高中数学人教A版选修23课时跟踪检测（五）组合与组合数公式

课时跟踪检测（五）组合与组合数公式层级一学业水平达标1．Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,8)的值为()A．36 B．84C．88 D．504解析：选ACeq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,8)＝Ceq\o\al(6,9)＝Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(9×8×7,3×2×1)＝84.2．以下四个命题，属于组合问题的是()A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C选项A是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C．3．方程Ceq\o\al(x,14)＝Ceq\o\al(2x－4,14)的解集为()A．4 B．14C．4或6 D．14或2解析：选C由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x－4，,2x－4≤14，,x≤14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝14－(2x－4)，,2x－4≤14，,x≤14，))解得x＝4或6.4．某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是()A．6 B．12C．24 D．36解析：选B甲部门分一名电脑编程人员有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,3)种分配方案，甲部门分两名电脑编程人员有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,2)种分配方案．∴由分类加法计数原理得，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,2)＝12(种)不同的分配方案．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有()A．60种 B．48种C．30种 D．10种解析：选C从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有Ceq\o\al(2,5)种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有Ceq\o\al(2,3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)＝30种．故选C．6．Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)的值等于________．解析：原式＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(17,21)＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(18,22)＝Ceq\o\al(4,22)＝7315.答案：73157．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为________．解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有Ceq\o\al(3,6)＝20种．答案：208．不等式Ceq\o\al(2,n)－n<5的解集为________．解析：由Ceq\o\al(2,n)－n<5，得eq\f(n(n－1),2)－n<5，∴n2－3n－10<0.解得－2<n<5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．答案：{2,3,4}9．(1)解方程：Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)；(2)解不等式：Ceq\o\al(x－1,8)>3Ceq\o\al(x,8).解：(1)原方程等价于m(m－1)(m－2)＝6×eq\f(m(m－1)(m－2)(m－3),4×3×2×1)，∴4＝m－3，m＝7.(2)由已知得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≤8，,x≤8，))∴x≤8，且x∈N*，∵Ceq\o\al(x－1,8)>3Ceq\o\al(x,8)，∴eq\f(8！,(x－1)！(9－x)！)>eq\f(3×8！,x！(8－x)！).即eq\f(1,9－x)>eq\f(3,x)，∴x>3(9－x)，解得x>eq\f(27,4)，∴x＝7,8.∴原不等式的解集为{7,8}．10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,5)＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有Ceq\o\al(6,10)＝Ceq\o\al(4,10)＝210(种)走法．层级二应试能力达标1．若Ceq\o\al(4,n)>Ceq\o\al(6,n)，则n的集合是()A．{6,7,8,9} B．{0,1,2,3}C．{n|n≥6} D．{7,8,9}解析：选A∵Ceq\o\al(4,n)>Ceq\o\al(6,n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(4,n)>C\o\al(6,n)，,n≥6，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n！,4！(n－4)！)>\f(n！,6！(n－6)！)，,n≥6.))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2－9n－10<0，,n≥6，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<n<10，,n≥6.))∵n∈N*，∴n＝6,7,8,9.∴n的集合为{6,7,8,9}．2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种 B．18种C．36种 D．54种解析：选B由题意，不同的放法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝3×eq\f(4×3,2)＝18种．3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种 B．63种C．65种 D．66种解析：选D和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有Ceq\o\al(4,4)＝1种，取2奇数2偶数的取法有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,5)＝60种，取4个数均为奇数的取法有Ceq\o\al(4,5)＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A．18对 B．24对C．30对 D．36对解析：选D三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成Ceq\o\al(4,6)－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．5．方程Ceq\o\al(x,17)－Ceq\o\al(x,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16)的解集是________．解析：因为Ceq\o\al(x,17)＝Ceq\o\al(x,16)＋Ceq\o\al(x－1,16)，所以Ceq\o\al(x－1,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16)，由组合数公式的性质，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，得x1＝－3(舍去)，x2＝5.答案：{5}6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种(用数字作答)．解析：两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有Ceq\o\al(2,4)＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有Ceq\o\al(1,4)＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．答案：107．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差数列，求Ceq\o\al(12,n)的值．解：由已知得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，所以2·eq\f(n！,5！(n－5)！)＝eq\f(n！,4！(n－4)！)＋eq\f(n！,6！(n－6)！)，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求Ceq\o\al(12,n)的值，故n≥12，所以n＝14，于是Ceq\o\al(12,14)＝Ceq\o\al(2,14)＝eq\f(14×13,2×1)＝91.8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，则不同的映射f有多少个？(2)若B中的元素0无原象，则不同的映射f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，则不同的映射f又有多少个？解：(1)显然映射f是一一对应的，故不同的映射f共有Aeq\o\al(4,