据1立方米＝1000000毫升，解答此题即可。【完整解答】解：毫升和立方米之间的进率1000000。所以题干说法是错误的。故答案为：×。【考察注意点】熟练掌握体积和容积的单位换算，是解答此题的关键。15．（1分）（2022春•泾阳县期中）一个油箱的容积是50L。√（判断对错）【思路引导】根据生活实际，小汽车的油箱通常为50升。【完整解答】解：一个油箱的容积是50L。原题说法正确。故答案为：√。【考察注意点】解答此题的关键是根据生活实际。16．（1分）（2022春•天门期中）正方体的棱长扩大为原来的3倍，表面积就扩大为原来的9倍，体积就扩大为原来的27倍。√（判断对错）【思路引导】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，再根据积的面积规律可知，正方体的棱长扩大为原来的3倍，表面积就扩大为原来的（3×3）倍，体积就扩大为原来的（3×3×3）倍。据此判断。【完整解答】解：3×3＝93×3×3＝27正方体的棱长扩大为原来的3倍，表面积就扩大为原来的9倍，体积就扩大为原来的27倍。这种说法是正确的。故答案为：√。【考察注意点】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，积的变化规律及应用。17．（1分）（2022春•平邑县校级期中）把一个长方体切开，分成两个相同的长方体，这两个长方体表面积之和与原来长方体的表面积相等。×（判断对错）【思路引导】根据长方体表面积的意义可知，把一个长方体分成两个相同的小长方体，这两个小长方体的表面积和比原来长方体的表面积增加了两个切面的面积。据此判断。【完整解答】解：把一个长方体分成两个相同的小长方体，这两个小长方体的表面积和比原来长方体的表面积增加了两个切面的面积。因此，题干中的结论是错误的。故答案为：×。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。18．（1分）（2022春•阳原县期中）一个正方体的表面积是96平方厘米，它的底面周长是8厘米。×（判断对错）【思路引导】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，已知正方体的表面积可以求出正方体的棱长，再根据正方形的周长公式：C＝4a，把数据代入公式求出底面周长，然后与8厘米进行比较。据此判断。【完整解答】解：设正方体的棱长为a厘米，6a2＝96a2＝16a＝44×4＝16（厘米）答：它的底面周长是16厘米。16≠8因此，题干中的结论是错误的。故答案为：×。【考察注意点】此题主要考查正方体的表面积公式、正方形的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。四．计算题（共2小题，满分10分）19．（4分）（2021春•南丹县期末）计算立体图形的表面积和体积【思路引导】长方体表面积公式“S＝（ab+bh+ah）×2”，长方体体积公式“V＝abh”；正方体表面积公式“S＝6a²”，正方体体积公式“V＝a³”，据此计算即可。【完整解答】解：（1）（8×4+4×4+8×4）×2＝（32+16+32）×2＝80×2＝160（dm²）8×6×4＝48×4＝192（dm³）答：长方体的体积是160dm²，体积是192dm³。（2）6×6²＝6×36＝216（dm²）6³＝216（dm³）答：正方体的体积是216dm²，体积是216dm³。【考察注意点】本题主要考查长方体、正方体体积知识点，运用长方体、正方体体积公式解决问题。20．（6分）（2022春•滑县月考）计算表面积和体积。（1]横截面是周长为20cm的正方形，长6dm。（2）（单位：cm）【思路引导】（1）根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝周长÷4，据此求出长方体的横截面的边长，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。（2）通过观察图形可知，从大正方体的棱的中间挖去一个小正方体，这个小正方体原来外露2个面，挖求这个小正方体后，不用了多外露2个面，所以剩下图形的表面积比原来增加了边长是4厘米的2个正方形的面积，它的体积等于大小正方体的体积差，根据正方形的面积公式：S＝a2，正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【完整解答】解：（1）6分米＝60厘米20÷4＝5（厘米）（60×5+60×5+5×5）×2＝（300+300+25）×2＝625×2＝1250（平方厘米）60×5×5＝1500（立方厘米）答：这个长方体的表面积是1250平方厘米，体积是1500立方厘米。