专题22 两角和与差的正弦、余弦和正切-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题22两角和与差的正弦、余弦和正切（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 4【考点1】公式的基本应用 4【考点2】公式的逆用及变形 5【考点3】角的变换问题 6【分层检测】 7【基础篇】 7【能力篇】 8【培优篇】 9考试要求：1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).知识梳理知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．3．（2022·全国·高考真题）若，则（

）A． B．C． D．4．（2021·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．5．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473二、多选题6．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．考点突破考点突破【考点1】公式的基本应用一、单选题1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A．0 B． C． D．2．（2024·山东枣庄·模拟预测）在中，，为内一点，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（

）A．N点的坐标为B．C．D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则4．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2024·江西鹰潭·二模）已知，且，则.6．（2024·河北承德·二模）已知，则.反思提升：1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.【考点2】公式的逆用及变形一、单选题1．（2024·贵州黔东南·二模）已知，且，，则（

）A． B． C． D．2．（2024·江西·模拟预测）若，则（

）A． B．1 C． D．二、多选题3．（2024·安徽·三模）已知函数，则（

）A．是偶函数 B．的最小正周期是C．的值域为 D．在上单调递增4．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2024·江西·模拟预测）已知，，则.6．（2023·四川成都·二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为．反思提升：1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对asinx＋bcosx化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.【考点3】角的变换问题一、单选题1．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（

）A． B． C． D．2．（2024·贵州贵阳·一模）已知满足，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三上·河南洛阳·开学考试）已知，，，则（

）A． B．C． D．4．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角，满足，则，．6．（23-24高一上·湖南益阳·期末）若是锐角，，则．反思提升：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(π,3)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)等.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·湖南·二模）若锐角满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2024·云南·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·安徽六安·期末）已知，且，则（

）A． B．7 C． D．4．（2024·江西南昌·二模）已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题5．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数的图象为C，以下说法中正确的是（

）A．函数的最大值为B．图象C关于中心对称C．函数在区间内是增函数D．函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移可得到6．（23-24高一下·江苏连云港·期中）下列四个式子中，计算正确的是（

）A． B．C． D．7．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）下列化简结果正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．（2024·广西·二模）已知，则.9．（2024·全国·二模）已知，则.10．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则.四、解答题11．（23-24高一下·北京房山·期中）设函数由下列三个条件中的两个来确定：①；②最小正周期为；③．(1)写出能确定函数的两个条件，并求出的解析式；(2)求函数在区间上的最小值及相应的的值．12．（23-24高一下·北京房山·期中）已知函数．(1)求的值；(2)求函数的最小正周期；(3)求函数的单调递增区间．【能力篇】一、单选题1．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·云南昆明·一模）古希腊数学家托勒密（Ptolemy85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为.例如圆心角所对弦长等于60个度量单位，即.则（

）A．B．若，则C．D．（）三、填空题3．（2024·北京海淀·二模）已知函数.（i）若，则函数的最小正周期为.（ii）若函数在区间上的最小值为，则实数.四、解答题4．（2024·北京海淀·二模）已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定.(1)求的值；(2)若不等式在区间内有解，求的取值范围.条件①：；条件②：的图象可由的图象平移得到；条件③：在区间内无极值点，且.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【培优篇】一、单选题1．（2024·江苏·二模）正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所