（2）8×8×6+4×4×2＝64×6+16×2＝384+32＝416（平方厘米）8×8×8﹣4×4×4＝512﹣64＝448（立方厘米）答：它的表面积是416平方厘米，体积是448立方厘米。【考察注意点】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。五．应用题（共7小题，满分35分，每小题5分）21．（5分）（2022•桥西区）健身中心新建一个游泳池，该游泳池的长50米，是宽的2倍，深2.5米，现在要在池的四周和底面都贴上瓷砖。（1）一共需要贴多少平方米的瓷砖？（2）如果池内水面高度距离池口1.1米，则池内有水多少立方米？【思路引导】游泳池的长50m，是宽的2倍，用（50÷2）求出长方体的宽，（1）首先搞清这道题是求长方体的表面积，其次这个长方体的表面由五个长方形组成，缺少上面，求出这五个面的面积就是需要瓷砖的面积；（2）根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据解答即可。【完整解答】解：（1）宽：50÷2＝25（米）50×25+（50×2.5+25×2.5）×2＝1250+（125+62.5）×2＝1250+375＝1625（平方米）答：共需要贴1625平方米的瓷砖。（2）50×25×（2.5﹣1.1）＝50×25×1.4＝1750（立方米）答：池内有水1750立方米。【考察注意点】此题是长方体表面积和体积公式的实际应用，在计算贴瓷砖的面积时，要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积。22．（5分）（2022春•广平县期中）一本成语词典的长、宽、高分别是15厘米、10厘米和4厘米，王老师买了4本这样的字典，他要把它们的全部用包装纸包装起来，至少需要多少平方厘米的包装纸？【思路引导】要想使包装纸最省，那么只要把成语字典的最大面相粘合，使它们粘合在一起后的表面积减少的最多，由此再利用长方体的表面积公式即可解答。【完整解答】解：根据题干分析可得，最少需要的包装纸是：4+4+4+4＝16（厘米）（15×10+15×16+10×16）×2＝（150+240+160）×2＝550×2＝1100（平方厘米）答：至少需要1100平方厘米的包装纸。【考察注意点】此题主要根据长方体的拼组方法和长方体的表面积的计算方法解决问题，关键是根据拼组方法得出表面积最小的拼组方法。23．（5分）（2022春•泽普县期中）图中的领奖台是由4个棱长为4dm的正方体合并而成的。如果要把领奖台的表面涂上油漆（底面不涂），需要涂油漆的面积是多少？这个领奖台的体积是多少？【思路引导】从上面观察，有3个面露在外面，从左面、右面观察，各有2个面露在外面，从前面、后面观察各有4个面露在外面。然后计算出一个正方形的面积，再乘露在外面的正方形个数，计算出需要涂油漆的面积是多少。根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算出一个正方体的体积，再乘小正方体的个数，可以计算出这个领奖台的体积是多少。【完整解答】解：3+2×2+4×2＝3+4+8＝15（个）4×4×15＝16×15＝240（平方分米）4×4×4×4＝16×4×4＝64×4＝256（立方分米）答：需要涂油漆的面积是240平方分米，这个领奖台的体积是256立方分米。【考察注意点】本题解题关键是能够从不同方向观察，得出这个图形露在外面的面积，理解涂油漆的面积就是这个立体图形露在外面的面积之和。熟练掌握正方体体积的计算方法。24．（5分）（2022春•科左中旗校级期中）一根长方体木料，它的横截面的面积是0.14平方米，长是20分米，5根这样的木料体积一共是多少方？【思路引导】根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式求出一根木料的体积，然后再乘5即可。【完整解答】解：20分米＝2米0.14×2×5＝0.28×5＝1.4（立方米）1.4立方米＝1.4方答：5根这样的木料体积是1.4方。【考察注意点】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。25．（5分）（2022春•甘肃期中）一个正方体纸箱的棱长是20cm，如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），至少需要多少平方厘米的商标纸？【思路引导】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，因为上下面不贴，所以只求它的4个面的总面积即可。【完整解答】解：20×20×4＝400×4＝1600（平方厘米）答：至少需要1600平方厘米的商标纸。【考察注意点】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。26．（5分）（2022春•甘肃期中）用混凝土铺一段长80m，宽25m的水泥路，混凝土厚20cm。一辆运料车每次最多运6m3的混凝土，至少需要运多少次才能完成任务？【思路引导】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出需要混凝土的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。【完整解答】解：20厘米＝0.2米80×25×0.2÷6＝2000×0.2÷6＝400÷6≈67（次）答：至少需要运67次才能完成任务。【考察注意点】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，“包含”除法的意义及应用，关键是熟记公式。27．（5分）（2022春•大田县期中）爸爸准备请师傅重新粉刷冬冬的房间，冬冬的房间是个长方体形状，长为4米，宽为3米地面与房顶相距2.8米，地面和门窗（门窗的面积为4平方米）不用粉刷。（1）需要粉刷的面积是多少平方米？（2）如果每千克涂料能刷5平方米，需要买多少千克涂料？（商家要求买整千克数）【思路引导】（1）根据无底长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式求出这5个面的总面积，然后减去门窗面积就是需要粉刷的面积。（2）根据“包含”除法的意义，用除法解答。【完整解答】解：（1）4×3+4×2.8×2+3×2.8×2﹣4＝12+22.4+16.8﹣4＝51.2﹣4＝47.2（平方米）答：需要粉刷的面积是47.2平方米。（2）47.2÷5≈10（千克）答：需要买10千克涂料。【考察注意点】此题主要考查长方体的表面积公式在实际生活中的意义，关键是熟记公式，重点是弄清需要求哪几个面的总面积。六．解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）28．（5分）（2022春•汉川市期中）某古建筑景点定做了26个宫灯形的垃圾桶（如图）。垃圾桶外侧有一层外饰面。如果外饰面每平方米200元，这些垃圾桶的外饰面一共要花多少钱？【思路引导】根据长方体侧面积公式S＝底面周长×高求出垃圾桶外饰面的面积，再乘以26可求26个宫灯的垃圾桶外饰面的面积，换算单位后乘以200可求这些垃圾桶的外饰面一共要花多少钱。【完整解答】解：（46×4×80+66×4×20）×26＝（14720+5280）×26＝20000×26＝520000（cm2）520000cm2＝52m2200×52＝10400（元）答：这些垃圾桶的外饰面一共要花10400元钱。【考察注意点】考查了规则立体图形的表面积，关键是求出26个宫灯的垃圾桶外饰面的面积，同时熟练掌握总价＝单价×数量的知识点。29．（5分）（2022春•忻州期中）某快递公司把长方体物体用纸箱包装好，再用打包带如图捆起来（打结处长20cm），一共用多长厘米的打包带呢？【思路引导】根据图示可知，打包带包括两条长、两条宽、四条高和打结处的总长，据此计算解答。【完整解答】解：100×2+50×2+30×4+20＝200+100+120+20＝440（厘米）答：一共用440长厘米的打包带。【考察注意点】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法及应用。30．（5分）（2022春•滑县期中）一块长50cm、宽40cm的长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为1dm的正方形，然后做成箱子，这个箱子用了多少铁皮？它的容积是多少？【思路引导】通过观察图形可知，做成的箱子的长是（50﹣10﹣10）厘米，宽是（40﹣10﹣10）厘米，高是10厘米，需要铁皮的面积等于长方形铁皮的面积减去4个正方形的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，正方形的面积＝a2，长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【完整解答】解：1分米＝10厘米50×40﹣10×10×4＝2000﹣400＝1600（平方厘米）（50﹣10﹣10）×（40﹣10﹣10）×10＝30×20×10＝6000（立方厘米）答：这个箱子用了1600平方厘米铁皮，它的容积是6000立方厘米。【考察注意点】此题主要考查无盖长方体的表面积公式、长方体的容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。31．（5分）（